34ĹĹ pĹ2 ×i n-qĹĹĹĹĹpĹ5 + 2, qĹĹĹĹĹ2 - pĹ5, -qĹĹĹĹĹ2

MuPAD (część pierwsza)
234+4455 //suma dwóch liczb
4689
23/34 //iloraz dwóch liczb
23
34
ÅÅÅ
43245*6123456 //iloczyn dwóch liczb
264808854720
23! //silnia
25852016738884976640000
23/23: //jeśli na końcu napiszemy dwukropek, to wynik nie bedzie
//wyświetlony
23/23 //a teraz wynik będzie wyśwetlony
1
sqrt(-2) //program potrafi pierwiastkować liczby ujemne
pÅ
2 ×i
sqrt(16) //pierwiastek z liczby 16
4
solve(x^4-4*x^2-1=0,x) //polecenie solve rozwiązuje równania lub układy
//równań
n qÅÅÅÅÅ
pÅ Å qÅÅÅÅÅpÅÅ qÅÅÅÅÅpÅÅ qÅÅÅÅÅ
pÅ Åo
5 + 2,
-
2-
5, -
2-
5,
5 +2
solve(x^3-4*x^2-1=0,x) //jeśli Mupad nie potrafi podać rozwiazań w
//postaci wzorów, to wtedy używa słowa RootOf
RootOf X13 - X12 × 4 - 1, X1
(
(
)
)
A:= solve(x^3-4*x^2-1=0,x)
RootOf X13 - X12 × 4 - 1, X1
1
float(A) //komenda float sluży do przybliżonego rozwiązywania równań
{
4.060647028, - 0.03032351378 + 0.4953247992 × i, - 0.03032351378 - 0.4953247992 × i
}
solve(x^3-4*x^2-1=0,x) //pierwiastki nie są podane w postaci jawnej!
RootOf X13 - X12 × 4 - 1, X1
(
)
solve(x^3-4*x^2-1=0,x,MaxDegree=3): //komenda MaxDegree powoduje, że
//pierwiastki będą podawane w
//postaci jawnej
solve({3*x+2*y-1=0,-6*x+4*y-6=0},{x,y})
x = - 13 , y = 1
nh Å io
rownania:={3*x+2*y-1=0,-6*x+4*y-6=0} //równania i zmienne można wcześniej
//zadeklarować, a potem ich używać
{
{ }
nh Å io
3 × x + 2 × y - 1 = 0, 4 × y - x × 6 - 6 = 0
zmienne:={x,y}
}
x, y
solve(rownania,zmienne) //roziąujemy układ równań za pomocą komendy solve
x = - 13 , y = 1
solve({x+2*y-1=0,-2*x+4*y^2-2=0},{x,y}) //trochę bardziej skomplikowany
//przykład!!!
½· pÅ
x=
pÅÅÅÅÅ Å ¸ · pÅ ÅÅÅpÅÅ Å ¸¾
5
5 + 2, y = - 2 - 12 , x = 2 -
5
5, y = 2 - 12
Działania na wyrażeniach algebraicznych
A:=(x-3)^2*(x-1)^3*(x-5) //deklaracja wielomianu
x-1 3× x-3 2× x-5
( )( )( )
B:=expand(A) //rozwinięcie wielomianu A
x6 - x5 × 14 + 75 × x4 - x3 × 196 + 263 × x2 - x × 174 + 45
2
factor(B) //faktoryzacja wielomianu
x-5 × x-3 2× x-1
( )( ) ( )
3
sin(0)
0
cos(0) //funkcja cosinus
1
tan(0) // funkcja tanges
0
cot(PI/2) // funkcja cotanges
0
PI //liczba pi
p
?PI
t:=sin(2*x)^2+cos(2*x)^2 //deklaracja jedynki trygonometrycznej
cos 2 × x 2 + sin 2 × x
( ) ( )
simplify(t)
2
//polecenie simplify upraszcza wyniki
//małe simplify dziala bardzo szybko,
//ale czasami zawodzi
1
Simplify(2*sin(x)*cos(x)) //duże simplify jest bardziej skuteczne
( )
qÅÅÅÅÅÅÅ
pÅ Å
pÅ
sin 2 × x
sqrt(4+3*sqrt(3)) //pierwiastek pewnej liczby
3×
3 +4
simplify(4+3*sqrt(3)) //uproszczenie ostatniego wyniku
3×
3 +4
3
P:=x*y+a*x*y+x^2*y-a*x*y^2+x+a*x //deklaracja wyrażenia
//algebraicznego
x + x2 × y + a × x + x × y + a × x × y - a × x × y2
collect(P,x) //pogrupowanie wyrażenia algebraicznego P względem x
