Zapisz jako PDF

Granice funkcji
Zadanie 1
Wykorzystując definicję Heinego granicy funkcji, znaleźć
Wskazówka
Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.
Rozwiązanie
Weźmy dowolny ciąg
zbieżny do jedynki i taki, że
dla wszystkich . Bez uszczerbku dla
ogólności rozważań, możemy przyjąć, że wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Zgodnie z definicją
Heinego granicy funkcji, zamiast obliczać (1) musimy znaleźć
Będziemy zatem przekształcać powyższe wyrażenie:
Ponieważ
, więc otrzymujemy następującą wartość granicy:
O ciągu
nie zakładaliśmy nic ponad to, że jest zbieżny do jedynki, więc, na mocy definicji Heinego,
taką samą wartość ma granica (1).
Zadanie 2
Wykorzystując definicję Heinego granicy funkcji, znaleźć
Wskazówka
Należy skorzystać z faktu, iż
Rozwiązanie
Weźmy dowolny ciąg
Dla dowolnych liczb
Podobnie dla liczb
i dobierzmy ciąg
spełniających
liczb naturalnych taki, że
oraz
zachodzą nierówności:
spełniających
mamy:
W efekcie uzyskujemy układ nierówności:
Wykorzystamy je poniżej podstawiając:
Ale:
,
oraz
:
, co pozwala nam przepisać (11) w formie:
Skorzystamy teraz z twierdzenia o trzech ciągach. W tym celu wykażemy, że zarówno ciąg po lewej
jak i po prawej stronie zbiega do . Ponieważ
, więc
O ciągu
Biorąc
wiemy, że zbieżny jest do liczby , co z definicji oznacza, iż
otrzymujemy wniosek, iż istnieje
Przechodząc teraz w (12) z
takie, że
a zatem:
do nieskończoności otrzymujemy wniosek, że także
Na mocy definicji Heinego wnosimy stąd, iż
Z kolei dla
i po podstawieniu
możemy przekształcić nasze wyrażenie w następujący sposób:
oraz skorzystaniu z (17), otrzymujemy:
Zadanie 3
Wykorzystując definicję Heinego granicy funkcji, znaleźć
Wskazówka
Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.
Rozwiązanie
Weźmy dowolny ciąg
zbieżny do zera. Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że dla
dowolnego mamy:
, a zatem funkcja tangens jest dobrze określona. Jak wiemy,
zgodnie z definicją Heine'go, w miejsce (20) obliczyć należy:
Wyrażenie pod znakiem granicy przekształcimy w następujacy sposób:
gdzie wykorzystaliśmy wzory:
Prawa strona (22) dąży do
, gdyż
wykazać posługując się oszacowaniem:
(to samo oczywiście dotyczy
), co łatwo
Na mocy definicji Heinego widzimy więc, że
Zadanie 4
Wykorzystując definicję Cauchy'ego granicy funkcji wykazać, że granica (20) z poprzedniego zadania
równa jest
.
Wskazówka
Należy oszacować wyrażenie:
Rozwiązanie
Wykorzystując przekształcenia poprzedniego zadania, a w szczególności końcowe wyrażenie w (22)
możemy napisać:
Możemy przyjąć, że w interesującym nas obszarze zmienności
Wiemy bowiem z (24), że dla
(tj. małe
i
) zachodzi:
bliskich zeru spełnione są nierówności:
W konsekwencji:
Jeśli teraz - zgodnie z definicją Cauchy'ego - wziąć dowolnie małe
na przykład w następujący sposób:
i nierówność
, to zawsze możemy dobrać
pociągnie za sobą:
co kończy dowód.
Zadanie 5
Wykorzystując definicję Cauchy'ego granicy funkcji wykazać, że granica
równa jest
.
Wskazówka
Należy oszacować wyrażenie:
Rozwiązanie
Wybierzmy dowolne
i zażądajmy aby
(ale
), gdzie za chwilę odpowiednio
dobierzemy. Znajdziemy górne ograniczenie na wyrażenie (33) przepisując je w formie:
Jeśli teraz wybierzemy
, to otrzymamy oczekiwany wynik:
z którego wynika, że granica (32) rzeczywiście równa jest
Zadanie 6
Zbadać, czy istnieje granica:
Wskazówka
Należy porównać granice jednostronne.
.
Rozwiązanie
Obliczymy najpierw:
Następnie:
Jak widzimy, granice jednostronne istnieją, ale są różne:
skąd wynika, że granica (36) nie istnieje.
Zadanie 7
Zbadać, czy istnieje granica:
Wskazówka
Należy porównać granice jednostronne.
Rozwiązanie
Obliczymy najpierw:
Podobnie:
Jak widać, granice jednostronne istnieją, ale są różne:
czyli granica (40) nie istnieje.
Zadanie 8
Zbadać, czy istnieje granica:
gdzie
Wskazówka
Należy porównać granice jednostronne.
Rozwiązanie
Obliczymy najpierw prawostronną granicę funkcji :
gdzie wykorzystaliśmy pierwszy z wzorów (23). Granicę lewostronną znajdziemy w podobny sposób:
gdzie tym razem skorzystaliśmy z faktu, że
Ponieważ granice lewo- i prawostronna są różne, więc granica (44) nie istnieje.
Zadanie 9
Znaleźć granicę:
Wskazówka
W argumencie funkcji sinus należy wydzielić czynnik
.
Rozwiązanie
Najpierw przekształcimy argument sinusa pisząc:
Ułamek
ma dla
granicę równą
, czyli różną od zera. Wykorzystamy to pisząc:
Skorzystaliśmy przy tym z faktu, że
oraz
gdzie w pierwszym przypadku podstawiliśmy
, a w drugim
.
Zadanie 10
Znaleźć granicę:
Wskazówka
Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.
Rozwiązanie
Wyrażenie
można przepisać w postaci:
Teraz wykorzystamy wzór:
Kładąc
mamy:
i, po wstawieniu do (55), uzyskujemy wynik końcowy:
Zadanie 11
Zbadać, dla jakiej wartości parametrów
istnieje granica:
i równa jest .
Wskazówka
Należy doprowadzić wyrażenie do postaci ilorazowej.
Rozwiązanie
Rozpatrywana granica ma charakter
. Aby więc wynik był skończony, to na pewno musi
zachodzić:
. Wyrażenie pod znakiem granicy przepiszemy w postaci ilorazu, mnożąc je i dzieląc
przez ten sam czynnik:
Istnienie granicy z powyższego wyrażenia wymaga, aby
musimy mieć
, czyli
.
i
, czyli
. Ponadto aby