Pobierz artykuł PDF

SYMULOWANE WYĩARZANIE PRZESTRZENNE EFEKTYWNYM NARZĉDZIEM
PLANOWANIA SIECI POMIAROWYCH
JAROSŁAW ZAWADZKI
Streszczenie
Metod, która pozwala efektywnie planowa sieci pomiarowe w sytuacji rónorodnych ogranicze np. geometrycznych dotyczcych moliwoci wykonywania
pomiarów jest przestrzenne symulowane wyarzanie (ang. spatial simulated annealing). Zamiennie uywa si te terminu symulowane wyarzanie Optymalizuje ona
sie pomiarow, drog kolejnych ulepsze sieci poprzez tak zmian jej geometrii,
aby uzyska ekstremum wybranej funkcji celu (np. wariancji krigingu) dla dowolnie
zadanej z góry liczby pomiarów. Metoda ta charakteryzuje si du efektywnoci,
elastycznoci oraz szerokim spektrum zastosowa praktycznych. Artykuł omawia
szczegółowo podstawy teoretyczne podstawy tej metody, opisuje popularne kryteria
optymalizacji – minimalizacj redniej odległoci do najbliszego ssiada oraz kryterium Warricka’a i Myers’a, jak równie prezentuje przykład działania tej metody
w połczeniu z czsto stosowan w praktyce pomiarowej metod krigingu. Artykuł
uwypukla, e w celu uzyskania prawidłowych wyników analizy przestrzennej niezbdne jest stosowanie odpowiednich metod na etapie planowania sieci pomiarowej.
Słowa kluczowe: sieci pomiarowe, geostatystyka, semiwariancja, korelacje przestrzenne,
Ğrodowisko, wariancja krigingu, symulowane wyĪarzanie przestrzenne
1. Wprowadzenie
W sytuacjach praktycznych okazuje siĊ, Īe istnieją róĪnorodne ograniczenia np. geometryczne
dotyczące moĪliwoĞci wykonywania pomiarów, nawet, jeĪeli istnieje moĪliwoĞü wykonywania
tanich i dokładnych pomiarów. Przykładem mogą byü na przykład pomiary wykonywane
w Ğrodowisku miejskim, gdzie nie moĪna pobieraü prób w dowolnych miejscach lub pomiary
wewnątrz obszarów o skomplikowanych kształtach np. w kopalniach, halach fabrycznych.
Podobne sytuacje wystĊpują jednak i w badaniach Ğrodowiska przyrodniczego. Mogą to byü
pomiary prowadzone w terenie górskim, dookoła terenów ogrodzonych lub trudno dostĊpnych np.
bagiennych itp. Stosowanie pozornie najłatwiejszych klasycznych metod opróbowania, np. sieci
regularnych, staje siĊ niemoĪliwe. Aby właĞciwie wykorzystaü techniczne i ekonomiczne
moĪliwoĞci pomiarowe, niezbĊdna jest w takiej sytuacji stosowanie zaawansowanych metod
geostatystycznych, które minimalizują nierzadko wielokrotnie, błĊdy estymacji przestrzennych,
oraz dają ich obiektywne szacunki oparte na podstawach teoretycznych Olea, 1996; Goovaerts,
1997; Isaaks i Srivastava, 1998; Zawadzki, 2004, 2005, 2006. Tylko takie pomiary, są z punktu
widzenia metodycznego właĞciwe, obiektywne i porównywalne. Metodą, która pozwala
efektywnie rozwiązywaü powyĪsze problemy jest przestrzenne symulowane wyĪarzanie (ang.
