abstrakt

Zbigniew LIPSKI
ZMIANY CHARAKTERYSTYKI WIDMOWEJ
PARASEJSMICZNEGO WYMUSZENIA KINEMATYCZNEGO
POMIĘDZY GRUNTEM A FUNDAMENTEM BUDYNKU
1. Wprowadzenie
W trakcie obliczeń numerycznych stanu wytężenia budynków poddanych wpływom
wstrząsów górniczych stwierdzono [1] istnienie związku pomiędzy strukturą widmową
obciążeń dynamicznych w tym przypadku wymuszeń kinematycznych wykorzystanych w
obliczeniach a poziomem odpowiedzi dynamicznej konstrukcji nośnych obiektów. Polega
on, ogólnie biorąc, na większej wrażliwości konstrukcji nośnej na wymuszenia o
niskoczęstotliwościowej charakterystyce widmowej w stosunku do wymuszeń o
charakterystyce przesuniętej ku wyższym pasmom widma. Stwierdzono, że odpowiedź
dynamiczna konstrukcji nośnej budynków niskich o tradycyjnej konstrukcji na wymuszenie
kinematyczne o widmie amplitudowym (lub gęstości mocy) w pasmie od 1 do 10 Hz jest
znacznie większa (kilka razy) w porównaniu z ich odpowiedziami na wymuszenie o widmie
w pasmie od ok. 12 do 25 i więcej Hz. Analizowane wymuszenia kinematyczne były
identyczne z akcelerogramami lub ich odpowiednimi segmentami o opisanej charakterystyce
widmowej. Akcelerogramy te pochodziły z pomiarów rzeczywistych wstrząsów górniczych
prowadzonych na terenie Polkowic w różnych budynkach lub na powierzchni gruntu.
Podobną prawidłowość podano w [2] z tym, że potwierdzenie to ma charakter jakościowy,
ponieważ analizowano problem z wykorzystaniem przyspieszeniowych spektrów
odpowiedzi wymuszeń kinematycznych bez szczegółowych obliczeń odpowiedzi
dynamicznej konstrukcji.
W niniejszym referacie przedstawiono wyniki próby rozszerzenia wyników
wspomnianych wyżej analiz o budynki wyższe. W tym celu wykorzystano dostępne
akcelerogramy zarejestrowane w dwóch budynkach w Polkowicach. Traktowano wyniki
pomiarów sejsmologicznych przeprowadzonych na gruncie jako wymuszenie kinematyczne
budynku czyli sygnały wejściowe układu dynamicznego oraz przyspieszenia rejestrowane na
fundamencie budynku jako odpowiedź układu dynamicznego na to wymuszenie. Do oceny
własności dynamicznych układu a zwłaszcza jego wrażliwości na wymuszenie o różnym
widmie wykorzystano współczynnik wzmocnienia – moduł transformacji. Założono więc, że
analizowane budynki traktowane były jako liniowe układy dynamiczne o wielu wejściach i
wyjściach. Na wejściach pojawia się sygnał przyspieszenia identyczny z zarejestrowanym
przyspieszeniem powierzchni ziemi natomiast sygnał wyjściowy stanowił przyspieszenie
zarejestrowane na fundamencie. Do oceny liniowości analizowanych układów wykorzystano
funkcje koherencji.
2. Podstawy teoretyczne analizy
W układzie liniowym (oscylatorze) związek pomiędzy sygnałem wejściowym x(t) a
sygnałem wyjściowym y(t) w dziedzinie czasu wyraża się za pomocą całki splotowej
impulsowej funkcji przejścia i sygnału wejściowego. W dziedzinie częstotliwości można ten
związek podać następująco [4]:
Y (ω ) = H (ω ) X (ω ) = H (ω ) e
jϕ (ω )
X (ω ) ,
(1)
gdzie:
X(ω), Y( ω) - transformaty Fouriera odpowiednio sygnału wejściowego i wyjściowego,
H(ω) - transmitancja czyli transformata Fouriera impulsowej funkcji przejścia układu,
H (ω ) - charakterystyka amplitudowa (współczynnik wzmocnienia) układu,
ϕ(ω) - charakterystyka fazowa układu.
