Wojciech Grudziński - Instytut Matematyki

1
Wojciech Grudziński
Instytut Matematyki PŁ
pokój 161 ( I piętro )
http://im0.p.lodz.pl/~wgrudzinski
DyŜury
Czwartki 9:00 – 10:30
Literatura
podstawowa
R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, PWN 2001.
Literatura
uzupełniająca
M. Balcerzak, J. Rogowski, Wykłady z analizy matematycznej, Wydz. FTIMS
PŁ 2002.
J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej,
WNT 1999.
J. Steward, Calculus, Brookes/Cole Publ. Comp. 1991.
Wykład
Literatura obowiązkowa
Wykłady Wojciecha Grudzińskiego
Ćwiczenia
Literatura obowiązkowa
Arkusze zadań zamieszczane w Internecie (lub w wersji „papierowej”
dla chętnych)
Uwaga
Jest to poszerzona wersja wykładu, który Państwa obowiązuje.
Które z poniŜej podanych dowodów będą Państwa obowiązywały ustalimy przed sesją. Większość
z opuszczonych tu dowodów znaleźć moŜna w bardziej wersji poszerzonej tego wykładu.
2
Funkcja „moduł”
Definicja 1.1
Funkcję | . | :R → R zdefiniowaną następująco:
 x dla
|x|≡
− x dla
x≥0
x<0
nazywamy wartością bezwzględną (modułem).
ε>0
-ε
ε
y= x
y = -x
Wprost z powyŜszej definicji mamy: | 7 | = 7; | - 7| = 7; | 0 | = 0
Pewne obserwacje związane z tą funkcją.
(O1) ∀x∈R ( x ≥ 0 ⇒ |x| = x ∧ x < 0 ⇒ | x | = - x
(O2) ∀x∈R | x | = | - x| ≥ 0
(O3) ∀x∈R - | x | ≤ x ≤ | x |
(O4) ∀x,y∈R | x.y | = | x |.| y |
(O5) ∀x∈R ∀ ε > 0 | x | < ε ⇔ – ε < x < ε
(O5’) ∀x∈R ∀ ε > 0 | x | ≤ ε ⇔ – ε ≤ x ≤ ε
(O6) Dla dowolnej funkcji f: R→R mamy
(*) ∀x ∈R – f(x) ≤ x ≤ f(x) ⇔ | x | ≤ f(x)
3
(O7) ∀x,y∈R | x + y | ≤ | x | + | y |
Dowód
Niech x,y∈R. Z (O3) mamy
(1) - | x | ≤ x ≤ | x |
(2) - | y | ≤ y ≤ | y |
Dodając powyŜsze nierówności stronami otrzymujemy
(3) – (| x | + | y |) ≤ x + y ≤ | x | + | y |
. RozwaŜmy przypadki
(i)
x +y ≥0
(ii)
x +y <0
Ad(i) W tym przypadku mamy
(4) | x + y | = x + y ≤ | x | + | y |
(i )
(3)
Ad(ii) W tym przypadku mamy
(5) – | x + y | = x + y ≥ – (| x | + | y |) |(-1)
(i )
(3)
stąd
(6) | x + y | ≤ | x | + | y |
(7) Uwaga. Na ogół | x + y | ≠ | x | + | y |. Istotnie | -7 + 5 | = 2 ≠ 7 + 5 = | -7| + | 5 |.
(O8) ∀x∈R
x2 = | x |
Pewne umowy , oznaczenia i własności (podany informacyjnie)
Umowa 1
Niech n∈N. Wprowadzamy oznaczenie P(n) ≡ {1,2,3,…,n}.
Np. P(4) = {1,2,3,4}
Umowa 2
Niech a1, a2, …, an ∈R. Wprowadzamy oznaczenie a1 + a2 + …+ an ≡
n
∑ ai
i=1
4
Np.
1
∑i
=
i=1
1 1 1 1
+ + +
;
1 2 3 4
3
k
2
3
∑ k +1= 3 + 4
k =2
Własności
Niech a1, a2, …, an ; b1, b2, …, bn ; x ∈R. Wówczas:
4
I.
II.
n
n
i=1
i=1
∑ xa i = xa1 + xa2 + …+xan = x(a1 + a2 + …+ an) = x ∑ a i
n
n
n
i=1
i=1
i=1
∑ (a i + b i ) = a1 + b1 + a2 + b2 + …+ an + bn = (a1 + a2 + …+ an) + (b1 + b2 + …+ bn) = ∑ a i + ∑ b i
n
III.
∑ a i2 = 0 ⇔ ∀i∈P(n) ai = 0.
i=1
n
IV.
∑ a i2 ≠ 0 ⇔ ∃i∈P(n) ai ≠ 0.
i=1
Definicja
Niech A, B będą dowolnymi zbiorami niepustymi. Zbiór wszystkich par uporządkowanych
(a,b) o poprzedniku ze zbioru A i następniku ze zbioru B nazywamy iloczynem kartezjańskim
zbioru A przez zbiór B. Piszemy AxB ≡ {(a,b): a∈A ∧ b∈B }
Niech A1, A2,…, An będą zbiorami niepustymi. Zbiór wszystkich uporządkowanych „n-tek”
(a1, a2, …, an) takich, Ŝe
(*) ∀i∈P(n) ai∈Ai
nazywamy iloczynem kartezjańskim zbiorów A1, A2,…, An.
Piszemy A1x A2x…x An = {( a1, a2, …, an ): ∀i∈P(n) ai∈Ai }
Twierdzenie (Nierówność [CBS]) ([Cauchy, Buniakowski, Schwarz]). – Materiał nieobowiązujący
Niech n∈N oraz a1, ..., an ; b1, ..., bn∈R. Wówczas
2
 n
  n

 ∑ ak bk  ≤  ∑ ak 2 

 

 k =1
  k =1

 n 2
 ∑ bk 


 k =1

n
n
k =1
k =1
co zapisać oczywiście moŜna i tak ∑ a k b k ≤ ∑ a k 2
n
∑ bk
2
k =1
Dowód
 n

 n

 k =1

 k =1

JeŜeli  ∑ a k 2  = 0, to ∀k∈P(n) ak = 0 i w [CBS] mamy równość. Przyjmijmy więc, Ŝe  ∑ a k 2  ≠ 0.
Definiujemy funkcję f:R→R następująco :
 n

 n 2
∀x∈R f(x) ≡  ∑ a k  x2 - 2  ∑ a k b k  x +
 k =1

 k =1

 n 2
 ∑ bk  .