spatial simulated annealing). Optymalizuje ona sieü pomiarową, drogą kolejnych ulepszeĔ sieci
357
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management
Nr 40, 2011
poprzez taką zmianĊ jej geometrii, aby uzyskaü ekstremum (zazwyczaj minimum) wybranej,
nierzadko złoĪonej teoretyczne funkcji celu dla dowolnie zadanej liczby pomiarów. Kryteria te
mogą byü róĪne, związane z celem i warunkami badaĔ. Przykładowymi kryteriami mogą byü:
maksymalny błąd szacunku na danym obszarze, Ğredni błąd szacunku, maksymalna wariancja
krigingu, maksymalna entropia, jakoĞü semiwariancji eksperymentalnej, koszty pomiarowe,
kryterium minimalizacji odległoĞci do najbliĪszego sąsiada (MMSD) i kryterium Warricka’aMyers’a (WM) Warrick i Myers, 1987; Groenigen, 1999, 2000
Metoda przestrzennego symulowanego wyĪarzania łączy obserwacje procesów fizycznych
(np. wyĪarzanie stopów) z teorią funkcji losowych i geostatystyką. Metoda ta charakteryzuje siĊ
duĪą efektywnoĞcią oraz wyjątkową elastycznoĞcią, z punktu widzenia doboru funkcji celu.
Powoduje to, Īe z punktu widzenia praktycznego metoda ta przewyĪsza tradycyjne sposoby
opróbowania obniĪając koszty pomiarowe i zwiĊkszając dokładnoĞü pomiarów. Z wyĪej
wymienionych wzglĊdów metoda przestrzennego symulowanego wyĪarzania zasługuje na szerszą
popularyzacjĊ i powszechne zastosowanie. JednoczeĞnie trwają intensywne prace w celu
zastosowania tych metod do wielowymiarowych analiz geostatystycznych w oparciu o metody
kokrigingu np. Zhang i in., 1992. Myers 1991, Papritz i in. 1993; Lark R.M., 2002.
2. Opis metody
2.1 Symulowane wyĪarzanie
Symulowane wyĪarzanie przestrzenne opiera siĊ na metodzie symulowanego wyĪarzania
(ang. simulated annealing) zaproponowanej przez S. Kirkpatricka, C. D. Gelatta i M. P. Vecchi
w 1983r. oraz niezaleĪnie przez V. ýerny’ego w 1985r. Symulowane wyĪarzanie jest
kombinacyjnym algorytmem optymalizacji, którego celem jest wyznaczenie globalnego minimum
optymalizowanej funkcji celu dla bardzo szerokiego spektrum moĪliwych postaci funkcji celu.
Przełomowe prace wyĪej wspomnianych autorów rozpoczĊły nowe podejĞcie do metod
opróbowania w badaniach Ğrodowiska np. Olea, 1996.
Zasada i terminologia metody symulowanego wyĪarzania pochodzą z metalurgii. Fragment
metalu, w którym mogą siĊ równieĪ znajdowaü róĪne domieszki jest wielokrotnie ogrzewany
(atomy są wzbudzone termicznie), a nastĊpnie stopniowo schładzany aĪ do osiągniĊcia stanu
krystalizacji. Powolne chłodzenie metalu pozwala atomom na migracjĊ wewnątrz metalu, w taki
sposób, Īe obniĪają one stopniowo poziom swojej energii, aĪ do momentu znalezienia siĊ w stanie
o energii minimalnej, czyli w stanie równowagi. Otrzymana w rezultacie struktura metalu jest,
wiĊc bardziej stabilna niĪ na początku. Algorytm symulowanego wyĪarzania opiera sie na funkcji
celu , która jest minimalizowana iteracyjnie (w przypadku wyĪarzania metalu, funkcją celu jest
energia stopu). Niech S0 oznacza początkowe rozwiązanie problemu a Si jest rozwiązaniem
problemu w i-tym kroku algorytmu. Rozwiązanie Si+1 powstaje przez losową modyfikacjĊ
(perturbacjĊ) rozwiązania Si. PrawdopodobieĔstwo zaakceptowania rozwiązania Si+1 jest
uzaleĪnione od zmiany wartoĞci funkcji celu i jest definiowane tzw. kryterium Metropolis’a
(równania 1a, 1b). JeĪeli wartoĞü ta zmalała, to rozwiązanie Si+1 jest akceptowane, a jeĪeli nie
uległa zmniejszeniu, to rozwiązanie jest akceptowane z pewnym małym prawdopodobieĔstwem,
zaleĪnym wykładniczo od ilorazu róĪnicy funkcji celu w stanach Si oraz Si+1, czyli (Si)-(Si)
(odjemna), i globalnego parametru c (odjemnik), odpowiednika temperatury, który maleje wraz z
358
Jarosław Zawadzki
Symulowane wyarzanie przestrzenne efektywnym narzdziem planowania sieci pomiarowych
postĊpem algorytmu (w rzeczywistoĞci wraz z czasem). Gorsze rozwiązania tzn. o wyĪszej energii
w stanie Si+1 są akceptowane na początku, gdy temperatura c jest wysoka z wiĊkszym
prawdopodobieĔstwem, ale wraz z jej zmniejszaniem siĊ, w póĨniejszych iteracjach algorytmu
(czyli z upływem czasu) prawdopodobieĔstwo to wykładniczo maleje. Taka procedura pozwala
metodzie „opuszczaü” lokalne minima funkcji i zwiĊkszyü szanse na wybór minimum globalnego.
