1 11. DYNAMIKA RUCHU SWOBODNEGO PUNKTU

11. DYNAMIKA RUCHU
SWOBODNEGO PUNKTU MATERIALNEGO
Zadanie 1/11
W polu przyciąganie ziemskiego z punktu o współrzędnych x0, y0
wyrzucono punkt materialny o masie m z prędkością początkową
υ0 pod kątem α do poziomu.
Znaleźć równania ruchu punktu. Przeprowadzić dyskusję.
y
υ0
α
y0
Odp.:
x
x = υ 0 x t + x0
gt 2
+ υ 0 y t + y0
2
= υ 0 cos α
y=−
υ0 x
υ 0 y = υ 0 sin α
x0
Zadanie 2/11
Punkt materialny o masie m znajduje się w jednorodnym zmiennym polu
magnetycznym. Znaleźć równanie ruchu punktu x(t), jeżeli pole magnetyczne działa na punkt siłą F=F0sinωt (F0, ω − stałe). Położenie oraz
prędkość początkowa punktu równe są 0.
m F(t)
0
x
Odp.: x =
x(t)
F0  sin ωt 
t −

ω 
ωm 
Zadanie 3/11
Ciało o masie m spada pionowo bez prędkości początkowej w ośrodku,
który stawia opór R=kmυ proporcjonalny do prędkości υ (k − stała).
Obliczyć do jakiej maksymalnej prędkości υmax rozpędzi się ciało oraz
podać równanie ruchu x(t).
Odp.: υ max =
g
k
x=
g − kt
g
e −1 + t
2
k
k
(
)
1
Zadanie 4/11
Ciało o masie m porusza się po prostej poziomej pod wpływem siły
F=
k
υ2
t (k − stała)
Znaleźć prędkość υ ciała jako funkcję czasu, jeśli w chwili początkowej
jego prędkość równa była υ0.
Odp.: υ = 3
3k 2
t + υ03
2m
Zadanie 5/11
Z jaką prędkością υ0 należy wystrzelić pocisk z powierzchni Ziemi w
kierunku Księżyca, aby doleciał on do punktu, w którym siły przyciągania Ziemi i Księżyca równoważą się i aby zatrzymał się w tym punkcie?
Ruch Ziemi i Księżyca oraz opór atmosfery pominąć.
Przyjąć:
MZ
d
= a = 80
= b = 60
MK
R
R=6370km
g=9.81m/s2
gdzie: MZ - masa Ziemi, MK – masa Księżyca, d – odległość między
środkami Ziemi i Księżyca, R – promień Ziemi.
Odp.: υ0 ≈11.065km/s
Zadanie 6/11
Na punkt materialny o masie m działa siła proporcjonalna do czasu F1=kt
oraz siła oporu proporcjonalna do prędkości F2=αυ. Znaleźć prędkość
punktu υ(t) oraz położenie x(t) w zależności od czasu. Warunki
początkowe: dla t=0 x=0, υ=0.
Odp.: x(t ) =
α
− t
m 2k 
m  + k t 2 − mk t
1
−
e
 2α
α 3 
α2

υ (t ) =
α
mk  − m t  k
e
−1 + t
 α
α 2 

2
Zadanie 7/11
y
y(x)
Kulę o masie m wyrzucono pod kątem α0
υ0
do poziomu z prędkością początkową υ0.
Opór powietrza R=kυ jest proporcjonalny
α0
do prędkości. Znaleźć równanie y(x) toru m
ruchu kuli.
x


mg
m2
kx
 + g 2 ln 1 −
Odp.: y = x tgα 0 +
k
υ
cos
α
m
υ
k

0
0
0 cos α 0
Zadanie 8/11
Punkt o masie m porusza się w płaszczyźnie
Oxy, pod działaniem siły centralnej skierowanej do początku układu współrzędnych.
Siła ta jest wprost proporcjonalna do odległości punktu od początku układu. W chwili
początkowej punkt zajmował położenie x=b,
y=0 i posiadał prędkość υx=0, υy= υ0.
Znaleźć równanie toru ruchu punktu.
y
m
υ0
P=kl
l
x
O
b
Odp.:
x2
y2
+
= 1 elipsa
2
b υ2 m
0
k
Zadanie 9/11
A
Ciężar o masie m może ślizgać się po pionowym
pręcie AB, którego sztywność na rozciąganie równa
jest k1.Koniec B pręta opiera się o śrubową sprężynę
o sztywności k2. Obliczyć największe wydłużenie
pręta h przy spadku ciężaru z wysokości H bez
prędkości początkowej. Masę pręta i sprężyny
pominąć.
2 H (k + k ) 
mg 
Odp.: h =
1 + 1 +
k1 + k2 
1
2
mg
m
k1
H
B
k2



Zadanie 10/11
Na końcu nie odkształconej nici o sztywności c, która może przenieść
maksymalną siłę Q, zaczepiono ciężar o masie m i puszczono bez
prędkości początkowej. Jaka jest minimalna wartość m, przy której nić
zerwie się i jaka będzie prędkość ciężaru w chwili zerwania nici?
Odp.:
m=
Q
2g
υ =0
3