diagnozowanie konstrukcji lotniczych metodą prądów wirowych i

Justyna Szlagowska-Spychalska
Krzysztof Dragan
Wojciech Spychalski
Dominik Kukla
Krzysztof J. Kurzydłowski
diagnozowanie konstrukcji lotniczych
metodą prądów wirowych
i metody modelowania sygnałów
elektromagnetycznych
the inspection of the aerospace structures with the eddy current method and electromagnetic signal modeling abstract
Streszczenie
Przedmiotem artykułu jest opracowanie nowych procedur wykrywania uszkodzeń w konstrukcjach lotniczych.
Klasyczne podejście jest oparte na optymalizacji parametrów badania takich jak: częstotliwość oraz rozmiar i typ
sondy. Jednakże wykrycie i charakterystyka występujących uszkodzeń jest trudne chociażby ze względu na
budowę badanej struktury (np. występowanie rożnego rodzaju wzmocnień), czy też na istnienie całej gamy różnych
uszkodzeń (może występować np. korozja w połączeniach
międzywarstwowych, korozja ukryta, pęknięcia zmęczeniowe itp.). Dlatego postanowiono opracować metodę badawczą, usprawniającą proces diagnostyczny, opartą na
połączeniu metody eksperymentalnej – prądów wirowych
z symulacjami numerycznymi bazującymi na metodzie elementów skończonych (mES). metoda ta pozwala na modelowanie sygnałów elektromagnetycznych oraz symulację
rozkładu pól elektromagnetycznych w badanym materiale.
Wyniki uzyskane dzięki zbudowanym w programie AnSYS
układom sonda-próbka, w połączeniu z badaniami eksperymentalnymi, pozwolą w przyszłości na opracowanie
narzędzia, które będzie wykorzystywane do przygotowywania procesu pomiarowo-diagnostycznego.
Dr inż. Justyna Szlagowska-Spychalska,
dr inż. Wojciech Spychalski, prof. dr hab.
inż. Krzysztof J. Kurzydłowski – Politechnika Warszawska, dr inż. Krzysztof Dragan – Instytut Techniczny Wojsk Lotniczych, dr inż. Dominik Kukla
– Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAn.
2
Przegląd sPawalnictwa 13/2012
In the article a novel approach for the damage detection of the aerospace structures is presented. The classical approach take into the consideration the optimalization of the inspection parameters such as frequency,
size of the probe and potential probe type. Due to the
influence of substructural elements such as reinforcements, different types of damages and damages overlapping (such as bottom of the top layer corrosion and the
top of the bottom layer corrosion in multilayer structures)
the damage characterization may be difficult. The article
presents approach for the inspection based on the description of the electromagnetic signal distribution in the
inspected materials using the numerical models based on
the AnSYS software. Then the signal interaction with the
structure will be presented and in the future works correlated with the measurements based on the eddy current
and appropriate signal processing techniques.
Wstęp
monitorowanie konstrukcji z uwagi na możliwość
wystąpienia uszkodzeń jest istotnym czynnikiem systemu eksploatacji statków powietrznych (SP) [1].
Obecnie stosowane techniki diagnostyczne obejmują w większości przeglądy wizualne lub przeglądy
z wykorzystaniem metod badań nieniszczących (Non
Destructive Testing – nDT) [2].
Stosowane metody przeglądów są czasochłonne
i kosztowne, a wyniki badań zależne od tzw. czynnika ludzkiego (doświadczenia personelu wykonującego
badania, temperatury otoczenia, oświetlenia, hałasu,
konieczności demontażu niektórych elementów statku
powietrznego itp.). nowoczesne techniki diagnostyczne oparte na zautomatyzowanych badaniach nieniszczących znacząco zmniejszają liczbę składowych
wpływających na zależność wyników badań od czynników zewnętrznych, jak również skracają czas badania.