 k =1

5
n
ZauwaŜmy, Ŝe dla dowolnego x∈R mamy f(x) = ∑ (a k x − b k ) 2 ≥0. Zatem trójmian kwadratowy f przyjmuje
k =1
2
 n

 n

tylko wartości nieujemne. Stąd jego wyróŜnik jest niedodatni, czyli ∆ ≡ 4  ∑ a k b k  -4  ∑ a k 2 
 k =1

 k =1

 n 2
 ∑ bk  ≤ 0


 k =1

stąd [CBS].
Wniosek

n

 k =1

JeŜeli  ∑ a k 2  ≠ 0, to w [CBS] mamy równość ⇔ ∃! c∈R ∀k∈P(n) bk = cak
(czyli układy liczb a1, ..., an ; b1, ..., bn∈R są proporcjonalne).
Dowód „⇒”.
Równość w [CBS] oznacza ∆ = 0. Trójmian f ma wówczas dokładnie jeden pierwiastek c∈R.
n
Mamy 0 = f(c) =
∑ (a k c − b k ) 2 . Stąd teza.
k =1
Dowód „⇐”
Zakładamy, Ŝe ∃!c∈R ∀k∈P(n)
bk = cak. Liczba c jest więc pierwiastkiem trójmianu f.
n
Przypuśćmy, Ŝe równieŜ d∈R jest pierwiastkiem tego wielomianu. Wówczas 0 = f(d) = ∑ (a k d − b k ) 2 .
k =1

n

 k =1

Oznacza to, Ŝe ∀k∈P(n) akd = bk. PoniewaŜ  ∑ a k 2  ≠ 0, to choć jedna z liczb a1, ..., an jest róŜna od
zera. Niech np. as ≠ 0. Mamy wówczas d =
bs
= c.
as
Tak więc c∈R jest jedynym pierwiastkiem trójmianu f, czyli ∆ = 0, a więc mamy równość w [CBS].
Przestrzenie metryczne (materiał nieobowiązujący)
Definicja 1.2
Funkcję d:XxX→R nazywamy metryką (odległością) w zbiorze X jeŜeli:
1. ∀ x,y∈X
d(x,y) = 0 ⇔ x =y,
2. ∀ x,y∈X
d(x,y) = d(y,x),
3. ∀ x,y,z∈X
(symetria)
d(x,y) ≤ d(x,z)+d(z,y) (warunek trójkąta)
Parę (X,d) nazywamy przestrzenią metryczną.
ZauwaŜmy, Ŝe d:XxX→R+4 {0}, bo dla x,y∈X wobec 1), 2) i 3) mamy
0 = d(x,x) ≤ d(x,y) + d(y,x) = d(x,y) + d(x,y) = 2d(x,y).
(1)
( 3)
( 2)
Stąd 2d(x,y) ≥ 0 i w konsekwencji d(x,y) ≥ 0
6
Przykład 1
Definiujemy funkcję de:RxR→R następująco: ∀ x,y∈X
d(x,y) ≡ |x – y|. WykaŜemy, Ŝe
(R,de) jest przestrzenią metryczną.
Istotnie, niech x,y,z∈R. Wykorzystując własności modułu mamy:
1. 0 = de(x,y) = |x – y| ⇔ x – y = 0 ⇔ x = y.
2. de(x,y) = |x – y| = |(-1)(y – x )| = |(-1)|.| y – x | = de(y,x).
3. de(x,y) = |x – y| = |(x – z) + (z – y)| ≤ |x – z| + |z – y| = de(x,z)+ de(z,y)
Zdefiniowaną wyŜej metrykę nazywamy naturalną (lub euklidesową) w R.
Przykład 2
W dowolnego zbioru X≠∅ funkcja do:XxX→R zdefiniowana następująco:
(*) ∀ x,y∈X
0 dla x = y
do(x,y) ≡ 
1 dla x ≠ y
jest w nim metryką.
Istotnie, niech x,y,z∈X. Mamy:
Wprost z (*) otrzymujemy
1. do(x,y) = 0 ⇔ x = y
oraz
2. do(x,y) = do(y,x)
3. Przystępujemy do sprawdzenia warunku trójkąta dla do. W tym celu rozwaŜmy przypadki:
(i)
x=y
(ii)
x≠y
Ad(i) do(x,y) = 0 ≤ do(x,z) + do(z,y) , bo do(x,z) ≥0 ∧ do(z,y) ≥ 0
Ad(ii) Tu mamy
(1) do(x,y) = 1
JeŜeli z = x ≠ , to z ≠ y, więc do(x,z) = 0 ∧ do(z,y) = 1 i mamy
(ii )
(2) do(x,y) = 1 = 0 + 1 = do(x,z) + do(z,y)
(1)
JeŜeli natomiast z ≠ x, to do(x,z) = 1 i mamy
(3) do(x,y) = 1 ≤ 1 + do(z,y) = do(x,z) + do(z,y) , bo do(z,y) ≥ 0.
(1)
Parę (X,do) przestrzenią dyskretną.
7
Funkcja „całość”
Definiujemy funkcję [ . ]: R →R następująco:
(a) ∀x∈R [x] ≡ max{ k∈Z: k ≤ x} ← przyporządkowujemy największą liczbę całkowitą nie
przekraczającą wartości x.
5
Np. [ ] = 2 ; [-4,53] = - 5 ; [7] = 7 itd.
2
Na wykresie
-2
-1
1
y=x
y=x-1
Łatwo spostrzec, Ŝe:
1. ∀x∈R [x] ≤ x ∧ x – 1 < [x]
W efekcie mamy
2. ∀x∈R [x] ≤ x < [x]+1
2
3
4
8
Ciągi
Definicja
KaŜdą funkcję a: N → A nazywamy ciągiem elementów zbioru A.
Ciąg jest to więc kaŜda funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych.
Umowa
JeŜeli a: N → A, to dla n∈N zamiast pisać a(n), będziemy pisali an.
Obraz zbioru N w odwzorowaniu a oznaczać będziemy symbolem {an}n∈N, czyli a(N) ≡ {an}n∈N.
Tym samym symbolem będziemy oznaczali samą funkcję a: N → A, co nie będzie (jak się okaŜe)
prowadziło do nieporozumień.
Sposoby definiowania ciągów
n
).
1. Poprzez podanie ogólnego wzoru. (Np. ∀n∈N an ≡ n+1
{an}n∈N = {
1 2 3
, , ,…}
2 3 4
Tu jesteśmy w stanie podać natychmiast podać wartość dowolnego wyrazu ciągu. ( Np. a77 = 77
78 ).
2. Rekurencyjnie. (Np. a1 ≡ 3, a2 ≡ 4, ∀n∈N n>2 ⇒ an ≡ an-1 –2an-2). Tu aby podać wartość
kolejnego wyrazu ciągu naleŜy znać wartości wyrazów poprzednich.
{an}n∈N = {3, 4, - 2, - 10, … }
3. Poprzez podanie „opisu słownego”. (Np. rosnący ciąg liczb pierwszych).
{an}n∈N = {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … }
Definicja
Ciąg {an}n∈N ⊂ R nazywamy:
•
rosnącym
jeŜeli ∀n∈N an+1 > an.
•
niemalejącym
jeŜeli ∀n∈N an+1 ≥ an.
•
malejącym
jeŜeli ∀n∈N an+1 < an.
•
nierosnącym
jeŜeli ∀n∈N an+1 ≥ an.
Wspólna nazwa wymienionych wyŜej rodzajów ciągów, to ciągi monotoniczne.
Definicja
Niech {an}n∈N ⊂ A i {kn}n∈N – będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Superpozycję ciągu
{an}n∈N z ciągiem {kn}n∈N nazywamy podciągiem ciągu {an}n∈N ⊂ A .
Przyjrzyjmy się dokładniej temu co w definicji powiedziano. Mamy
(1) a: N → P
9
(2) k: N → N ∧ ∀n∈N kn < kn+1.
{ }
(3) a○k: N → P ∧ ∀n∈N (a○k)(n) = a(k(n)) = a(kn) = a k n
n∈N
Podciąg ciągu {an}n∈N, to otrzymany zeń ciąg przez opuszczenie pewnej ilości wyrazów, z
zachowaniem kolejności nieskończonej ilości pozostałych wyrazów.
Przykłady
 n 
 2n 
Podciągiem ciągu 
 jest 