Układ dynamiczny liniowy o wielu stopniach swobody we współrzędnych uogólnionych tj. o
wielu możliwych wejściach i wyjściach charakteryzuje się za pomocą macierzy transmitancji
o postaci [5]
 H 11 ( ω )
 H (ω )
H~ ( ω ) =  21

 H (ω )
 n1
H
H
H
(ω )
L
H
(ω )
22
L
L
H
(ω )
L
12
n2
1n
(ω ) 
(ω ) 
,

H nn ( ω ) 

2n
(2)
gdzie wskaźniki określają możliwe wejścia i wyjścia układu o i,j=1,2,...,n stopniach
swobody.
Liniowość układu oraz poziom zakłóceń występujących w trakcie pomiarów jego sygnałów
wejściowych i wyjściowych oceniana może być za pomocą funkcji koherencji określonej wg
wzoru
2
2
γ xy (ω ) =
G xy (ω )
,
(3)
G x (ω )G y (ω )
gdzie:
G(ω) – wzajemne lub własne funkcje gęstości mocy sygnałów wejściowych x(t) i
wyjściowych y(t).
2
Koherencja spełnia warunek 0 ≤ γ xy (ω ) ≤ 1 , przy czym najwyższa wartość odpowiada
idealnemu układowi liniowemu bez żadnych zakłóceń. Funkcja ta [5] charakteryzuje stopień
liniowości pomiędzy wejściem i wyjściem sygnału w funkcji pulsacji. Pozwala także ocenić
poziom zakłóceń wyników pomiarów będących podstawą oszacowania gęstości mocy.
Według [5] wartość koherencji większa od 0,7 oznacza wystarczającą dokładność i analiza
przy założeniu o liniowości układu i niskim poziomie zakłóceń jest uprawniona.
Ze względu na wspomniane błędy pomiarowe stosuje się [5] dwa typy estymatorów
transmitancji. W niniejszej pracy wybrano estymator pierwszego rodzaju, który jest
użyteczny w przypadku, gdy sygnały wyjściowe z układu dynamicznego są obarczone
zakłóceniami. Ma on postać
G xy (ω )
H (ω ) =
,
1
G xx (ω )
(4)
gdzie oznaczenia jak wyżej.
Błędy oszacowania transmitancji za pomocą tego estymatora usuwane są w procesie
uśredniania. W miarę wzrostu liczby uśrednianych estymat błąd oszacowania dąży do zera.
W analizach będących przedmiotem niniejszej pracy analizowane były transmitancje
pomiędzy wejściem i wyjściem utożsamionymi z punktami pomiarowymi odpowiednio na
gruncie i fundamencie budynku, w których wykonywano pomiary przyspieszeń
generowanych przez wstrząsy górnicze. Wykorzystano estymator transmitancji pierwszego
rodzaju. Sprawdzano także wartości koherencji.
3. Charakterystyka budynku i wyników pomiarów drgań
Analizę transmitancji przeprowadzono dla obiektów zlokalizowanych w Polkowicach:
− budynek mieszkalny nr 1o wysokości trzech kondygnacji będący własnością spółdzielni
mieszkaniowej,
− budynek hotelowo – mieszkalny nr 2 o wysokości 11 kondygnacji.
W obiektach tych zainstalowane są stacje sejsmologiczne wyposażone w aparaturę typu
AMAX-99 pracujące w systemie ciągłym. Pomiary prowadzone są przez Główny Instytut
Górnictwa w Katowicach. Przetworniki akcelerometryczne drgań zainstalowano na
swobodnej powierzchni gruntu w pobliżu budynków oraz na fundamentach tych obiektów.