Do głównych zjawisk mogących prowadzić do
uszkodzenia katastroficznego SP zalicza się: korozję,
zjawiska pękania z udziałem korozji (SCC – Stress
Corrosion Cracking), zjawiska pękania pod wpływem
cykli zmęczeniowych. W większości przypadków występują takie uszkodzenia jak: pęknięcia zmęczeniowe
pod łbem nitu w połączeniach nitowych, małe pęknięcia
zmęczeniowe (MSD – Multiple Site Damage) prowadzące do powstania zjawiska rozległego uszkodzenia
zmęczeniowego (WFD – Widespread Fatigue Damage), korozja ukryta, pęknięcia i korozja w połączeniach
wielowarstwowych, a także zjawisko pękania pod wpływem naprężeń i korozji [3]. W większości rozważanych
przypadków dotyczących diagnostyki nieniszczącej
pęknięć zmęczeniowych dominuje metoda prądów
wirowych. Wykorzystanie tej metody jest związane
z paramagnetycznymi właściwościami badanych stopów aluminium, umożliwiających ich badanie tą metodą. Ponadto uszkodzenie o charakterze pęknięcia
stanowi wadę prostopadle ułożoną w stosunku do
generowanych w materiale ścieżek prądów wirowych,
co ułatwia ich detekcję.
Badanie metodą prądów wirowych ma charakter
porównawczy i wymaga kalibracji. Stanowi to istotne
ograniczenie zwłaszcza w przypadku diagnostyki elementów o złożonej geometrii. Współczesny rozwój
metod symulacji numerycznych pozwala na stworzenie modeli umożliwiających wyznaczenie rozkładu pól
elektromagnetycznych oraz obliczenie charakterystyk prądowirowych, które mogą stanowić dodatkowe
usprawnienie procesu diagnostyczno-pomiarowego.
możliwości zastosowania metody elementów skończonych (mES) do analizy zjawisk elektromagnetycznych i do obliczeń rozkładu prądów wirowych rozpoznano na początku lat 80 ub.w. [4]. Pierwsze prace w tym
zakresie były oparte na prostych, dwuwymiarowych modelach i pozwalały uzyskać mapy rozkładów natężenia
pola elektromagnetycznego i gęstości prądu [5]. W kolejnych latach zaczęto badać rozkłady pól wokół defektów
w materiałach [6]. W ostatnim dziesięcioleciu rozwój
metod numerycznych i wzrost mocy obliczeniowej komputerów pozwolił na rozważanie bardziej złożonych zagadnień, takich jak np. modelowanie analizy zmian impedancji sondy pomiarowej i związanej z tym możliwości
dokładniejszego wyznaczania charakterystyk prądowirowych [7]. Podjęto również próby analizy rozkładu gęstości prądów wirowych dla warstw wierzchnich i powłok,
przy czym prace w tym zakresie prowadzono głównie
dla elementów o prostych kształtach i dla materiałów
o znacznych różnicach w konduktywności elektrycznej
[8, 9]. Pojawiły się również prace poświęcone modelowaniu i analizie pęknięć [10]. Coraz częściej podejmowane są próby modelowania rozkładu pola elektromagnetycznego dla modeli trójwymiarowych, przy czym
rozpatrywane są rozkłady dla układów wielowarstwowych [11], dla materiałów o małej różnicy konduktywności
elektrycznej pomiędzy warstwą a podłożem [12], a także
dla przypadku występowania różnego rodzaju ubytków
materiału w detalu [13, 14]. Tego rodzaju analizy stanowią pierwszy krok na drodze do zastosowań przemysłowych. możliwość połączenia metod nieniszczących
z numerycznymi ma ogromne znaczenie dla przemysłu,
zwłaszcza dla branży lotniczej, w której diagnostyka krytycznych elementów konstrukcji to podstawa.
Modelowanie prądów wirowych
modelowanie przeprowadzono metodą elementów skończonych przy użyciu programu AnSYS 12.
Stworzone zostały dwuwymiarowe modele układu
sonda–próbka, umożliwiające symulacje rozkładu
gęstości prądów wirowych w zależności od geometrii
uszkodzenia, właściwości warstwy, geometrii próbki
itp. modele te stanowią bazę wyjściową dla dalszych
bardziej złożonych symulacji pozwalających na: (1)
modelowanie rozkładu pól elektromagnetycznych wokół najczęściej występujących w lotnictwie uszkodzeń
(np. pęknięcia zmęczeniowe, korozja w połączeniach
międzywarstwowych) oraz (2) wyznaczenie sygnału
elektromagnetycznego, z którego określić zależność
„kąt fazowy – uszkodzenie” lub „kąt fazowy – grubość
warstwy”.