 n + 1 n∈N
 2n + 1 n∈N
Tu mamy ∀n∈N kn = 2n. {kn}n∈N = {2n}n∈N jest rosnącym ciągiem liczb naturalnych i mamy
 n 
1 2 3 4 5 
 2n 
2 4 6 8 

 =  , , , , ,... ; 
 =  , , , ,... (opuściliśmy tu co drugi wyraz, nie zmieniliśmy
 n + 1 n∈N  2 3 4 5 6 
 2n + 1 n∈N  3 5 7 9 
kolejności pozostałej nieskończonej ilości wyrazów)
 n 
 − 2n 
Podciągiem ciągu 
. Ten drugi powstaje bowiem przez superpozycję
 nie jest 

 n + 1 n∈N
 − 2n + 1 n∈N
pierwszego z ciągiem {kn}n∈N = {-2n}n∈N , który nie jest rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Tu
mamy
 − 2n 
 2 4 6 8 
 n 
1 2 3 4 5 

 = − ,− ,− ,− ,... i z ciągiem 
 =  , , , , ,... nie ma nic wspólnego.
 − 2n + 1 n∈N  3 5 7 9 
 n + 1 n∈N  2 3 4 5 6 
 n 
n + 2 
Dla rosnącego ciągu liczb naturalnych {n+2}n∈N podciągiem ciągu 
 jest 
 .
 n + 1 n∈N
 n + 3  n∈N
n + 2 
3 4 5 6 
ZauwaŜmy, Ŝe 
 =  , , , ... .
 n + 3  n∈N  4 5 6 7 
 n 
n + 2 
Ciągi 
 ,
 róŜnią się tylko dwoma wyrazami.
 n + 1 n∈N  n + 3  n∈N
 n 
Superpozycja 
z rosnącym ciągu liczb {n – 1}n∈N daje

 n + 1 n∈N
 n − 1

 =
 n  n∈N
 1 2 3 4 5 
0, , , , , ,... - nie jest to podciąg ciągu
 2 3 4 5 6 
 n 
1 2 3 4 5 

 =  , , , , ,... , bo
 n + 1 n∈N  2 3 4 5 6 
powstał przy pomocy ciągu {n – 1}n∈N , który wprawdzie jest ciągiem rosnącym, ale nie liczb
naturalnych, bo 0∉N.
 n 
To ciąg 
 jest podciągiem
 n + 1 n∈N
 n − 1

 , bo drugi otrzymujemy składając pierwszy z ciągiem
 n  n∈N
rosnącym {n + 1}n∈N⊂N.
Definicja
Powiemy, Ŝe ciągi {an}n∈N, {bn}n∈N, róŜnią się tylko skończoną ilością wyrazów, jeŜeli
(*) ∃k,s∈N∪{0} ∀n∈N an+k = bn+s
10
Np. ciąg {an}n∈N = {x, y, z, c1, c2, c3, …} róŜni się od ciągu {bn}n∈N = {a, b, c, d, e, c1, c2, c3, …} tylko
skończoną ilością wyrazów, bo
∀n∈N an+3 = bn+5 ( a1+3 = a4 = c1 = b6 = b1+5 ; a2+3 = a5 = c2 = b7 = b2+5 ; itd…)
Uwaga śaden z ciągów {an}n∈N, {bn}n∈N, nie jest podciągiem drugiego.
Tak więc ciągi {an}n∈N, {bn}n∈N, róŜnią się tylko skończoną ilością wyrazów, jeŜeli po opuszczeniu
pewnej skończonej ilości początkowych wyrazów pierwszego z nich i pewnej skończonej ilości
(niekoniecznie tej samej) początkowych wyrazów drugiego z nich otrzymujemy ten sam ciąg.
Np. ciągi
 n − 1
 1 2 3 4   n 
1 2 3 4 