y × x2 + a + y - a × y2 + a × y + 1 × x
(
)
( ) ( )
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅ
( Å) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
( Å)
( ) ÅÅÅÅÅÅÅ
collect(P,y) //pogrupowanie wyrażenia algebraicznego P względem y
- a × x × y2 + x + x2 + a × x × y + x + a × x
w:=x^2/(x^3-3*x+2)
x2
x3 - x × 3 + 2
partfrac(w) //rozkład ułamka wymiernego na ułamki proste
5
1
4
+
2 + 9× x+2
9× x-1
3× x-1
Różniczkowanie i całkowanie
w:=x^2/(x^3-x+1) //deklaracja wyrażenia wymiernego
x2
x3 - x + 1
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
diff(w,x)//pierwsza pochodna
2
2
2×x - x × 3×x -1
x3 - x + 1
x3 - x + 1 2
(( ) Å)
ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
diff(w,x,x) //druga pochodna funkcji "w" w punkcie x
2 × x2 × 3 × x2 - 1
x3 - x + 1 3
2
x × 3 × x2 - 1 × 4
x3 - x + 1 2
(
)
(
)
ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
( ) ( ) ( )Å
x3 × 6
2
x3 - x + 1
x3 - x + 1
2
+
-
diff(w,x$2)//druga pochodna - komenda uproszczona
2 × x2 × 3 × x2 - 1
x3 - x + 1 3
2
x × 3 × x2 - 1 × 4
x3 - x + 1 2
(
)
(
)
ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
( ) ( ) ( )Å
x3 × 6
2
x3 - x + 1
x3 - x + 1
2
+
-
4
x$2 //deklaracja ciągu złożonego z dwóch takich samych elementów
x, x
h:=sin(x)/cos(x)
sin x
cos x
ÅÅÅÅÅ(( ))
(( ))Å ÅÅÅÅÅÅÅ
(( ))Å
ÅÅÅÅÅÅÅ
diff(h,x$3)//trzecia pochodna
8 × sin x 2 6 × sin x 4
+
+2
cos x 2
cos x 4
int(h,x) //całka nieoznaczona z funkcji h
( ( ))
()
()
ÅÅÅÅÅ
- ln cos x
int(sin(x),x) //całka nieoznaczona
- cos x
int(1/(x^2+1),x)
arctan x
f:=x->1/(1+x^3) //definicja funkcji f
x® 1 3
1+x
f(1) //wartość funkcji f w punkcie 1
1
2
Å
f(0) //wartość funkcji f w punkcie 0
1
diff(f(x),x) //pochodna funcji f w punkcie x
2
- 33 × x
x +1
ÅÅÅÅÅÅ
( )Å
³
´
³
pÅ ÅÅpÅÅ´
pÅ
Å
Å
Å
ÅÅÅÅÅ
( Å) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
%
2
//polecenie % wyświetla ostatni wynik wykonany przez MuPAD
ln
ln x + 1
3
x2
3
- 3x +
6
1
3
+
3 × arctan
2×
3×x
3
-
3
3
3
5
int(1/(1+x^2),x)
()
Å
Å
ÅÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅÅÅÅÅ
( ) Å
³
´
³
pÅ ÅÅpÅÅ´
pÅ
Å
Å
Å
ÅÅÅÅÅ
( Å) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
Å
arctan x
s:=partfrac(1/(1+x^3)) //rozkład funkcji na ułamki proste
x
2
1
- 23 3
3× x+1
x -x+1
int(s,x) // całkowanie funkcji rozłożonej na ułamki proste
ln
ln x + 1
3
x2
3
- 3x +
1
3
6
+
3 × arctan
2×
3×x
3
-
3
3
3
int(x^3,x=0..1)//polecenie int liczy również całkę oznaczoną
1
4
Granica funkcji w punkcie
f:=x->1/(1+x^3)
x® 1 3
1+x
ÅÅÅÅÅ
limit(f(x),x=0) //granica funkcji f w punkcie x=0
1
limit(f(x),x=-1) //granica funkcji f w punkcie x=-1
undefined
limit(f(x),x=-1,Left) //lewostronna granica funkcji f w punkcie x=-1
-¥