W modelowaniu zjawisk elektromagnetycznych metodą elementów skończonych, za pomocą programu
AnSYS, można dokonać wyboru pomiędzy dwiema
formułami obliczeń (dla modelu 2D). Pierwsza polega na wykorzystaniu skalarnego potencjału pola magnetycznego (T – elektryczny potencjał wektorowy),
(Ω – skalarny potencjał magnetyczny [15]), druga na
wykorzystaniu magnetycznego potencjału wektorowego(A – magnetyczny potencjał wektorowy), (V – skalarny potencjał pola elektrycznego – A, [16, 17].
Wybrane elementy i rodzaj rozwiązania z góry
determinują metodę obliczeń (harmoniczna, zmienna
w czasie – transient). W pracy obliczenia prowadzono
w oparciu o magnetyczny potencjał wektorowy (mVP
– Magnetic vector Potential Formulation).
Aby lepiej zrozumieć przebieg obliczeń, należy
przypomnieć fundamentalne równania opisujące zjawiska elektromagnetyczne, czyli równania maxwella.
W rozpatrywanym przypadku pomijane jest występowanie prądów przesunięcia i konwekcji [18, 19] wobec
czego otrzymuje się trzy równania, które mają następującą postać:
Przegląd sPawalnictwa 13/2012
3
– prawo Faradaya:
(1)
– prawo Ampera:
(2)
– prawo Gaussa dla magnetyzmu
Δ
x {B} = 0
(3)
gdzie: B – indukcja magnetyczna; T, E – natężenie pola elektrycznego,
V/m; H – natężenie pola magnetycznego, A/m, Jt – całkowita gęstość
prądu; A/m2; JS – gęstość prądu źródła; Je – gęstość prądów wirowych;
t – czas, s; V – divergence operator 1/m, Vx – curl operator 1/m.
Jak można zauważyć dywergencja B jest zawsze
równa zeru (3). Oznacza to, że pole B można przedstawić w postaci rotacji innego pola (4)
Δ
{b} = rot A = x{A}
(4)
gdzie: A – magnetyczny potencjał wektorowy, Wb/m. W tym kontekście w obliczeniach wprowadzone jest pole A (magnetyczny potencjał wektorowy).
Jeśli wprowadzi się dodatkowe warunki brzegowe
opisane równaniem (5) oraz potencjał skalarny pola
elektrycznego V opisany zależnością (6), oba równania
maxwella (1) i (3) są spełnione:
(5)
wzorcowej,wykorzystywanej do wykrywania ubytków
korozyjnych z oznaczonymi 4 modelami ubytków
o głębokościach odpowiednio: 0,12 (2); 0,21 (5);
0,32 (18) i 0,4 mm (rys. 1).
Próbka była wykonana z aluminium 3103. na potrzeby symulacji numerycznych wyznaczono konduktywność badanego materiału (tabl. I).
Badania wykonano dla dwóch częstotliwości:
5 i 7 kHz z uwagi na możliwość zaplanowania wszystkich uszkodzeń próbki poddanej badaniom. Symulowany był ruch sondy po powierzchni próbki zawierającej
uszkodzenie. na rysunkach 2 i 3 przedstawiono przykładowe rozkłady gęstości prądów wirowych uzyskane
dla próbki bez defektu oraz dla kolejnych przypadków
z uszkodzeniami (dla jednego z położeń sondy). Wyraźnie można zaobserwować zjawisko „opływania”
uszkodzenia przez prądy indukowane w materiale.
Symulacja numeryczna sygnałów przetwornika
prądowirowego od uszkodzenia wiązała się z uzyskaniem rozwiązań dla kolejnych położeń sondy
względem badanego materiału (ok. 10 lokalizacji
dla każdego przypadku). Dla wszystkich położeń
obliczano impedancję sondy. Aby znormalizować
charakterystyki zmian impedancji przetwornika wiroprądowego otrzymane podczas symulacji, wyznaczono reaktancja sondy (ωL0). W tym celu przeanalizowany został przypadek pracy przetwornika
w kontakcie z materiałem nieuszkodzonym (tzw. „zerowanie sondy”). Uzyskane w ten sposób charakterystyki przetwornika prądowirowego dla rozpatrywanych
uszkodzeń przedstawiono na rysunkach 4 i 5.
(6)
gdzie: V – potencjał skalarny pola elektrycznego, V.
następnie, uwzględniając podstawowe prawo opisane równaniem (7) oraz dywergencję gęstości prądu,
prawo Ampera (2) również jest spełnione:
(7)
gdzie: μ – przenikalność magnetyczna, H/m.