 = 0, , , , ,... ; 
 =  , , , ,... róŜnią się tylko skończoną ilością wyrazów
 n  n∈N  2 3 4 5   n + 1 n∈N  2 3 4 5 
Granica ciągu w przestrzeni metrycznej
Zastępując d(x,y) przez |x – y| czytać moŜna
ten rozdział jako granicę ciągu w zbiorze liczb
rzeczywistych
Definicja
Powiemy, Ŝe {xn}n∈N ciąg elementów przestrzeni metrycznej (X,d) jest zbieŜny, jeŜeli istnieje
element x∈X taki, Ŝe
∀ε>0 ∃k∈R ∀n≥k d(xn,x) < ε
Piszemy wtedy lim x n = x. Element x∈X nazywamy wówczas granicą ciągu {xn}n∈N. Mamy więc
n →∞
(*) nlim
x n = x ≡ ∀ε>0 ∃k∈R ∀n ≥ k d(xn,x) < ε
→∞
W zbiorze R definicja ta przyjmuje postać
(*) nlim
x n = x ≡ ∀ε>0 ∃k∈R ∀n ≥ k |xn – x| < ε
→∞
ZauwaŜmy, Ŝe (*) zapisać moŜemy w postaci
(*) lim x n = x ≡ ∀ε>0 ∃k∈R ∀n∈N n≥k ⇒ d(xn,x) < ε
n →∞
Uwaga
Wobec powyŜszej definicji ciąg {xn}n∈N jest zbieŜny jeŜeli posiada granicę. Granicą ciągu
{xn}n∈N jest (o ile w ogóle istnieje) to element zbioru x o następującej własności:
11
•
dla dowolnie wybranej liczby dodatniej ε, potrafimy wskazać taką liczbę rzeczywistą k, Ŝe dla
indeksów wyrazów ciągu {xn}n∈N większych niŜ k, wszystkie wyrazy ciągu spełniają juŜ
nierówność d(xn,x) < ε (leŜą w kuli K(x,ε) )
Wobec powyŜszej uwagi stwierdzamy, Ŝe na fakt ewentualnej zbieŜności ciągu {xn}n∈N nie ma
wpływu Ŝadna początkowa skończona ilość wyrazów tego ciągu. Wynika stąd, Ŝe dwa ciągi
róŜniące się tylko skończoną ilością wyrazów są albo jednocześnie zbieŜne (maja przy tym tę samą
granicę), albo oba nie są zbieŜne.
Ciąg, który nie jest zbieŜny nazywać będziemy rozbieŜnym.
Odnotujmy powyŜsze spostrzeŜenia
Obserwacja 1
Dwa ciągi
{xn}n∈N {yn}n∈N przestrzeni metrycznej róŜniące się tylko skończoną ilością
wyrazów są jednocześnie albo rozbieŜne, albo zbieŜne i to do tej samej granicy.
W poniŜej formułowanych twierdzeniach załoŜenia i tezy będzie więc moŜna uogólniać (o ile
będzie to miało sens)
na przypadek ciągów róŜniących się tylko skończoną ilością wyrazów, co nie
zawsze będziemy zapisywali.
Elementarne własności ciągów zbieŜnych w przestrzeniach metrycznych
Twierdzenie 1
KaŜdy ciąg stały w przestrzeni metrycznej jest zbieŜny. Dokładniej , niech (X,d) będzie
przestrzenią metryczną i niech c∈X. Definiujemy ciąg {an}n∈N elementów zbioru X:
∀n∈N
an ≡ c.
Wówczas lim a n = c.
n →∞
Dowód
Niech ε>0. Dla k≡1∈R i dowolnego n≥1 mamy d(an,c) = d(c,c) = 0 <ε. Tak więc lim a n =c.
n→ ∞
Uwaga
Zgodnie z Obserwacją 1 twierdzenie to moŜemy natychmiast uogólnić na wszystkie ciągi
róŜniące się od ciągów stałych tylko skończoną ilością wyrazów, czyli na ciągi od pewnego miejsca
stałe. ( dla c∈X ∃p∈n ∀n∈n an+p = c )
Twierdzenie 2 ( o jednoznaczności granicy)
KaŜdy ciąg zbieŜny posiada dokładnie jedną granicę.
Dowód
Niech {an}n∈N będzie ciągiem zbieŜnym w p-ni (X,d). Istnieje wówczas g ≡ lim a n ∈X i mamy
n→∞
(1) ∀ε>0 ∃k∈R ∀n≥k d(an ,g) < ε .
12
Przyjmijmy, Ŝe równieŜ p∈X jest granią ciągu {an}n∈N. Wówczas
(2) ∀ε>0 ∃k∈R ∀n≥k d(an ,p) < ε.
Przypuśćmy, Ŝe
p ≠ g.
(3)
Wówczas r ≡ d(p,g) > 0.
Dla liczby
1
r>0 wobec (1) i (2) istnieją k,m∈R takie, Ŝe
2
(4) ∃k∈R n≥k ⇒ d(an ,g) <
1
r
2
(5) ∃m∈R n≥m ⇒ d(an ,p) <
1
r.
2
Niech s ≡ max{k,m,1}. Niech c ≡ [s] + 1 > s. ZauwaŜmy, Ŝe
•
c≥k ∧c≥m∧c≥1
•
c∈N ( bo c jest liczbą całkowitą nie mniejszą niŜ 1)
W związku z tym dla liczby c prawdziwe są nierówności występujące w (4) i (5)
Uwaga Będzie to bardzo często wykorzystywany motyw w dowodach twierdzeń związanych z granicami ciągów.
Mamy więc
(6) r = d(p,g) ≤ d(ac ,g) + d(ac ,p)
<
( 4 ),( 5 )
1
1
r + r=r
2
2
(r<r)
Uzyskana sprzeczność jest konsekwencją przypuszczenia (3) mamy więc p = g.
Definicja
Podzbiór B przestrzeni metrycznej (X,d) nazywamy ograniczonym jeŜeli zawarty jest on w pewnej
kuli w tej przestrzeni, czyli gdy
(*) ∃a∈X ∃r>0 B ⊂ K(a,r)
[ ∀x∈B d(a,x) < r ]
Definicja
Powiemy, Ŝe ciąg {xn}n∈N elementów przestrzeni metrycznej (X,d) jest ograniczony, jeŜeli
ograniczony jest zbiór jego wyrazów, czyli wszystkie wyrazy tego jego zawarte są w pewnej kuli, co
zapisać moŜemy
(*) ∃a∈X ∃r>0 ∀n∈N xn ∈ K(a,r) ( d(xn,a) < r)
Twierdzenie 3 (O ograniczoności ciągów zbieŜnych)
KaŜdy ciąg zbieŜny jest ograniczony.