W trakcie kolejnych iteracji stała ta stopniowo maleje, co powoduje, Īe prawdopodobieĔstwo
przejĞcia do stanu o wiĊkszej wartoĞci funkcji dopasowania staje siĊ coraz mniejsze i schemat
zostaje „zamroĪony” (zakoĔczenie perturbacji nastĊpuje, jeĪeli funkcja celu osiągnie załoĪoną
niską wartoĞü). NaleĪy podkreĞliü, Īe sposób obniĪania temperatury moĪe byü róĪny od
jednostajnego W porównaniu z algorytmami gradientowymi metoda symulowanego wyĪarzania
jest wiĊc znacznie bardziej skuteczna. Jak widaü funkcja ĭ() jest podobna do swobodnej energii
Gibbsa, wykorzystywanej do opisu procesów termodynamicznych np. do procesu wyĪarzania
stopu.
) = 1,
P(S → S
i
i +1
) ≤ Φ ( S ),
i +1
i
Φ (Si ) − Φ (Si + 1) , gdy Φ ( S
P (S → S
) = exp
) > Φ (S )
i
i +1
i +1
i
c
gdy
Φ (S
(1a ),
(1b).
2.2. Symulowane wyĪarzanie przestrzenne
Przestrzenne symulowane wyĪarzanie jest algorytmem wyĪarzania związanym
z optymalizacją geometrycznego rozkładu punktów pomiarowych nazywanego tworzących sieü
pomiarową nazywanego poniĪej schematem pomiarowym lub krótko schematem. WartoĞü funkcja
celu zaleĪy od tym razem od geometrii schematu pomiarowego. Optymalizacja startuje od
pewnego schematu początkowego S0 ∈ Sn. NastĊpnie dokonuje siĊ ciągu zmian losowych
(perturbacji) Si+1 tego schematu początkowego S0 z prawdopodobieĔstwem przejĞcia P (Siĺ Si+1).
opisanym równieĪ kryterium Metropolis’a, czyli nowy stan schematu pomiarowego jest zawsze
akceptowany, jeĪeli wartoĞü funkcji celu ulega obniĪeniu po perturbacji, albo jest on akceptowany
z pewnym prawdopodobieĔstwem, malejącym wykładniczo wraz ze wzrostem wartoĞci funkcji
celu (równania 1a, 1b). OdpornoĞü algorytmu symulowanego wyĪarzania na lokalne ekstrema
funkcji celu czyni go dobrym narzĊdziem do wyznaczania optymalnych punktów próbkowania.
Główną zaletą tego algorytmu jest moĪliwoĞü optymalnego doboru punktów, uwzglĊdniając
fizyczne i geometryczne ograniczenia badanego obszaru.
Choü idea obu rodzajów symulowanego wyĪarzania jest podobna, to w przypadku
symulowanego wyĪarzania przestrzennego złoĪonoĞü funkcji celu wynikająca z pojawienia siĊ
aspektów przestrzennych, w tym geostatystycznych gwałtownie roĞnie. W związku z tym, w celu
prawidłowego działania algorytmu niezbĊdne jest precyzyjne zdefiniowanie takich pojĊü jak:
1. obszar próbkowania i przestrzeĔ wszystkich moĪliwych rozwiązaĔ problemu,
2. generator losowych zmian w rozwiązaniach (generator perturbacji),
3. funkcja celu (funkcja oceniająca jakoĞü rozwiązania),
4. schemat schładzania.
PojĊcia te zostaną opisane poniĪej.