Wtedy pierwszym wynikiem obliczeń jest rozkład indukcji magnetycznej B (4) następnie na tej podstawie
wyliczane jest natężenie pola magnetycznego H (7),
a gęstość indukowanych prądów wirowych wyznaczana jest z równania (8):
(8)
Rys. 1. Próbka wzorcowa do wykrywania uszkodzeń korozyjnych
Fig. 1. Sample for corrosion damage identification
gdzie γ – konduktywność, S/m.
Modelowanie rozkładu gęstości prądów
wirowych i sygnału przetwornika
wiroprądowego – próbka z uszkodzeniem
Badania i symulacje sprawdzające poprawność działania modelu, przeprowadzono dla próbki
4
Przegląd sPawalnictwa 13/2012
tablica I. Właściwości materiałowe stopu aluminium 3103 wykorzystywane w symulacjach
table I. Aluminum 3103 properties used for tests
Właściwości
Stop aluminium 3103
Rezystywność, Ωm
(5,51 ± 2) x10-8
Konduktywność, S/m
(18,2 ± 0,1) x106
Przenikalność magnetyczna, μr
1
Uzyskane mapy rozkładu gęstości prądów wirowych, jak również kształt otrzymanych krzywych,
pozwoliły przyjąć założenie, że warunki brzegowe
←
symulacji numerycznych zostały dobrane prawidłowo,
wobec tego postanowiono przejść do kolejnego etapu
badań, jakim była weryfikacja zbudowanego modelu
z rzeczywistymi pomiarami.
←
uszkodzenie
←
←
←
uszkodzenie
←
uszkodzenie
←
←
uszkodzenie
←
←
uszkodzenie
uszkodzenie
←
←
←
←
uszkodzenie
Rys. 2. Wektorowe i konturowe mapy rozkładu gęstości prądów wirowych (A/m2), przy częstotliwości badania 5 kHz, dla próbki:a) bez
uszkodzenia i z uszkodzeniem: b) 0,12 mm; c) 0,21 mm; d) 0,32 mm;
e) 0,40 mm
Fig. 2. Vectorial and contour maps of the distribution of eddy current
density (A/m2), at a frequency of 5 kHz for sample: a) without and
with damage b) 0.12 mm, c) 0.21 mm, d) 0 , 32 mm, e) 0.40 mm
uszkodzenie
←
←
Rys. 3. Wektorowe i konturowe mapy rozkładu gęstości prądów wirowych (A/m2), przy częstotliwości badania 7 kHz, dla próbki: a) bez
uszkodzenia i z uszkodzeniem: b) 0,12 mm; c) 0,21 mm; d) 0,32 mm;
e) 0,40 mm
Fig. 3. Vectorial and contour maps of the distribution of eddy current
density (A/m2), at a frequency of 7 kHz for sample: a) without and
with damage b) 0.12 mm, c) 0.21 mm, d) 0 , 32 mm, e) 0.40 mm
Przegląd sPawalnictwa 13/2012
5
Rys. 6. Wyniki pomiarów
dla częstotliwości 5 kHz
Fig. 6. Results at the frequency of 5 kHz
Rys. 3. Obliczone charakterystyki przetwornika wiroprądowego
dla kolejnych wielkości uszkodzeń, częstotliwość 5kHz
Fig. 3. Calculated eddy current transducer characteristics for subsequent extent of damage, frequency of 5 kHz
Rys. 5. Obliczone charakterystyki przetwornika wiroprądowego
dla kolejnych wielkości uszkodzeń, częstotliwość 7 kHz
Fig. 5. Calculated eddy current transducer characteristics for subsequent extent of damage, frequency of 7 kHz
Dane z pomiarów korelowano za pomocą modelu
liniowego opisującego przebieg prostej dla punktu łączącego punkt największej wypukłości z początkiem
obranego układu współrzędnych.
Poniżej przedstawiono opis korelacji wyników
z pomiarów (częstotliwość 5 kHz z przedstawionym
już modelem).
na rysunku 6 przedstawiono krzywe fazowe uzyskane z pomiarów z częstotliwością 5 kHz. Zgodność
wyników (dla przedstawionych krzywych fazowych: pomiar – rys. 6 i model – rys. 4) oceniać można na podstawie wartości kąta fazowego dla wybranych punktów na
krzywej. Jednakże należy pamiętać, że bezpośrednie
porównanie nie będzie możliwe z uwagi na założenia
modelu. Poniżej przedstawiono metodykę wyznaczenia
sposobu porównania sygnałów z modelu i pomiaru.
