zestaw1
Transkrypt
zestaw1
DMAD - Z1. Indukcja matematyczna Ćw. 26,29.09 1. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 0 zachodzi a) 12 + 22 + 32 + . . . + n2 = n(n+1(2n+1) , 6 ∑n k n+1 b) +2 k=1 k2 = (n − 1)2 c) 1 · 20 + 2 · 21 + 3 · 22 + · · · + n · 2n−1 = (n − 1) · 2n + 1 d) 13 + 33 + 53 + . . . + (2n − 1)3 = n2 (2n2 − 1) , e) 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + . . . + n · (n + 1) · (n + 2) = n(n+1)(n+2)(n+3) 4 2. Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej n ≥ 2 zachodzi nierówność 1 1 1 1 1 + + + ··· + 2 < 2 − 4 9 n n 3. Dla jakich liczb naturalnych n zachodzi nierówność: a) n2 ≤ n! b) 2n + 3 ≤ 2n c) 2n > n4 d) n! > 4n ? Udowodnij swoją odpowiedź za pomocą zasady indukcji matematycznej. 4. Udowodnić, że dla każdego całkowitego n > 0 wyrażenie a) 11n+2 + 122n+1 jest podzielne przez 133, b) 4n+1 + 52n−1 jest podzielne przez 21. 5. Za pomocą zasady indukcji matematycznej udowodnij następujące uogólnienie prawa De Morgana n ∩ Aj = j=1 n ∪ Aj oraz j=1 n ∪ Aj = j=1 n ∩ Aj , j=1 gdzie A1 , A2 . . . . , An są podzbiorami pewnego zbioru U oraz n ≥ 2. 6. Udowodnić indukcyjnie, że liczba przecięć n prostych, z których żadne dwie nie są równoległe i żadne trzy nie przecinają się w jednym punkcie, jest równa n(n−1) . 2 7. W bankomacie dostępne są tylko banknoty 20zł i 50zł. Jakie kwoty można wypłacić jednorazowo z bankomatu zakładając, że ilość banknotów w bankomacie jest nieograniczona? Udowodnij odpowiedź za pomocą indukcji matematycznej. 8. Udowodnić indukcyjnie, że liczba podzbiorów zbioru S złożonego z n elementów jest równa 2n . 9. Pokaż, że po rozegraniu turnieju n drużyn metodą „każdy z każdym” (po ang.: round-robin), zawsze można tak uporządkować drużyny D1 , D2 , . . . , Dn , że dla każdego i = 1, 2, . . . , n − 1, drużyna Di pokonała drużynę Di+1 . 10. Przyjmijmy, że tabliczka czekolady składa się z n kostek ułożonych w prostokąt. Tabliczkę oraz jej mniejsze kawałki można łamać pionowo i poziomo wzdłuż linii oddzielających kostki. Zakładamy, że w danej chwili możemy przełamać tylko jeden kawałek. Ile razy należy przełamać czekoladę, aby otrzymać n pojedynczych kostek? Udowodnij swoją odpowiedź indukcyjnie.