359
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management
Nr 40, 2011
Obszar próbkowania
Niech ‫ܴ ؿ ܣ‬ଶ oznacza dowolny, ograniczony, ale niekoniecznie spójny obszar próbkowania.
Zbiór A moĪe składaü z skoĔczonej iloĞci rozłącznych podzbiorów Al, takich, Īe. Podział taki
moĪna interpretowaü, jako wyodrĊbnienie obszarów o róĪnych właĞciwoĞciach geologicznych, np.
akwenów wodnych, zabudowaĔ, dróg czy teĪ róĪnych kosztach próbkowania. Podział taki jest
niezwykle waĪny w przypadku terenów mocno zurbanizowanych. Niech Sn bĊdzie zbiorem
wszystkich moĪliwych rozmieszczeĔ n punktów na zbiorze A. WspółrzĊdne punktów mogą
przyjmowaü wartoĞci ciągłe. W związku z tym zbiór Sn jest podzbiorem Rn. W praktyce obszar A
pokrywa dowolnie gĊsta siatka współrzĊdnych. Sn jest wówczas zbiorem dyskretnym, a co za tym
idzie, optymalne rozłoĪenie punktów x1, x2,· · ·, xn moĪna sprowadziü do metod
kombinatorycznych. PodejĞcie takie jest jednak zbyt kosztowne obliczeniowo. JeĪeli obszar A jest
pokryty m wĊzłami siatki, n punktów moĪna rozmieĞciü na m· (m−1) · · · · · (m−n) sposobów. Dla
praktycznych zastosowaĔ, tj. m=10 000 i n=100 liczba ta jest rzĊdu 10400, wiĊc nie moĪliwa do
zbadania. Konieczne jest wiĊc szukanie lepszych algorytmów.
Generator zmian rozwiązaĔ
Niech Si bĊdzie schematem próbkowania, czyli zbiorem punktów ‫ݔ‬ଵ௜ ǡ ‫ݔ‬ଶ௜ ǡ ǥ ǡ ‫ݔ‬௡௜ , w których
przewidziane jest próbkowanie w i- tym kroku algorytmu. Celem generatora jest uzyskanie
nowego rozwiązania Si+1 przez losową perturbacjĊ rozwiązania Si. W algorytmie symulowanego
wyĪarzania przestrzennego uzyskuje siĊ to poprzez przesuniecie losowo wybranego punktu ‫ݔ‬௝௜ o
wektor h, gdzie ȁࢎȁ przyjmuje wartoĞci od 0 do ustalonego hmax. Kierunek przesuniĊcia równieĪ
jest losowy. hmax najczĊĞciej przyjmuje wartoĞü równą połowie długoĞci obszaru A i maleje w
kaĪdym kroku algorytmu. Coraz mniejsze wielkoĞci przesuniĊü znacznie poprawiają jakoĞü
optymalizacji. Jest to związane z tym, ze wraz z postĊpem algorytmu punkty są coraz lepiej
rozłoĪone i losowe, stosunkowo duĪe skoki bĊdą czĊĞciej przynosiü duĪe wzrosty funkcji celu.
Skraca to czas działania algorytmu przez zwiĊkszenia prawdopodobieĔstwa zaakceptowania
rozwiązania Si. W ostatnim kroku wartoĞü ȁࢎȁ powinna byü bliska 0. JeĪeli przesuniĊty punkt nie
naleĪy do obszaru A, wówczas nastĊpuje ponowne losowanie punktu i wektora przesuniĊcia. JeĪeli
punkt trafi do obszaru Al, gdzie koszt próbkowania jest wysoki, wówczas funkcji celu moĪe byü
nadawana inna waga. MoĪliwe są modyfikacje takiego algorytmu. Przy kaĪdym kroku algorytmu
moĪe byü losowane kilka punktów. Kierunek przesuwania punktu nie koniecznie musi byü losowy
– moĪe byü skierowany w kierunku, w którym wystĊpuje mniejsze zagĊszczenie sąsiednich
punktów. Prowadzi to jednak do duĪej złoĪonoĞci obliczeniowej.
