Matematyka dyskretna – Zliczanie

Matematyka dyskretna – Zliczanie
Literatura:
• R. Kowalczyk, K. Niedziałomski, C. Obczynski, Matematyka dla studentów i kandydatów na wyższe uczelnie. Repetytorium, PWN 2011, str.57-71.
1
Podstawowe prawa
1. Wyznacz ile jest liczb naturalny nie wiekszych niż 2000, które są podzielne
przez: 5; 7; 5 i 7; 5 lub 7.
2. W salonie samochodowym możemy wybrać jeden z trzech modeli samochodów: x, y, z. Każdy samochód może być pomalowany na kolor czerwony,
biały lub czarny. Ile jest możliwych zestawień model-kolor?
3. W grupie 36 studentów 26 uczy się języka angielskiego, 23 uczy się języka
niemieckiego, 24 uczy się języka francuskiego. Czy jest w grupie student,
który uczy się wszystkich trzech języków?
4. Składamy ludziki z klocków Lego, mając do dyspozycji 5 różnych główek,
6 różnych nakryć głowy, 7 korpusów i 4 pary nóg. Ile różnych ludzików
można złożyć?
5. Idziemy na zakupy: w księgarni znaleźliśmy 3 książki i 4 płyty, które nam
sie podobają. Na ile sposobów możemy sobie zrobić prezent, jeźeli
(a) planujemy kupić 1 książkę 1 płytę?
(b) planujemy kupić 1 książkę albo 1 płytę?
2
Permutacje zbioru n-elementowego
1. Na ile sposobów mozna posadzić 5 osób na pięciu ponumerowanych miejscach?
2. Na ile sposobów można ustawić książki Pan Tadeusz, Zbrodnia i kara, Pan
Wołodyjowski, Dżuma na półce tak, aby książka Dżuma stała obok książki
Zbrodnia i Kara?
3. Ile jest permutacji liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, w których:
a) liczby 3 i 4 sąsiadują ze sobą?
b) liczby 3 i 4 sąsiadują ze sobą w kolejności wzrastania?
c) liczby 3 i 4 nie sąsiadują ze sobą?
d) liczby 3, 4 i 5 występują bezpośrednio po sobie w kolejności wzrastania?
1
3
k–wyrazowe wariacje z powtórzeniami zbioru
n–elementowego
1. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Ile jest wszystkich możliwych wyników?
2. Z talii 52 kart losujemy jedną, zwracamy ją, następnie karty tasujemy i
losujemy drugą. Ile jest różnych mozliwych wyników losowania?
3. W pewnej sieci telefoni komórkowej pierwsza cyfra numeru to 6, natomiast
trzecią cyfrą jest dowolna cyfra nieparzysta. Ilu abonentów może być w
tej sieci, jeżeli wiemy, że każdy numer składa się z 9 cyfr?
4. W pewnym alfabecie występuje 7 samogłosek i 15 spółgłosek. Ile maksymalnie można ułożyć słów 5 literowych zaczynających i kończących się
samogłoską?
4
k–wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru n–
elementowego
1. Ile liczb pięciocyfrowych można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 tak, aby
cyfry się nie powtarzały?
2. Z miasta A do miasta B prowadzi 5 dróg. Iloma sposobami można odbyć
podróż z maista A do B i z powrotem, jeżeli nie można wracać tą samą
drogą?
3. W klasie liczcej 37 uczniów rozlosowano 3 bilety (jednoosobowe) do trzech
różnych teatrów. Ile jest różnych nych możliwych wyników losowania?
5
k-elementowe kombinacje zbioru n elementowego
1. W turnieju szachowym uczestniczyło 15 zawodników. Każdy grał partię z
każdym. Ile partii rozegrano?
2. Na ile sposobów można wybrać komisję trzyososbową sposród 6 osób. Na
ile sposobów można wybrać taką komisję, gdy Pani X i Pan Y nie chcą
byc w razem w komisji.
3. Na ile sposobów mozna z talii kart wyciągnąć 13 tak, aby otrzymać
a) dokładnie 3 asy (3 asy wybierany sposoród 4 dostępnych oraz 10 kart
- nie asów sposród 48 pozostałych);
b) dokladnie 2 asy i 2 damy;
(a) co najmnie 3 króle.
4. Poniżej określone zostały pokerowe układy kart:
(a) poker królewski: 10,W,D,K,A w jednym kolorze;
(b) poker: sekwens w jednym kolorze nie będący pokerem królewskim;
2
(c) czwórka: cztery karty tej samej wysokości;
(d) ful: trójka i para, trzy karty tej samej wysokości i dwie karty innej
wysokości, ale równej między soba;
(e) kolor: pięć kart w jednym kolorze nie tworzących ani pokera ani
pokera królewskiego;
(f) strit: sekwens nie tworzący ani pokera ani pokera królewskiego;
(g) trójka: trzy karty tej samej wysokości i dwie innej wysokości niż
trojka i różnej między sobą;
(h) dwie pary: dwie pary kart tej samej wysokości, ale różnej między
sobą i jedna karta o wysokości innej niż pary;
(i) para: dwie karty tej samej wysokości, pozostałe dowolne, ale takie,
żeby nie stworzyły żadnego z powyższych układów.
