4-ty równanie

Adam ĩUCHOWSKI
LINEARYZACJA DYNAMIKI MODELI WIENERA-HAMMERSTEINA ORAZ UPRASZCZANIE
NIELINIOWYCH MODELI DYNAMIKI TORÓW
POMIAROWYCH DLA SYGNAàÓW WEJĝCIOWYCH
WOLNOZMIENNYCH
STRESZCZENIE
Wykorzystując modele zastĊpcze, uproszczone dla
liniowych modeli dynamiki, tworzone przy wykorzystaniu rozwiniĊcia funkcji
podcaákowej splotu w szereg Taylora, stosunkowo dokáadne dla sygnaáów
wejĞciowych wolnozmniennych i gáadkich moĪna dokonaü prostej, peánej
linearyzacji modelu Wienera-Hammersteina i takiego przeksztaácenia innych,
wspomnianych modeli, które uáatwia interpretacjĊ zachowania siĊ toru
pomiarowego. W artykule przedstawiono odpowiednie zaleĪnoĞci i wyniki
symulowanych przykáadów.
Sáowa kluczowe: dynamika obiektów, modele nieliniowe, metoda linearyzacji
1. WSTĉP
ZaáoĪymy, Īe na wejĞcie liniowego obiektu o charakterystyce impulsowej k t przy
zerowych warunkach początkowych zostaá podany sygnaá xt wolnozmienny w stosunku do prĊdkoĞci zmian k t i gáadki. Po rozwiniĊciu funkcji podcaákowej splotu
czáonu xt v w szereg Taylora i wprowadzeniu momentu i-tego rzĊdu charakterystyki
impulsowej mi t , dla sygnaáu wyjĞciowego y t otrzymuje siĊ wzór [2, 4]:
f
>
@
t
y t ¦ 1 / i! ˜ mi t ˜ x i t gdzie mi t ³ v i ˜ k v ˜ dv
i 0
i
0
prof. dr hab. inĪ. Adam ĩUCHOWSKI
e-mail: [email protected]
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie,
Wydziaá Elektryczny, Katedra Sterowania i Pomiarów,
Al. Piastów 42, 70-310 Szczecin
PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszyt 272, 2016
(1)
A. ĩuchowski
212
lub w warunkach, gdy sygnaá wejĞciowy x(t) jest gáadki (przy maáym udziale
pochodnych rzĊdu wyĪszego niĪ pierwszy) – wzór przybliĪony:
y t ht ˜ x>t t0 t @ , t0 ˜ t m1 t / m0 t (2)
ht jest charakterystyką skokową obiektu.
Wzór (2) moĪna wykorzystaü do linearyzacji, lub uproszczeĔ niektórych, nieliniowych
modeli dynamiki obiektów. Wykorzystano tu dwa pierwsze czáony wzoru (1),
wykorzystanie pozostaáych pominiĊtych sáuĪy jedynie do oceny dokáadnoĞci wzoru (2).
Báąd jest tu zaleĪny od drugiej i wyĪszych pochodnych sygnaáu xt i roĞnie w
przybliĪeniu proporcjonalnie do kwadratu czasu t, a tym samym wzór (2) jest dokáadny
dla krótkich czasów t i w warunkach gáadkoĞci sygnaáu xt .
2. LINEARYZACJA MODELU WIENERA-HAMMERSTEINA
Model Wienera-Hammersteina opisują trzy równania [3]:
t
X t F1 >xt @, Y t ³ k v ˜ X t v , dv , y t F2 >Y t @
(3)
0
Wykorzystując model uproszczony (2), otrzymuje siĊ: Y t ht ˜ F1^x>t t0 t @` oraz:
y t to:
F2 >ht ˜ F1 ^x>t t 0 t @`@ a jeĪeli teĪ: F2 a ˜ b F2 a ˜ F2 b i F2 >F1 b @ b
y t F2 >ht @˜ x>t t0 t @
^F2 >ht @ / ht `˜ ht ˜ x>t t0 t @
(4)
(5)
co odpowiada prostej reakcji liniowego czáonu o skokowej charakterystyce ht na
sygnaá xt , mnoĪonej dodatkowo przez funkcjĊ czasu f t F2 >ht @ / ht .
Rozpatrzymy nastĊpujący przykáad:
Modelowi Wienera-Hammersteina odpowiada równanie róĪniczkowe:
T ˜ dY / dt Y
x 2 t , y t Y t , ht 1 exp t / T (6)
Na rysunku 1 pokazano przebiegi rozwiązania y(t) powyĪszego równania dla T 1,
x t sin Zt w przypadku gdy Z 0,1 (wykresy oznaczone symbolem „a”), a wiĊc dla
sygnaáu stosunkowo wolnozmiennego i gáadkiego oraz dla Z
0,5 (wykresy oznaczone
Linearyzacja dynamiki modeli Wienera-Hammersteina oraz uproszczanie…
213
symbolem „b”), gdy warunki te odbiegają od takich zaáoĪeĔ. JednoczeĞnie dla porównania pokazano przebiegi ym t dla odpowiedniego, zlinearyzowanego modelu (5)
w postaci:
Rys. 1. Przebiegi rozwiązaĔ równaĔ (6) i (7)
dy t / dt y
xt , ym t f t ˜ y t , f t 1 / 1 exp t (7)
Tu, w przypadku „b” báĊdy modelu (5) są znacznie wiĊksze.
Informacje o tym modelu znaleĨü moĪna w pracach [3] [4], inne zastosowania
modelu wydają siĊ nowe.