Schemat schładzania
Schemat schładzania pozwala na postĊp algorytmu poprzez zmniejszanie wartoĞci parametru
ci. Początkowa wartoĞü c0 jest ustalona tak, aby współczynnik akceptacji alternatywnych
rozwiązaĔ wynosił np. 0,95. Wraz z kolejnymi krokami algorytmu, parametr powinien mieü coraz
mniejsze wartoĞci, zbiegające do zera, np.:
ܿ௞ାଵ ൌ ߙ ή ܿ௞
(2)
gdzie: 0 < < 1.
Funkcja celu
360
Jarosław Zawadzki
Symulowane wyarzanie przestrzenne efektywnym narzdziem planowania sieci pomiarowych
Niech ߔǣ ܵ ௡ ՜ ܴ ା oznacza minimalizowaną funkcjĊ celu. Funkcja ta, okreĞlająca jakoĞü
rozwiązania problemu lokacji n punktów, odgrywa kluczowa rolĊ w algorytmie wyĪarzania. RóĪne
definicje i kryteria optymalnoĞci prowadzą do róĪnych wyników. Przykładowymi kryteriami
optymalizacji to minimalizacja Ğredniej odległoĞci do najbliĪszego sąsiada (ang. Minimisation of
the Mean of Shortest Distances – MMSD) oraz kryterium Warricka’a i Myers’a (WM).
MMSD
Celem kryterium MMSD jest regularne rozmieszczenie punktów po całym obszarze
próbkowania, biorąc pod uwagĊ jego ograniczonoĞü. Regularne rozmieszczenie moĪe byü
sformułowane jako zminimalizowanie oczekiwanej odległoĞci pomiĊdzy arbitralnie wybranymi
punktami z wnĊtrza obszaru a punktami wybranymi do próbkowania. Kryterium to prowadzi do
funkcji celu:
(3)
߶ሺܵሻ ൌ ‫׬‬஺ ԡ‫ ݔ‬െ ܸ௦ ሺ‫ݔ‬ሻԡ
gdzie:
S jest dowolnym schematem próbkowania x, jest wektorem połoĪenia, a Vs(x) oznacza wektor
połoĪenia najbliĪszego sąsiada punku x dla schematu próbkowania S.
Niech ࡭௦ ‫ ࡭ ؿ‬bĊdzie zbiorem wszystkich moĪliwych punktów próbkowania. Na zbiorze As
wybieramy ne punktów kontrolnych rozłoĪonych regularnie po całym zbiorze. Estymatorem
funkcji (S) jest
ଵ
௡೐
௝
௝
߶ெெௌ஽ ሺܵሻ ൌ σ௝ୀଵ
(4)
ฮ‫ݔ‬௘ െ ܸ௦ ሺ‫ݔ‬௘ ሻฮ
௝
௡೐
௝
gdzie ‫ݔ‬௘ oznacza j- ty punkt kontrolny, a ܸ௦ ൫‫ݔ‬௘ ൯jego najbliĪszego sąsiada. W celu uzyskania
zadowalających wyników wymagane jest, aby ne >> n. Zmodyfikowaną wersja algorytmu
opartego na MMSD jest algorytm wykorzystujący kryterium waĪonego kwadratu odległoĞci
najbliĪszego sąsiada (ang. Weighted Means of Shortest Distances Criterion – WMSD). W tym
przypadku ‫ݓ‬ሺ‫ݔ‬ሻǣ ‫ ܣ‬՜ ܴ ା oznacza funkcjĊ wagową, przyporządkowującą kaĪdemu punktowi
dodatnia wagĊ. Wagi te uzaleĪnione są od podzbioru Al, w którym znajduje sie dany punkt.
Funkcja celu przyjmuje w takim przypadku postaü:
߶ሺܵሻ ൌ ‫׬‬஺ ‫ݓ‬ሺ‫ݔ‬ሻԡ‫ ݔ‬െ ܸ௦ ሺ‫ݔ‬ሻԡ
(5)
a jej estymatorem jest:
ଵ
௡೐
௝
௝
௝
߶ெெௌ஽ ሺܵሻ ൌ σ௝ୀଵ
‫ݓ‬ሺ‫ݔ‬௘ ሻฮ‫ݔ‬௘ െ ܸ௦ ൫‫ݔ‬௘ ൯ฮ
௡೐
(6)
Celem funkcji wagowej jest zwiĊkszenie iloĞci punktów w próbce w obszarach waĪniejszych
z punktu widzenia analizy geostatystycznej. Funkcja ta moĪe byü definiowana na podstawie
wczeĞniejszych informacji o obszarze próbkowania lub wynikaü z potrzeby dokładniejszej
estymacji w niektórych podzbiorach A.