Dowód
Niech {xn}n∈N będzie ciągiem zbieŜnym w p-ni metrycznej (X,d) i niech g∈X będzie jego
granicą. Wówczas
(1) ∀ε>0 ∃k∈R ∀n≥k d(xn,g) < ε
13
W szczególności dla liczby 1 > 0 mamy
(2) ∃k∈R ∀n≥k d(xn,g) < 1
Nierówności w (2) nie spełniają jedynie wyrazy ciągu {xn}n∈N, których indeksy są mniejsze niŜ k. Nie
wykluczone przy tym, Ŝe nie ma takich wyrazów. Ma to miejsce, gdy k < 1. W przypadku, gdy k ≥ 1,
to nierówności w (2) muszą spełniać wyrazy: x1, x2,…, x[k]. Niech
(3) r ≡ max{ d(x1,g), d(x2,g),…, d(x[k],g), 1}
Oczywiście r ≥ 1 > 0 i mamy
(4) ∀n∈N d(xn,g) < r+1,
bo dla n ≥ k mamy wobec (2) d(xn,g) < 1 ≤ r < r+1,
zaś dla n∈P([k]) d(xn,g) ≤ max{ d(x1,g), d(x2,g),…, d(x[k],g), 1} = r < r+1.
W efekcie wskazaliśmy kulę K(g,r+1) do której naleŜą wszystkie wyrazy ciągu {xn}n∈N, co świadczy
o jego ograniczoności.
Wniosek
JeŜeli ciąg {xn}n∈N elementów p-ni metrycznej (X,d) nie jest ograniczony, to jest rozbieŜny.
Lemat
Niech {kn}n∈N - będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Wówczas:
(*) ∀n∈N kn ≥ n
Dowód (indukcyjny)
dla n = 1 k1 ≥ 1, bo k1∈N
ZałóŜmy, ze dla pewnego n∈N mamy
(Z) kn ≥ n
WykaŜemy, Ŝe
(T) kn+1 ≥ n+1
Istotnie. PoniewaŜ {kn}n∈N - jest rosnącym ciągiem liczb naturalnych, to
(1) ) kn+1 > kn ≥ n
(Z )
Stąd kn+1 > n, czyli
(2) kn+1 ≥ n+1.
Twierdzenie 4 (O podciągach ciągu zbieŜnego)
JeŜeli ciąg {xn}n∈N elementów p-ni metrycznej (X,d) jest zbieŜny do elementu g∈X, to
kaŜdy podciąg tego ciągu jest zbieŜny do g∈X.
Dowód
ZałóŜmy, Ŝe ciąg {xn}n∈N elementów p-ni metrycznej (X,d) jest zbieŜny do elementu g∈X.
Wówczas
14
1.
[ ∀ε>0 ∃k∈R ∀n∈N d(xn,g) < ε ]
lim x n = g
n →∞
{ }
Niech x k n
n∈N
będzie dowolnym podciągiem ciągu {xn}n∈N. jak wiemy wówczas
2. {kn}n∈N - jest rosnącym ciągiem liczb naturalnych
WykaŜemy, Ŝe
(.) lim x kn = g
n→∞
czyli
(..) ∀ε>0 ∃k∈R ∀n≥k d( x kn ,g) < ε
Niech ε > 0. Z (1) mamy
3. ∃k∈R ∀n∈N d(xn,g) < ε
Niech n ≥ k. Wykorzystując lemat otrzymujemy kn ≥ n ≥ k, więc dla indeksu kn spełniona jest
nierówność w (3) i mamy
4. d( x kn ,g) < ε,
co kończy dowód (..) i całego twierdzenia.
Wnioski:
1. JeŜeli ciąg {xn}n∈N elementów p-ni metrycznej (X,d) posiada dwa podciągi zbieŜne do
róŜnych granic, to jest rozbieŜny.
2. JeŜeli ciąg {xn}n∈N elementów p-ni metrycznej (X,d) posiada choć jeden ciąg rozbieŜny,
to sam teŜ jest rozbieŜny.
Granica ciągów o wartościach rzeczywistych
W rozdziale tym rozwaŜać będziemy ciągi liczb rzeczywistych, czyli elementów przestrzeni
(R,de). Uwzględniając definicję metryki de moŜemy napisać
(*) lim x n = x ≡ ∀ε>0 ∃k∈R ∀n≥k | xn – x | < ε
n →∞
Przykład 1
1 − 4n
= −2 .
n→∞ 2n + 3
Wykazać, Ŝe lim
Dowód
Niech ε>0. Dla ustalonego n∈N nierówność
1 − 4n
+ 2 < ε równowaŜna jest następującym:
2n + 3
15
-ε <
7
7
∧
< ε . Pierwszą z nich spełnia kaŜda liczba naturalna,
2n+3 2n+3
druga jest prawdziwa dla n >
1 7
1 7
( -3). Obie są więc prawdziwe dla n ≥ k ≡ ( -3).
2 ε
2 ε
Tak więc dla dowolnie wybranej liczby ε>0 wskazaliśmy liczbę k∈R taką, Ŝe dla wszystkich n≥k spełniona
jest nierówność:
1 − 4n
1 − 4n
+ 2 < ε, czyli lim
= −2 .
n→∞ 2n + 3
2n + 3
Przykład 2
Wykazać, Ŝe ciąg {(-1)n}n∈N jest rozbieŜny.
Dowód
PoniewaŜ {2n}n∈N ; {2n – 1}n∈N są rosnącymi ciągami liczb naturalnych, więc ciągi
{xn}n∈N ≡{(-1)2n}n∈N = { 1 }n∈N oraz {yn}n∈N ≡{(-1)2n-1}n∈N = { -1 }n∈N są podciągami ciągu {(-1)n}n∈N .
Mamy
lim x n = lim 1 = 1 ≠ lim − 1= lim y n
n →∞
n→∞
n →∞
n →∞
Wskazaliśmy więc dwa podciągi ciągu {(-1)n}n∈N zbieŜne do róŜnych granic, co oznacza, Ŝe ciąg
{(-1)n}n∈N jest rozbieŜny
Uwaga
W rozwaŜaniach związanych z granicami ciągów rzeczywistych duŜe znaczenie będzie
miała ich ograniczoność, dlatego zajmiemy się poniŜej bliŜej warunkiem ograniczoności ciągów w
(R,de)
Przypomnijmy, Ŝe ciąg {xn}n∈N elementów p-ni metrycznej (X,d) nazwaliśmy ograniczonym, gdy
(*) ∃a∈X ∃r>0 ∀n∈N xn ∈ K(a,r) ( d(xn,a) < r)
Dla d = de warunek (*) przyjmuje postać
(**) ∃a∈X ∃r>0 ∀n∈N | xn – a| < ε
( - ε + a < xn < a + ε. )
Wynika stąd, Ŝe
(***) ∃ m,M∈R ∀ n∈N m < xn < M
Łatwo sprawdzić (co pozostawię jako ćwiczenie czytelnikom), ze warunek (***) jest z kolei równowaŜny
