Kolokwium z Topologii II rok Matematyki, semestr

Nazwisko i imie:
, ............................................................
Kolokwium z Topologii
II rok Matematyki, semestr trzeci
1. Niech A bedzie
podzbiorem przestrzeni R2 określonym nastepuj
aco:
,
,
,
B = {(x, y) | 0 6 y 6 1, x = y/n, n ∈ N} .
i niech metryka w przestrzeni R2 bedzie
a) metryka, euklidesowa, b) metryka, ”kolejowa”.
Narysuj zbiór
,
,
B? Odpowiedź uzasadnij.
B. Czy punkt p = (0, 1) należy do domkniecia
,
2. Funkcja d : R × R → R dana jest wzorem d(x, y) = max(|x|, |y|), dla x 6= y oraz d(x, x) = 0.
1) Wykazać, że d jest metryka, w zbiorze liczb rzeczywistych.
2) Czy każdy zbiór otwarty w metryce d jest zbiorem otwartym w metryce euklidesowej? Odpowiedź
uzasadnij.
3. Ustawmy liczby wymierne Q przedzialu [0, 1] w ciag
, {qn }n∈N i określmy funkcje, f : [0, 1] → R
wzorem:
1
, jeśli x = qn
n2
f (x) =
.
0,
jeśli x ∈ R \ Q
Wykazać, że f jest funkcja, ciagla, w punkcie t wtedy i tylko wtedy, gdy t jest liczba, niewymierna.
,
4. Podaj definicje, przestrzeni ośrodkowej. Czy przestrzeń z zadania 2 jest ośrodkowa?
5. Czy funkcja f : [0, 2) → S 1 dana wzorem f (x) = (sin πx, cos πx) jest homeomorfizmem? Odpowiedź
uzasadnij.
(Uwaga. S 1 = (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1 jest okregiem
jednostkowym w plaszczyźnie euklidesowej,
,
zaś [0, 2) jest przedzialem na prostej euklidesowej.)