WM
Innym podejĞciem optymalizacji próbkowania jest kryterium Warrick’a i Myers’a. Polega
ono na rozmieszczeniu próbki tak, aby punkty były odległe od siebie o zadane wczeĞniej, ustalone
odległoĞci. Aby ustaliü te odległoĞci naleĪy zdefiniowaü idealny rozkład punktów dla wariogramu.
Niech ‫ܽۃ‬ଵ ǡ ܽଶ ǡ ǥ ǡ ܽ௡ ‫ۄ‬bĊdzie podziałem wielkoĞci badanego obszaru na nk przedziałów odległoĞci.
361
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management
Nr 40, 2011
௡ሺ௡ିଵሻ
Dla próbki wielkosci n liczba par punków wynosi
. Wynika z tego, Īe jeĪeli wariogram
ଶ
estymowany jest w przedziałach ‫ܽۃ‬ଵ ǡ ܽଶ ǡ ǥ ǡ ܽ௡ ‫ۄ‬to najlepszym ułoĪeniem punktów opróbowania
௡ሺ௡ିଵሻ
jest takie, które powoduje, ze w kaĪdym z przedziałów ‫ܽۃ‬௜ ǡ ܽ௜ାଵ ‫ۄ‬znajduje siĊ
punktów. Jest
ଶ௡ೖ
to rozkład poĪądany. Wybierając odpowiednio przedziały ‫ܽۃ‬௜ ǡ ܽ௜ାଵ ‫ۄ‬moĪna poprawiaü estymacje
wybranej czĊĞci wariogramu. Niech ߦ෩ప oznacza teoretyczna liczbĊ par punktów w i – tym
przedziale,ߦ௜ jej empiryczny odpowiednik a i oznacza odchylenie standardowe odległoĞci par
punktów w i- tym przedziale. Funkcja celu przyjmuje postaü:
௡ೖ
߶ሺܵሻ ൌ σ௜ୀଵ
ൣܽሺߦ௜ െ ߦ෩ప ሻଶ ൅ ܾߪ௜ ൧
(7)
gdzie:
a i b oznaczają wagi a nk całkowita liczbĊ przedziałów odległoĞci.
Algorytm ten jest niestety nieodporny na lokalne minima. Wyszukiwanie punktów, leĪących
w konkretnych odległoĞciach moĪe sprawiaü kłopoty w przypadku zbiorów mocno ograniczonych
lub o bardzo nieregularnym kształcie. NiezbĊdne są dalsze badania nad udoskonaleniem kryterium
WM dla takich sytuacji.
Przykład implementacji algorytmu symulowanego wyĪarzania przestrzennego
z wykorzystaniem kryterium MMSD
Analizowanym zbiorem danych w poniĪszym przykładzie są transformowane pomiary
pobrane z badaĔ satelitarnych w okolicach jeziora Walker na obszarze o wymiarach około 100m
na 250m. Jezioro Walker jest naturalnym, czĊsto wysychającym jeziorem w zachodniej Nevadzie
w Stanach Zjednoczonych. Oryginalny zbiór danych składa sie z około 2 milionów obserwacji
satelitarnych wysokoĞci terenu nad poziomem morza. Zbiór ten (lub jego podzbiory) stanowi jeden
z typowych zbiorów testowych uĪywanych w geostatystyce. MoĪna pobraü go wraz z opisem ze
strony http://www.ai-geostats.org/ index.php?id=data.
Wszystkie zaprezentowane poniĪej obliczenia zostały wykonane w Ğrodowisku R,
z wykorzystaniem pakietu „GSTAT”, który moĪna pobraü z dowolnego repozytorium.