Mierzone są trzy składowe drgań w każdym punkcie pomiarowym. Rejestracja prowadzona
jest w systemie cyfrowym z częstotliwością dyskretyzacji 200 Hz. W niniejszej pracy
analizowano po trzy wstrząsy zarejestrowane w każdym budynku. Zestawiono je w tablicy 1.
L.p.
1
2
3
4
5
6
Tablica 1 Wykaz analizowanych danych pomiarowych
Nr obiektu
Data wstrząsu
Maksymalne przyspieszenie
składowej poziomej [m/s2]
na gruncie
na fundamencie
1
27.08.2001
0,58
0.62
1
20.02.2002
~1.0
~ 1,0
1
28.03.2002
1,60
1,44
2
28.04.2002
0,15
0,17
2
30.07.2002
0,62
0,29
2
28.03.2003
0,97
0,50
Wykorzystano niezależnie po dwie składowe poziome przyspieszeń wywołanych przez
wstrząsy. Z analizy akcelerogramów wynika, że prawie zawsze można w nich wyróżnić co
najmniej dwa segmenty (części) różniące się w istotny sposób własnościami widmowymi.
Zwykle segment początkowy ma widmo wysokoczęstotliwościowe powyżej 10 Hz, segment
po nim następujący ma widmo w pasmie znacznie niższym nie przekraczającym 12 Hz.
Rys. 1. Podział akcelerogramu na segmenty o różnych własnościach widmowych
Te cechy akcelerogramów od wstrząsów górniczych zilustrowano przykładowo na rys. 1.
warte podkreślenia jest, że wartości szczytowe przyspieszeń akcelerogramów lokują się w
pierwszym lub drugim segmencie w zależności od wstrząsu.
W przedstawionej niżej analizie koherencji i współczynnika wzmocnienia uwzględniono
zróżnicowanie własności widmowych akcelerogramów, a mianowicie:
− sygnały wejściowe i odpowiadające im sygnały wyjściowe analizowanego układu
dynamicznego – budynku dzielone były na segmenty nisko- i wysokoczęstotliwościowe,
− dla odpowiadających sobie par segmentów niskoczęstotliwościowych obliczano
koherencję i współczynnik wzmocnienia, analogiczne obliczenia wykonywano dla
drugiego typu segmentów,
− z obliczonych koherencji i współczynników wzmocnienia , jako wynik wykorzystywano
ich wartości zlokalizowane w pasmach odpowiadających im segmentów,
− po złożeniu otrzymanych wyników w pasmach nisko- i wysokoczęstotliwościowych
otrzymano funkcje wynikowe,
− obliczenia powtarzano dla wszystkich dostępnych par sygnałów wejściowych i
wyjściowych budynków,
− ostatecznie wynikowe funkcje współczynnika wzmocnienia poszczególnych budynków
zostały uśrednione w zbiorze zarejestrowanych par sygnałów, w którym każda para
sygnałów związana była ze wstrząsem górniczym.
4. Analiza wyników obliczeń
Analizy testowe wykonano za pomocą procedury opracowanej w systemie obliczeniowym
Matlab. Jako przykład wyników obliczeń na rys. 2 przedstawiono wykresy koherencji
akcelerogramów składowej X i Y zarejestrowanych w budynku nr 1 w czasie wstrząsu z 20
lutego 2002 r.
Rys. 2. Wykresy koherencji
Na rysunkach przerywaną linią oznaczono oszacowanie wartości funkcji koherencji w
segmencie niskoczęstotliwościowym i ciągłą linią w segmencie wysokoczęstotliwościowym.
Analiza koherencji wszystkich par akcelerogramów wstrząsów zestawionych w tablicy 1
potwierdziła ich przydatność do dalszych obliczeń ze względu na niski poziom zakłóceń i
liniowość układów dynamicznych. Wykresy uśrednionych w zbiorze analizowanych
wstrząsów funkcji współczynnika wzmocnienia dla budynku nr 2 przedstawiono na rys. 3 .