Jednym z możliwych wyborów jest ustalenie punktu
stanowiącego 95 centyl amplitudy (lub amplitudę maksymalną), medianę lub punkt największej wypukłości
krzywej Pw, maksymalizującego odległość od odcinka
łączącego początek Pi i koniec Pf krzywej fazowej l:
(9)
Weryfikacja wyników
Weryfikacji modelu dokonano na podstawie badań
wiroprądowych. Pomiary wykonano za pomocą sondy zamodelowanej podczas badań numerycznych.
Do pomiarów użyto defektoskopu prądowirowego
– Phasec 2200 D. Rejestrowane dane zapisywano
w postaci plików obrazowych, co pozwoliło na ich wykreślenie w arkuszach kalkulacyjnych (środowiskach
obliczeń numerycznych).
tablica II. Kąty fazowe otrzymane na podstawie symulacji
oraz pomiarów dla częstotliwości 5 kHz
table II. Phase angles obtained from simulations and measurements
for a frequency of 5 kHz
6
Głębokość
uszkodzenia, mm
Wyniki symulacji
(tg kąta fazowego)
Wyniki pomiarów
(tg kąta fazowego)
0,12
0,21
0,32
0,40
0,158934
0,163519
0,209779
0,254136
2,190476
2,39024
3,05
3,7
Przegląd sPawalnictwa 13/2012
Przedstawiono porównanie krzywych fazowych
opracowane na podstawie przyjętego kryterium (tabl. II).
Ze względu na trudności w odwzorowaniu w modelu rzeczywistego kształtu sondy oraz dokładnej charakterystyki materiałowej badanych próbek kąty fazowe
otrzymane dla uszkodzeń różnią się. Dlatego do weryfikacji zastosowano przyrosty (zmiany kątów fazowych
dla różnych uszkodzeń). Wyniki porównania przedstawiono w tablicy III.
Obliczone przyrosty kąta fazowego wraz ze wzrostem głębokości uszkodzenia pozostają w bardzo
dobrej zgodności z doświadczeniem. można zatem
stwierdzić, że wpływ zmiany parametrów pęknięcia na
tablica III. Przyrost tg kąta fazowego dla poszczególnych pęknięć
table III. The increase of the phase angle tan for individual cracks
Głębokość
uszkodzenia, mm
Wyniki symulacji
Wyniki pomiarów
0,21
0,32
0,4
2,8%
22,1%
17,45%
8,4%
21,6%
17,57%
uzyskiwane krzywe fazowe jest dobrze odwzorowany
w opracowanym modelu. Uzyskany wynik będzie ponadto korelowany z pomiarami dla różnych zakresów
częstotliwości. ma to szczególnie znaczenie dla dalszej pracy związanej z tworzeniem modeli dla bardziej
złożonych struktur.
Wnioski i walidacje
Podsumowując przeprowadzone badania należy
stwierdzić, że zaproponowana metoda oparta na wykorzystaniu formalizmu metody elementów skończonych do zbudowania modeli pozwalających uzyskać
ilościowy opis prądów wirowych, będący podstawą
określenia charakterystyk sygnałowych, jest właściwa.
Zasadność zastosowanej metody potwierdzają
następujące wyniki:
– uzyskane numerycznie charakterystyki przetwornika wiroprądowego od uszkodzeń mają
kształt właściwy dla aluminium oraz są zgodne
z charakterystykami otrzymanymi w czasie badań
weryfikujących (rys. 3÷6);
– zmiany w różnicach pomiędzy kątami fazowymi
uzyskane za pomocą modelowania są zgodne
z zmianami określonymi podczas walidacji pomiarowej (wyniki przedstawiono w tablicach II i III).
– uzyskane wyniki pozwalają stwierdzić zgodność
modelu z wynikami doświadczalnymi. Walida-
cję przeprowadzono również dla częstotliwości
7 kHz, gdzie także uzyskano bardzo dobrą zgodność zmierzonych wartości.
Dalsze badania wykorzystujące metodę prądów
wirowych, wspartą wynikami symulacji metodą elementów skończonych, będą się skupiały na:
– dalszej weryfikacji modelu dla innych przypadków
uszkodzeń;
– stworzeniu bazy wyników obliczeń numerycznych
stanowiących wzorce do pomiarów eksperymentalnych, co może znaleźć szczególne zastosowanie przy badaniach elementów wykonanych z różnych materiałów i o skomplikowanych kształtach;
– stworzeniu bazy charakterystyk sygnałowych dla
konkretnych przypadków (np. dla różnego rodzaju
wad i uszkodzeń, pęknięcia, wtrącenia itp.);
– stworzeniu narzędzia, które będzie wykorzystywane do przygotowywania procesu pomiarowo-diagnostycznego.