Rys 1. przedstawia histogram rzeczywistych wartoĞci badanej zmiennej na nieregularnym
przykładowym obszarze pomiarowym, oraz rozkład punktów pomiarowych wyznaczony dla
takiego obszaru metodą przestrzennego symulowanego wyĪarzania z zastosowaniem kryterium
MMSD. W przykładzie, oprócz nieregularnego obszaru, w którym wyciĊto Ğrodek, zastosowano
dodatkowo nietypowe dane, co dodatkowo utrudnia planowanie sieci, ale moĪe mieü istotne
znaczenie praktyczne. Jak moĪna zauwaĪyü rozkład danych nie jest rozkładem normalnym. Składa
siĊ z wyizolowanej ujemnej wartoĞci (górny lewy róg, który moĪna interpretowaü, jako
poszukiwane, lub nieoczekiwane gwałtowne odstĊpstwo od normy badanej wielkoĞci – „hot
spot”), oraz wartoĞci dodatnich o wyraĨnej asymetrii lewostronnej. Rys. 2 przedstawia z kolei
wyniki estymacji metodą krigingu (lewa strona) oraz wariancjĊ krigingu (prawa strona) badanego
rozkładu otrzymane przy zastosowaniu wyĪej otrzymanej sieci pomiarowej. Jak widaü pomimo
stosunkowo rzadkiej sieci pomiarowej, nieregularnego obszaru i skomplikowanego rozkładu
danych dziĊki wykorzystaniu kryterium MMSD osiągniĊto stosunkowo równomierny rozkład
wariancji krigingu na badanym obszarze, którą moĪna zmniejszaü do zadawalającego poziomu
poprzez zwiĊkszenie liczby punktów pomiarowych.
362
Jarosław Zawadzki
Symulowane wyarzanie przestrzenne efektywnym narzdziem planowania sieci pomiarowych
Rysunek 1. Histogram wartoci badanej zmiennej (lewa strona) oraz sie 30 punktów
pomiarowych, dla przykładowego, nieregularnego obszaru, wyznaczona metod przestrzennego
symulowanego wyarzania z zastosowaniem kryterium MMSD (prawa strona)
ħródło: Opracowanie własne.
Rysunek 2. Wyniki estymacji metod krigingu (lewa strona) oraz wariancja krigingu (prawa
strona) otrzymane przy zastosowaniu sieci pomiarowej wyznaczonej metod przestrzennego
symulowanego wyarzania z zastosowaniem kryterium MMSD
ħródło: Opracowanie własne.
363
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management
Nr 40, 2011
Ze wzglĊdu na elastycznoĞü metody przestrzennego symulowanego wyĪarzania moĪna
analogicznie optymalizowaü rozkład punktów pomiarowych ze wzglĊdu na inne wyĪej
wymienione kryteria, równieĪ na nieregularnych obszarach.
3. Wnioski
Metody przestrzennego symulowanego wyĪarzania są efektywnym narzĊdziem do badaĔ
Ğrodowiskowych, wszĊdzie tam, gdzie istnieje potrzeba uwzglĊdnienia ograniczeĔ (np.
geometrycznych) związanych z moĪliwoĞciami wykonywania pomiarów. Metody te są wynikiem
gwałtownego rozwoju metod geostatystycznych w ostatnich dziesiĊcioleciach. Zapewniają one
bardzo duĪą elastycznoĞü, ze wzglĊdu moĪliwoĞü stosowania róĪnorodnych i złoĪonych, ale
jednoczeĞnie praktycznych kryteriów związanych z problemami Ğrodowiskowymi.
Metody te pozwalają na zmniejszenie błĊdów badaĔ oraz na precyzyjne oszacowanie ich
rozkładów przestrzennych. Ze wzglĊdu na swoje zalety metody przestrzennego symulowanego
wyĪarzania szybko wypierają tradycyjne lub eksperckie metody opróbowania w wielu
dziedzinach. Stosowanie metod geostatystycznych w badaniach Ğrodowiska staje siĊ nieodzowne,
zwłaszcza, jeĪeli wystĊpuje potrzeba uzyskania obiektywnych wyników badaĔ zjawisk
przestrzennych.
%LEOLRJUDILD
[1] ýerny V., 1985, A Thermodynamical approach to the travelling salesman problem:
anEfficient Simulation Algorithm. Journal of Optimization Theory and Applications. 45:
41– 5.