Ciekawy wynik uzyskuje siĊ stosując uproszczony model (5) w przypadku
operacji wyznaczania Ğredniej geometrycznej y t dla sygnaáu xt ! 0 w przedziale
czasowym 0, t. ĝrednią taką wyznacza siĊ z zaleĪnoĞci:
ln y t t
1 / t ˜ ³ ln xt ˜ dt
(8)
0
co odpowiada caákowaniu sygnaáu ln xt przez ukáad o transmitancji K s 1 / s ,
ht t , t0 t t / 2 . Po wykorzystaniu modelu uproszczonego (2) i przeksztaáceniach
otrzymuje siĊ nieoczekiwanie:
ym t xt / 2
(9)
Przebiegi y t i ym t dla x t cosh 0, 015 ˜ t pokazano na rysunku 2a, a dla
x t 2 sin 0,1˜ t na rysunku 2b. Model ten zapewnia dobrą dokáadnoĞü (poza
A. ĩuchowski
214
szczególnymi przypadkami) tyko dla krótkich czasów t. Trzy takie przypadki szczególne
dla (1): xt exp t , dla 2 : xt exp t i dla 3 : xt exp 0,1 ˜ t 2 prowadzą
do przebiegów jak na rysunku 2c.
Rys. 2. Ilustracje zachowaĔ uproszczonych modeli wyznaczania
Ğredniej geometrycznej przebiegu sygnaáu
3. UPRASZCZANIE NIELINIOWYCH MODELI DYNAMIKI
TORÓW POMIAROWYCH
DynamikĊ nieliniowych torów pomiarowych o analogowym dziaáaniu opisują
czĊsto równania róĪniczkowe typu [1]:
¦ ai ˜ y i t yt xt ˜ F > y t @
n
i 1
(10)
Linearyzacja dynamiki modeli Wienera-Hammersteina oraz uproszczanie…
215
gdzie xt jest sygnaáem pobudzenia lub jego kwadratem, przy tym dokonuje siĊ
odczytu sygnaáu x0 t z „równania skali” x0 t y t / F ^y t ` z báĊdem dynamicznym
w stosunku do wartoĞci xt . Traktując caáą prawą stronĊ równania (10) jako „pobudzenie” otrzymuje siĊ w oparciu o model (2):
y t ht ˜ x>t t0 t @˜ F ^y>t t0 t @` lub y t / F ^y>t t0 t @` ht ˜ x>t t0 t @
(11)
co odpowiada reakcji liniowego czáonu (lewa strona równania (10)) na sygnaá x(t). JeĞli
model uznaü za poprawny, to:
ht ˜ x>t t0 t @
y t /^F > y t @ t0 t ˜ dF y / dy` y t /^F > y t @ ˜ 1 t0 t ˜ d >ln F y @/ dy `
(12)
Czáon t0 t ˜ d >ln F y @/ dy moĪna traktowaü jako swego rodzaju „poprawkĊ” zerującą
siĊ w ekstremach funkcji F y , a po jej pominiĊciu:
y t / F > y t @ ht ˜ >t t0 t @
(13)
co pozwala wyznaczyü wartoĞü y t oznaczoną jako ym t w oparciu o reakcjĊ modelu
liniowego. PoniĪej podano dwa przykáady:
2
dla równania: dy / dt y xt ˜ 1 0.5 ˜ y 1 , xt 1.5 ˜ sin 2 0.1 ˜ t – przykáad „a”
>
@
>
oraz dla równania: d y / dt dy / dt y xt ˜ 1 0.5 ˜ y 1
zilustrowano wykresami przebiegów y(t) na rysunku 3 a i b.
2
2
2
@ – przykáad „b”, które
RozwaĪania i przykáady dowodzą pewnej, choü ograniczonej uĪytecznoĞci
prezentowanej metody.
Rys. 3. Ilustracja zachowaĔ modeli w omawianym przykáadzie
A. ĩuchowski
216
LITERATURA
1. Metal A., ĩuchowski A.: Mierniki elektryczne – obliczanie i konstrukcja. PWN, Warszawa – PoznaĔ,
1969.
2. ĩuchowski A.: O przechodzeniu wolnozmiennych sygnaáów przez ukáady liniowe. Pomiary,
Automatyka, Kontrola (PAK), nr 2, 1982.
3. ĩuchowski A.: O pewnej wáasnoĞci modelu Hammersteina. Pomiary, Automatyka, Kontrola (PAK),
nr 10, 1996.
4. ĩuchowski A.: Modele dynamiki i identyfikacja. Seria Tempus, Wyd. Uczelniane Politechniki
SzczeciĔskiej, 2003.
PrzyjĊto do druku dnia 12.02.2016 r.
THE LINEARIZATION OF DYNAMICS OF THE
WIENER-HAMMMERSTEIN MODEL AND SIMPLIFICATION
OF NONLINEAR MODELS OF MEASURING SYSTEMS FOR
SLOWLY-ALTERING SIGNALS
Adam ĩUCHOWSKI
ABSTRACT The simplified models of linear systems created by expanding
of the integrand of convolution integral in Taylor's series are relatively
accurate for slowly-altering, smooth input signals. Using this models one
can do such linearization of the Wienner-Hammerstein model and the
above-mentioned other type of models that interpretation of the operation of
a measuring system is substantially facilitated. The referring dependences as
well as exemplary results of simulations are presented in the paper.
Keywords: method of linearization, nonlinear models, dynamics of
systems