Oblicz liczbę wszystkich możliwych układów kart. Oblicz liczbę możliwych
układów każdego z powyższych typów.
6
Zadania różne
1. Ze zbioru cyfr wybieramy kolejno dwie:
(a) ze zwracaniem,
(b) bez zwracania.
Ile możemy w ten sposób otrzymać liczb dwucyfrowych?
2. Ile jest różnych rozmieszczeń ponumerowanych kul w n ponumerowanych
szufladach przy założeniu, że
(a) wszystkie szuflady są zajęte?
(b) co najmniej jedna komórka jest pusta?
(c) dokładnie jedna komórka jest pusta?
3. W urnie jest pięć kul ponumerowanych liczba od 1 do 5. Losujemy kolejno
bez zwracania wszustkie kule i zapisujemy ich numery w kolejności losowania. Ile liczb pięciocyfrowych większych od 20000 i mniejszych od 40000
można otrzymać?
4. W pudełku znajduje się 15 żarówek, z których 3 są przepalone. Losujemy
bez zwracania 5 żarówek (nie oglądając ich). Ile jest sposobów wylosowania
samych dobrych żarówek?
5. Pięć osób wsiada do windy na parterze 10-cio piętrowego wieżowca. Na ile
sposobów mogą oni wysiąść, jeżeli wiemy, że:
(a) każdy wysiada na innym piętrze?
(b) każdy może wysiąść na dowolnym piętrze?
(c) wszyscy wysiadają na dwóch piętrach.
3
7
Zadania dodatkowe do samodzielnych ćwiczeń
1. Dane sa zbiory A = {a, b} i B = {x, y, z}. Ile różnych słów dwuliterowych
można otrzymać wybierając po jednej literze z każdego ze zbiorów?
2. Mamy pięć odcieni szminek i pięć odcieni lakieru do paznokci pasujących
do stroju. Na ile sposobów możemy użyć obu tych kosmetyków?
3. Ile istnieje istnieje liczb pięciocyfrowych o nie powtarzających się cyfrach?
4. Oblicz liczbę przekątnych n-kąta wypukłego.
5. Z talii 52 kart losujemy bez zwracania 10. Na ile sposobów możemy wylosować zestaw zawierający asa kier?
6. Ile istieje mozliwości otrzymania przez brydzystę 13 kart tego samego koloru?
7. W urnie znajdują się cztery kule: trzy oznaczone numerem 1 i jedna oznaczone numerem 5. Z urny tej losujemy bez zwracania trzy kule zapisując
ich numery w kolejności losowania. Ile różnych cyfr czterocyfrowych możemy otrzymać?
8. W rajdzie pieszym uczestniczy grupa młodzieży składająca się z 5 harcerek i 4 harcerzy. Maszerują oni gęsiego. Ile istnieje różnych sposobów
ustawienia się uczestników, jeżeli:
(a) wykluczamy ustawienia, w których sąsiadują ze sobą harcerki lub
harcerze?
(b) ustawienie jest dowolne?
9. Cztery kule białe, 4 czarne i 4 zielone numerujemy i układamy obok siebie
w szereg, tak, aby każde 3 następujące po sobie kule były różnych kolorów.
Na ile sposobów możemy to zrobić?
10. Ile różnych słów (mających sens lub nie) można utworzyć z wyrazu ”mama”?
11. Ile różnych słów (mających sens lub nie) można utworzyć z wyrazu ”Missisipi”, przy założeniu, że wykorzystamy wszystkie litery tego wyrazu?
12. Ile istnieje różnych liczb czterocyfrowych?
13. Ile istnieje różnych liczb czterocyfrowych parzystch?
14. Ile istnieje różnych liczb czterocyfrowych nieparzystych?
15. Ile istnieje różnych liczb czterocyfrowych, w których w rzędzie jedności i
dziesiątek występuje ta sama cyfra?
16. Ile jest różnych liczb sześciocyfrowych można utworzyć z cyfr 0,1, 2, 3,
4, 5 takich, aby żadna cyfra w liczbie nie powtarzała się i aby w rzędzie
jedności stała cyfra 3 lub 4?
17. Ile różnych wyników można otrzymać przy rzucie kostką i monetą?
18. Pięciu studentów zdaje egzamin. Wiadomo, że żaden ze studentów nie
otrzyma oceny niedostatecznej. Na ile sposobów mozna wystawić im noty
(dst, bd, bdb)?
4