warunkowi
(****) ∃ M > 0 ∀n∈N | xn | < M.
Ten ostatni warunek zapiać moŜemy jako ∃ M > 0 ∀n∈N | xn – 0 | < M i odczytać jak poniŜej
(*****) ∀n∈N xn ∈ K(0,M)
(i tu kółeczko się zamknęło – wystartowaliśmy od kuli i na niej skończyliśmy)
Z powyŜszych warunków ograniczoności będziemy korzystali w dalszej części wykładu.
Zwróćmy jeszcze uwagę, Ŝe ciąg z przykładu 2 jest ograniczony, ale nie jest zbieŜny.
16
Definicja
Powiemy, Ŝe ciąg {xn}n∈N elementów p-ni metrycznej (R,de) jest ograniczony z góry (z dołu)
jeŜeli
(*) ∃M > 0 ∀n∈N xn < M ( - M < xn )
Uwaga
Oczywiście kaŜdy ciąg ograniczony {xn}n∈N ⊂ R jest ograniczony z góry i z dołu.
Oczywiście teŜ ciąg {xn}n∈N ⊂ R jest ograniczony wtedy i tyko wtedy gdy jest ograniczony z góry i z
dołu.
***
W przestrzeni (R,de) zdefiniujemy dodatkowo jeszcze tak zwane granice niewłaściwe.
Definicja
Niech {an}n∈N ⊂ R. Definiujemy
(*) lim a n = ∞ ≡ ∀M > 0 ∃k∈N ∀n ≥ k an > M
n →∞
(**) lim a n = – ∞ ≡ ∀M > 0 ∃k∈N ∀n ≥ k an < – M
n →∞
W obu powyŜszych przypadkach widać, Ŝe ciąg {an}n∈N ⊂ R jest nieograniczony a więc jest
rozbieŜny.
O ciągu spełniającym warunek (*) mówimy, Ŝe jest rozbieŜny do nieskończoności a o ciągu
spełniającym warunek (**), ze jest rozbieŜny do minus nieskończoności. Symbole – ∞ , ∞
nazywamy granicami niewłaściwymi.
Uwaga
Ciąg {an}n∈N ⊂ R moŜe być:
•
zbieŜny. Wówczas istnieje lim a n ∈R
•
rozbieŜny do ∞ (lub - ∞). Wówczas lim a n = ∞ ( lim a n = – ∞ ) (ma granicę niewłaściwą)
•
rozbieŜny (nie ma granicy ani właściwej, ani niewłaściwej)
n →∞
n →∞
n →∞
Umowy
•
R ≡R∪{–∞,∞}
•
zapis lim a n = a ∈R – oznacza, Ŝe ciąg {an}n∈N ⊂ R jest zbieŜny i a ∈R jest jego granicą.
•
zapis lim a n = a ∈ R – oznacza, Ŝe ciąg {an}n∈N ⊂ R ma granicę właściwą lub nie (niekoniecznie jest zbieŜny)
•
zapis lim a n = a ∈ R \R – oznacza, Ŝe ciąg {an}n∈N ⊂ R ma granicę niewłaściwą (jest rozbieŜny do ± ∞)
n →∞
n →∞
n →∞
17
Przykład
n2
= ∞.
n→∞ 2n + 3
Wykazać, Ŝe lim
Dowód
Niech M∈R+. Dla ustalonego n∈N nierówność
n2
> M równowaŜna jest następującej
2n + 3
n2-2nM-3M>0.
Ta ostatnia jest prawdziwa dla n>3M (bo n > 0). Tak więc dla dowolnie wybranego M∈R wskazaliśmy
liczbę k ≡ 3M taką, Ŝe dla wszystkich n ≥ k spełniona jest nierówność
n2
n2
> M, czyli lim
= ∞.
2n + 3
n→∞ 2n + 3
Twierdzenie
Dla dowolnego ciągu {an}n∈N ⊂ R jeŜeli lim a n = ∞ [ lim a n = – ∞ ], to kaŜdy podciąg
n →∞
n →∞
tego ciągu ma granicę równą ∞ [ – ∞ ]
Dowód (samodzielnie – analogiczny do twierdzenia o podciągach ciągów zbieŜnych)
Własności granic ciągów liczb rzeczywistych
Twierdzenie 1( o ciągłości modułu)
JeŜeli lim a n = a ∈R , to lim | a n | = |a|.
n→ ∞
n→ ∞
Dowód
Niech ε>0. Wobec lim a n = a ∈R mamy
n→ ∞
(1) ∃k∈R ∀n≥ k | an –a |<ε.
Niech n≥k. Mamy | an | = |an-a+a| ≤ |an-a| +|a|, czyli |an| - |a| ≤ |an - a|.
Oraz |a| = |a - an + an| < |a - an| + |an|, czyli |a| - |an| ≤ |an-a|.
Tak więc dla wskazanej w (1) liczby k∈R i dowolnie wybranego n≥k mamy
||an| - |a|| ≤ |an-a|<ε. Stąd teza.
Twierdzenie 2 ( o ciągłości działań arytmetycznych)
Niech
lim a n = a i lim b n = b i niech obie te granice będą skończone. Wówczas:
n→ ∞
n→ ∞
18
(S) lim (a n + b n ) = a + b.
n→∞
(M) lim (a n b n ) = ab.
n→ ∞
(D) JeŜeli ∀n∈N bn ≠ 0 ∧ b ≠ 0, to lim (
n→ ∞
a
an
)= b .
bn
Dowód
Ad M) Niech ε>0.
PoniewaŜ ciąg {bn}n∈N jest zbieŜny, to jest ograniczony mamy
(1) ∃ M > 0 ∀n∈N |bn| ≤ M.
Niech r ≡
ε
>0.
|M|+|a|
PoniewaŜ lim a n = a i lim b n = b, to dla liczby r >0 mamy
n→ ∞
n→ ∞
(2) ∃p∈R ∀n≥p |an – a| < r
(3) ∃s∈R ∀n≥s |bn – b| < r.
Definiujemy k ≡ max{p,s}. Niech n ≥ k. Mamy
|anbn – ab| = | anbn – abn + abn – ab| ≤ |an – a||bn| + |a||bn – b| ≤ |an – a|M + |a||bn – b| < rM + r|a| = ε.
Stąd teza.
Dowód (S) samodzielnie, dowód (D) będzie na ćwiczeniach.
Wniosek
Niech c∈R. Wówczas jak wiadomo w dowolnej przestrzeni metrycznej lim c = c. Zatem jeŜeli
n→ ∞
lim a n = a ∈R, to na mocy powyŜszego twierdzenia (M) mamy
n→ ∞
(C) lim ca n = ca = c. lim a n
n→ ∞
n →∞
Wykorzystując (C) i część (D) twierdzenia dla c = -1 jeŜeli lim b n = b∈R, to lim (a n − b n ) = a – b .
n→ ∞
Definicja
Niech ∅ ≠ D ⊂ R. Funkcję sgn:D→R zdefiniowaną
1 x>0