[2] Goovaerts P., 1997. Geostatistics for Natural Resources Evaluation, Oxford University
Press, New York.
[3] Groenigen, van, J.W., 1999. Constrained optimisation of soil sampling for minimisation of
the kriging variance. Geoderma 87. Enschede.
[4] Groenigen, van, J.W., 2000. The influence of variogram parameters on optimal sampling
schemes for mapping by kriging. Geoderma 97. Enschede.
[5] Isaaks E.H., Srivastava R.M., 1998. Applied Geostatistics, Oxford University, New York.
[6] Kirkpatrick, S., Gelatt, C.D, and Vecchi, M.P. 1983. Optimization by simulated annealing.
Science
[7] 220:671–680.
[8] Lark R.M., 2002. Robust estimation of the pseudo cross-semivariogram for cokriging soil
properties. European Journal of Soil Science, 53: 253–270.
[9] Myers D. E., 1991. Pseudo-cross variograms, positive-definiteness, and cokriging.
Mathematical Geology, 23: 805–816.
[10] Olea A., R., 1984. Sampling design optimization for spatial functions. Mathematical Geology
16: 369-392.
[11] Olea A., R., 1996. Geostatistics for engineers and earth scientists. The University of
Lawrence, Kansas, 1996.
[12] Papritz A., Kunsch H.R., Webster R., 1993. On the pseudo cross-variogram. Mathematical
Geology. 25: 1015–1026.
364
Jarosław Zawadzki
Symulowane wyarzanie przestrzenne efektywnym narzdziem planowania sieci pomiarowych
[13] Warrick, A. W., Myers D. E. 1987. Optimization of sampling locations for variogram
calculation., Water Resour. Res., 23: 496–500.
[14] Zawadzki J., 2005. Zastosowanie metod geostatystycznych do planowania sieci pomiarowych
przy pomocy w badaniach geofizycznych. Cz I – Metody oparte na estymacji
przestrzennej. Geofizyka. 2: 46–61.
[15] Zawadzki J., 2006. Zastosowanie metod geostatystycznych do planowania sieci pomiarowych
w badaniach geofizycznych. Cz II – Metody oparte na symulacjach przestrzennych.
Geofizyka. 1: 105–118.
[16] Zawadzki J., 2004. Wykorzystanie metod geostatystycznych w badaniach rodowiska
przyrodniczego. Prace Naukowe Politechniki Warszawskiej InĪynieria ĝrodowiska, 49.
[17] Zhang R., Myers D.E., Warrick A.W., 1992. Estimation of the spatial distributions of soils
cemicals using pseudo-cross-semivariograms. Soil Science Society of America Journal, 56,
1444–1452.
365
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management
Nr 40, 2011
SYMULOWANE WYĩARZANIE PRZESTRZENNE EFEKTYWNYM
NARZĉDZIEM PLANOWANIA SIECI POMIAROWYCH
Summary
Spatial simulated annealing is method that allows for effectively planning the
measurement network when a variety of constraints, e.g. geometric, on measuring
possibilities occurs. It optimizes the measurement network, by successive improvements in its geometry, in order to obtain the extreme of the selected objective
function (e.g., kriging variance) for any pre-set number of measurements. This method is characterized by high efficiency, flexibility and wide range of practical
applications. The article discusses, in detail, the theoretical basis for this method,
describes comprehensively the popular optimization criteria: the Minimisation of
the Mean of Shortest Distances (MMSD) to the nearest neighbor and the Warrick
and Myers' (WM) criterion. Furthermore, the article presents an example of spatial
simulated annealing method use in combination with commonly applied in measurement practice kriging method. Article emphasizes that to obtain reliable results
of spatial estimation it is necessary to apply appropriate methods at the stage of
measuring network planning.
Keywords: sampling schemes, geostatistics, semivariance, spatial correlations, environment,
kriging variance, spatial simulated annealing
Jarosław Zawadzki
Wydział InĪynierii ĝrodowiska
Politechnika Warszawska
ul. Nowowiejska 20, 00-653 Warszawa
tel.: +4822 234 7891
e-mail: [email protected]