limit(f(x),x=-1,Right) //prawostronna granica funkcji f w punkcie x=-1
¥
Ciągi liczbowe
en:=n->(1+1/n)^n //definicja ciągu liczbowego za pomocą funkcji
n
n ® 1 + 1n
³ Å´
6
en(1) //wartość pierwszego elmentu ciągu {en}
2
limit(en(n),n=+infinity) //polecenie limit liczy granie
e
Wykresy funkcji
f:=x->piecewise([x<0,-x],[x=0,0],[x>0,x]) //definicja funkcji kawałkami
//liniowej
([
] [ ] [ ])
x ® piecewise x < 0, - x , x = 0, 0 , 0 < x, x
f(-1)
1
f(0)
0
f(1)
1
plotfunc2d(f(x),x=-10..10) //polecenie plotfunc2d służy do wykreślania
//funkcji
y 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x
m:=x->(x^4+x^2+x+1)/(x^2-1) //definicja funckji m
4
2
x ® x + x2 + x + 1
x -1
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
7
plotfunc2d(m(x)) //skala na obu osiach nie jest jednakowa
y
200
150
100
50
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
Szukamy pomocy
info(stdlib) //poniższe polecenie wyświetla wszystkie standardowe
//polecenia MuPADa
Library 'stdlib': the basic functionality of MuPAD
No Interface.
-- Exported:
D,
RootOf,
_notsubset,
assert,
bytes,
collect,
contains,
denom,
evalAt,
expr,
fclose,
freeze,
getprop,
igcd,
infinity,
inverseFcn,
ithprime,
lhs,
lterm,
min,
nthmonomial,
pade,
plotfunc3d,
protocol,
read,
rewrite,
series,
split,
system,
text2expr,
Im,
_approx,
_subset,
assign,
card,
combine,
content,
diff,
expand,
expr2text,
fopen,
gcd,
ground,
igcdex,
info,
irreducible,
lcm,
limit,
map,
mtaylor,
nthterm,
partfrac,
powermod,
radsimp,
readbytes,
rhs,
setuserinfo,
strmatch,
taylor,
time,
O,
_implies,
_xor,
assume,
coeff,
complexInfinity,
contfrac,
discont,
export,
factor,
fprint,
gcdex,
hastype,
ilcm,
int,
is,
lcoeff,
linsolve,
maprat,
normal,
numer,
piecewise,
print,
random,
rectform,
rtime,
simplify,
substring,
tcoeff,
unassume,
Re,
_in,
anames,
asympt,
coerce,
conjugate,
degreevec,
doprint,
expose,
factorout,
freeIndets,
genident,
icontent,
implicitFcn,
interpolate,
isprime,
length,
lmonomial,
max,
nthcoeff,
package,
plotfunc2d,
product,
rationalize,
revert,
select,
solve,
sum,
testeq,
undefined,
8
text2expr,
unexport,
zip
?min
time,
unfreeze,
unassume,
universe,
undefined,
version,
//po takim poleceniu program wyswietli nam przeglądarkę pomocy,
//w której przeczytamy co robi procedura min
info() //wyświetla listę wszystkich bibliotek MuPADa
-- Libraries:
Ax,
Cat,
Dom,
Graph,
RGB,
Series,
adt,
combinat, detools, fp,
generate, groebner,
intlib,
linalg,
linopt,
listlib, matchlib, module,
numlib,
ode,
orthpoly, output, plot,
polylib,
property, solvelib, specfunc, stats,
stdlib,
stringlib,
transform
Type,
import,
numeric,
prog,
student,
info(plot) //wyświetla zawartość biblioteki plot
Library 'plot': graphical primitives and functions for two- and three-dimension\