∀x∈D sgn(x) ≡  0 x = 0 nazywamy znakiem liczby.
− 1 x < 0

Umowa: -1∞ = ∞ ; 1∞ = ∞. sgn(∞)=1 ; sgn(-∞) = -1.
n→ ∞
19
Twierdzenie 3 ( o symbolach granic)
Niech
lim a n = a i
n→ ∞
lim b n = b (nie wykluczamy przy tym , Ŝe jedna lub nawet obie te granice są
n→ ∞
nieskończone. Wówczas:
(S) JeŜeli a = ∞ = b lub a = ∞ ∧ |b|<∞, to lim (a n + b n ) = ∞.
(Mamy tu do czynienia z symbolem {∞+∞} = ∞)
n→ ∞
(S-) JeŜeli a =- ∞ = b lub a = -∞ ∧ |b|<∞, to lim (a n + b n ) = -∞. (Mamy tu do czynienia z symbolem {-∞-∞} = -∞)
n→ ∞
(M) JeŜeli a = ∞ ∧ 0<|b|<∞, to lim (a n b n ) = sgn(b)∞.
(Mamy tu do czynienia z symbolem {∞b}=sgn(b)∞)
n→ ∞
(M∞) JeŜeli |a| = ∞ ∧ |b| = ∞, to lim (a n b n ) = sgn(a)sgn(b)∞.
n→ ∞
(Mamy tu do czynienia z symbolem {∞ ∞}= ∞ lub {-∞ ∞}= -∞ lub {-∞(-∞)} = ∞ ).
.
.
Dowód (w internetowej wersji rozszerzonej )
Wniosek
Z symboli wymienionych w twierdzeniu 3 od razu moŜemy wnioskować o granicy ciągu.
Uwaga
JeŜeli lim a n = ∞ i lim b n = -∞
∞, to w granicy lim (a n + b n ) mamy do czynienia z symbolem {∞
∞-∞
∞}.
n→ ∞
n→ ∞
n→ ∞
Piszemy wówczas lim (a n + b n ) ={∞
∞-∞
∞}. Jest to tzw. symbol nieoznaczony. ZauwaŜmy, Ŝe dla dowolnego
n→ ∞
∞-∞
∞} = k. Zatem z samego symbolu {∞
∞-∞
∞} nie moŜemy wnioskować o granicy
k∈
∈R mamy lim ((n + k ) − n) = {∞
n→ ∞
tego ciągu. MoŜna dobrać ciągi równieŜ tak, by granica ta była równa ∞ lub -∞
∞, np. k = n lub k = - n.
∞
Podobnie jest w przypadku symboli: {0∞
∞} , { }. Te równieŜ nazywamy symbolami nieoznaczonymi.
∞
Poznamy wkrótce jeszcze inne symbole nieoznaczone.
Twierdzenie 4 (O trzech ciągach)
Niech dane będą trzy ciągi {an}n∈N , {bn}n∈N , {cn}n∈N dla których spełniony jest warunek:
∃k∈R ∀n∈N n≥k ⇒ an ≤ bn ≤ cn.
JeŜeli lim a n = g = lim c n , to
n→ ∞
n→ ∞
lim b n = g ∈ R .
n→ ∞
Dowód (tu pomijamy) [ umawiamy się w tym miejscu, Ŝe ∀a∈R - ∞ < a < ∞ ∧ - ∞ < ∞ ]
Twierdzenie 5 (O przechodzeniu do granicy w nierównościach)
Niech {an}n∈N , {bn}n∈N będą ciągami spełniającymi warunek
∀n∈N (an ≤ bn ∨ an < bn )
∧ lim a n = a ∈ R i lim b n = b∈ R .
n→ ∞
Wówczas a ≤ b czyli lim a n ≤ lim b n .
n→ ∞
n→ ∞
Dowód (samodzielnie).( Patrz np. Kołodziej str. 36)
n→ ∞
20
Uwaga. JeŜeli ∀n∈N an < bn, to dla granic mamy nadal nierówność a ≤ b.
1
2
1
2
Np. ∀n∈N 1+ n < 1+ n i lim 1 + = 1 = lim 1 + .
n
n
n→ ∞
n→ ∞
***
Przypomnijmy , Ŝe liczbę g (liczbę d) nazywamy kresem górnym (dolnym) niepustego i
ograniczonego z góry (dołu) zbioru D⊂R (oznaczenia g = supD ; d = infD) jeŜeli
(*) g = supD ≡ ∀ε>0 ∀x∈D x ≤ g ∧ ∃y∈D g – ε < y ≤ g
(**) d = infD ≡ ∀ε>0 ∀x∈D d ≤ x ∧ ∃y∈D d ≤ y ≤ d + ε
Ponadto przyjmujemy, ze dla zbioru nieograniczonego z góry (dołu) supD ≡ ∞ ; infD ≡ - ∞.
JeŜeli supD ∈ D, to supremum zbioru D nazywamy maksimum zbioru D i piszemy maxD ≡ supD.
JeŜeli infD ∈ D, to infimum zbioru D nazywamy minimum zbioru D i piszemy minD ≡ infD.