Krzywa ciągła reprezentuje uśredniony współczynnik wzmocnienia, natomiast za pomocą
linii przerywanej pokazano jego odchylenie standardowe obrazujące rozrzut wyników
obliczeń. Duża wartość odchylenia standardowego wynika z małej liczby wyników
pomiarów dla każdego budynku.
Uśrednione współczynniki wzmocnienia wygładzono przez aproksymację metodą
najmniejszych kwadratów wielomianami piątego stopnia. Zredukowano w ten sposób
lokalne fluktuacje wartości funkcji. Linią czarną przedstawiono wykres współczynnika dla
składowej X, a linią przerywaną dla składowej Y.
Rys. 3. Wykresy uśrednionych współczynników wzmocnienia i ich odchyleń standardowych
Rus. 4. Wygładzone współczynniki wzmocnienia budynków
Wykresy wygładzonych współczynników wzmocnienia składowych poziomych obu
analizowanych budynków były podstawą oceny wrażliwości tych budynków na wymuszenia
kinematyczne. Występuje wyraźne zróżnicowanie poziomu reakcji budynków na
wymuszenie w zależności od jego widmowej gęstości mocy. Szczególnie budynek o średniej
wysokości (trzech kondygnacjach) reaguje na wymuszenia kinematyczne analogicznie jak
wcześniej badane budynki niskie [1], tzn. zachowuje się jak układ wzmacniający od 1 do 2,3
razy wymuszenie niskoczęstotliwościowe w pasmie ok. 1 – 10 Hz, natomiast wytłumia
wymuszenia wysokoczęstotliwościowe w pasmie ok. 12 – 25 Hz. Budynek nr 2
(dwunastokondygnacyjny) wykazuje inną nieco charakterystykę: wymuszenia w pasmie ok.
1 – 6 Hz są wzmacniane w zróżnicowanym stopniu od ok. 1 do 3,5 razy, natomiast
wymuszenia w pasmie 6 – 16 Hz są tłumione. Wymuszenia w pasmie ok. 16 – 25 Hz znowu
są wzmacniane chociaż słabiej bo 1 do 2 razy. Pasmo najniższe wykazuje w tym przypadku
także dominującą rolę w „tworzeniu” odpowiedzi dynamicznej budynku. Zaznacza się także
wpływ zróżnicowania kierunku odbioru. analizowanej składowej.. Prawdopodobnie to
zróżnicowanie wynika z określonej kierunkowości propagacji fal sejsmicznych
wygenerowanych przez analizowane wstrząsy. Zwiększenie liczebności zbioru wstrząsów i
zróżnicowanie kierunków, z których fale dochodzą do budynku pozwoliłoby ocenić
dokładniej ten wpływ.
Analizy testowe wykonano w systemie obliczeniowym Matlab w Akademickim Centrum
Komputerowym Cyfronet AGH w Krakowie w ramach projektu badawczego KBN nr
KBN/HP-K460-XP/PŚląska/041/2002.
Literatura
[1] Maciąg E., Ryncarz M., Tatara T.: Analysis of soil-structure interaction in case of mining
tremors. Conference proceedings of 2nd International Conference „New Trends in Statics
and Dynamics of Buildings”, Slovak University of Technology, Bratislava, October
2003, p. 129-132.
[2] Wawrzynek A., Lipski Z.: Zagrożenie uszkodzeniami przez wstrząsy górnicze elementów
konstrukcji budynków murowanych w świetle analizy numerycznej ich wytężenia.II
Konferencja Naukowo – Techniczna „Problemy projektowania i ochrony obiektów
budowlanych na terenach górniczych”, Instytut Techniki Budowlanej, Oddział Śląski,
Rudy Wlk., 2004, s. 205-216.
[3] Papoulis A.: Prawdopodobieństwo, zmienne losowe i procesy stochastyczne.
Wydawnictwo Naukowo-Techmczne,Warszawa,1972.
[4] Kucharski T.: System pomiaru drgań mechanicznych. WN-T, Warszawa, 2002.