al plots
-- Interface:
plot::AmbientLight,
plot::Arrow3d,
plot::Box,
plot::Canvas,
plot::ClippingBox,
plot::CoordinateSystem2d,
plot::Curve3d,
plot::Density,
plot::Ellipse2d,
plot::Function3d,
plot::HOrbital,
plot::Histogram2d,
plot::Implicit3d,
plot::Iteration,
plot::Listplot,
plot::MuPADCube,
plot::Ode3d,
plot::Piechart2d,
plot::Point2d,
plot::PointList2d,
plot::Polygon2d,
plot::Raster,
plot::Reflect3d,
plot::Scale2d,
plot::Scene2d,
plot::SparseMatrixplot,
plot::SpotLight,
plot::Surface,
plot::Sweep,
plot::Text3d,
plot::Translate2d,
plot::Turtle,
plot::Waterman,
plot::copy,
plot::hull,
-- Exported:
plot::Arc2d,
plot::Bars2d,
plot::Boxplot,
plot::Circle2d,
plot::Cone,
plot::CoordinateSystem3d,
plot::Cylinder,
plot::DistantLight,
plot::Ellipsoid,
plot::Group2d,
plot::Hatch,
plot::Icosahedron,
plot::Inequality,
plot::Line2d,
plot::Lsys,
plot::Octahedron,
plot::Parallelogram2d,
plot::Piechart3d,
plot::Point3d,
plot::PointList3d,
plot::Polygon3d,
plot::Rectangle,
plot::Rotate2d,
plot::Scale3d,
plot::Scene3d,
plot::Sphere,
plot::Streamlines2d,
plot::SurfaceSTL,
plot::Tetrahedron,
plot::Transform2d,
plot::Translate3d,
plot::VectorField2d,
plot::XRotate,
plot::delaunay,
plot::modify,
plot::Arrow2d,
plot::Bars3d,
plot::Camera,
plot::Circle3d,
plot::Conformal,
plot::Curve2d,
plot::Cylindrical,
plot::Dodecahedron,
plot::Function2d,
plot::Group3d,
plot::Hexahedron,
plot::Implicit2d,
plot::Integral,
plot::Line3d,
plot::Matrixplot,
plot::Ode2d,
plot::Parallelogram3d,
plot::Plane,
plot::PointLight,
plot::Polar,
plot::QQplot,
plot::Reflect2d,
plot::Rotate3d,
plot::Scatterplot,
plot::Sequence,
plot::Spherical,
plot::Sum,
plot::SurfaceSet,
plot::Text2d,
plot::Transform3d,
plot::Tube,
plot::VectorField3d,
9
plot::ZRotate,
plot::getDefault,
plot::setDefault
-- Exported:
plot, plotfunc2d, plotfunc3d
?plot::Box
//szukamy informacji o poleceniu "plot::Box" w Helpie
?float //szukamy informacji o poleceniu "float" w Helpie
float(PI) //przybliżona wartość liczby pi
3.141592654
float(sqrt(3)) //przybliżona wartość pierwiastka z 3
1.732050808
reset() //kasowanie pamięci
Zbiory i listy
A:={1,2,3} //deklaracja zbioru A
{ }
{ }
{ }
{ }
{}
[ ]
[
]
1, 2, 3
B:={1,1,2} //deklaracja zbioru B
1, 2
A union B //suma dwóch zbiorów
1, 2, 3
A intersect B //iloczyn dwóch zbiorów
1, 2
A minus B //różnica dwóch zbiorów
3
Lista:=[1,1,2] //deklaracja listy
1, 1, 2
Lista:=Lista.[1,4,5] //dopisanie trzech elementów do listy "Lista"
1, 1, 2, 1, 4, 5
10
d:=[sin(n) $ n=1..10] //definicja listy d
[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]
()
sin 1 , sin 2 , sin 3 , sin 4 , sin 5 , sin 6 , sin 7 , sin 8 , sin 9 , sin 10
d[2] //drugi element listy d
sin 2
Koniec części pierwszej
11