Literatura
[1]
Dragan K., Klimaszewski S.: Problemy Badań i Eksploatacji
Techniki Lotniczej. Tom 6 (rozdział 3) – nowoczesne metody
badań nieniszczących, Wydawnictwo Instytutu Technicznego
Wojsk Lotniczych, 2006.
[2] Alten F., Grandt Jr.: Fundamentals of Structural Integrity. Damage Tolerant Design and nondestructive Evaluation, Wiley,
2004.
[3] Aging of U.S. Air Force Aircraft – final report, Washington
D.C. 1997.
[4] Palanisamy R., Lord W.: Finite Element modeling of Electromagnetic nDT Phenomena, IEEE Transactions on magnetics, vol. mag. 15, no. 6, 1979.
[5] nehl T.W., Demerdash n. A.: Application of finite element
eddy current analysis to nondestructive detection of flaws
in metallic structures, IEEE Transactions on magnetics, vol.
mag. 16, no. 5, 1980.
[6] Lord W.: Applications of numerical field modeling to electromagnetic methods of nondestructive testing, IEEE Transactions on magnetics, vol. mag. 19, no. 6, 1983.
[7] Shin Y., Lee J., Song m.: Preparation of Eddy Current Impedance Plane Diagram by Finite Element modeling, Key Engineering materials, vols. 270-273, 2004.
[8] Starzyński G.: Warstwa wierzchnia i jej modelowanie, VIII Seminarium Szkoleniowe nt. nieniszczące badania materiałów,
Zakopane 2002.
[9] Gotom Y., matsuoka A., Takahashi n.: measurement of thickness of nickel – layer on steel using electromagnetic method,
IEEE Transactions on magnetics, vol. 43, no. 6, 2007.
[10] Rachek m., Feliachi m.: 3D movement simulation techniques
using FE methods: Application to Eddy current non-destructive testing, nDT&E International, vol. 40, 2007.
[11] Yong Li, Theodoulidis T., Tian Gui Yun: magnetic Field-Based
Eddy-Current modeling for multilayered Specimens, IEEE
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
Transactions on magnetics, vol. 43, Issue: 11, s. 4010-4015,
2007.
Szlagowska-Spychalska J.: modelowanie i pomiar prądów
wirowych w warstwach hartowanych indukcyjnie pod kątem
pomiarów ich grubości w elementach o złożonych kształtach
Politechnika Warszawska, rozprawa doktorska, 2009.
marklein R., Rahman m. U.: numerical modeling and inverse
profiling in non-destructive testing, Applied Electromagnetics
Conference (AEmC), s. 1-4, 2009.
Thomas V., Joubert P.Y., Vourc’h E., Placko D.: A novel modeling of surface breaking defects for eddy current quantitative
imaging, Sensors Applications Symposium (SAS), IEEE, s.
154-157, 2010.
Sawicki B.: modelowanie prądów wirowych w środowisku słaboprzewodzącym z wykorzystaniem wektorowego potencjału
elektrycznego T, Politechnika Warszawska, rozprawa doktorska, 2003.
Biro O., Preis K.: On the Use of the magnetic Vector Potential
in the Finite Element Analysis of Three – Dimensional Eddy
Currents, IEEE Transactions on magnetics, vol. 25, no. 4,
1989.
Biro O., Preis K., Richter K.: On the Use of the magnetic Vector Potential in the nodal and Edge Finite Element Analysis
of 3D magnetostatic Problems, IEEE Transactions on magnetics, vol. 32, no. 3, 1996.
Renhart W., Stogner H., Preis K.: Calculation of 3D Eddy
Current Problems by Finite Element method using either an
electric or a magnetic vector potential, IEEE Transactions on
magnetics, vol. 24, no. 1, 1988.
Burais n., Foggia A., nicolas A., Sabonnadiere J. C.: Electromagnetic Field Formulation for Eddy Current calculations
in nondestructive Testing System, IEEE Transactions on magnetics, vol. mag. 18, no. 6.
Przegląd sPawalnictwa 13/2012
7