Definicja
Kresem górnym (dolnym) ciągu {an}n∈N ⊂ R nazywamy kres górny (dolny) zbioru jego
wartości. Mamy więc w przypadku, gdy {an}n∈N jest ograniczony a góry (z dołu (**) )
(*)
g = sup{an}n∈N ≡ ∀ε>0 ∀n∈N an ≤ g ∧ ∃s∈N g – ε < as ≤ g
(**) d = sup{an}n∈N ≡ ∀ε>0 ∀n∈N an ≤ g ∧ ∃s∈N d < as ≤ d + ε
Dla ciągu {an}n∈N ⊂ R nieograniczonego z góry (dołu) sup{an}n∈N ≡ ∞ ; inf{an}n∈N ≡ -∞.
Twierdzenie 6 (O granicy ciągów monotonicznych)
KaŜdy ciąg monotoniczny posiada granicę (niekoniecznie skończoną). Dokładniej jeŜeli:
(a) ciąg {an}n∈N jest niemalejący, to lim a n = sup{an}n∈N ∈ R
n→ ∞
(b) ciąg {an}n∈N jest nierosnący, to lim a n = inf{an}n∈N ∈ R
n→ ∞
Dowód … (w wersji rozszerzonej)
Wniosek
KaŜdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieŜny. (Ciąg monotoniczny jest zbieŜny ⇔
jest ograniczony)
Istotnie, jeŜeli ciąg {an}n∈N jest ograniczony to istnieją jego (skończone) kresy (czyli liczby
rzeczywiste) i mamy
21
(a) jeŜeli ciąg {an}n∈N jest niemalejący, to lim a n = sup{an}n∈N∈R
n→ ∞
(b) jeŜeli ciąg {an}n∈N jest nierosnący, to lim a n = inf{an}n∈N∈R.
n→ ∞
JeŜeli ciąg monotoniczny nie jest ograniczony , to w przypadku gdy jest on niemalejący
mamy sup{an}n∈N = ∞ (bo z dołu ogranicza go pierwszy wyraz), zaś gdy jest nierosnący mamy
inf{an}n∈N = -∞.
Twierdzenie 7 (Bolzano – Weiersrassa) [B-W]
KaŜdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych posiada podciąg zbieŜny.
Dowód poprzedzimy lematem
Lemat
KaŜdy ciąg liczb rzeczywistych posiada podciąg posiadający granicę (skończoną lub nie).
Dowód (lematu w wersji rozszerzonej)
Wniosek
KaŜdy ciąg {an}n∈N ⊂ R posiada podciąg monotoniczny.
Dowód (twierdzenia B-W)
{ }
Niech {an}n∈N będzie ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych i niech a k n
{ }
podciągiem monotonicznym. Ciąg a k n
n∈N
n∈N
będzie jego
jest oczywiście ograniczony zatem ma na mocy
twierdzenia o granicy ciągu monotonicznego skończoną granicę, czyli jest zbieŜny.
Granice pewnych specjalnych ciągów liczb rzeczywistych
Twierdzenie 8
1
= 0.
na
•
∀a∈R+ mamy lim n a = + ∞ i lim
•
∀k∈N lim a n = a ⇒ lim a n = ak.
•
∀a∈R+ lim
•
∀a∈R lim
•
JeŜeli dla pewnego ciągu {an}n∈N liczb nieujemnych 0 < lim a n < ∞, to lim
n→ ∞
n→∞
k
n→ ∞
n→ ∞
an
=0
n→∞ n!
n→ ∞
n
a = 1 ∧ lim
n→ ∞
n
n=1
n→ ∞
n→ ∞
n
an = 1
22
•
 0

 1
∀q∈R lim qn = 
n→∞
 ∞
nie istn.
dla | q |< 1
dla
q=1
dla
q>1
dla q ≤ −1
n
•
1

lim 1 +  = e , gdzie e jest pewną liczbą niewymierną, której przybliŜona wartość wynosi 2,72 .
n
n→∞
•

JeŜeli lim a n = ± ∞, to lim 1 +
a n 
n→∞
n→∞

1 
an
= e. ZauwaŜmy, Ŝe mamy tu do czynienia z symbolem
granicy {1∞}.
Niektóre z dowodów tych twierdzeń będą na ćwiczeniach. Pozostałe znaleźć moŜna w podręczniku
W. Kołodzieja lub wersji rozszerzonej.
Z powyŜszych twierdzeń naleŜy korzystać „jak z tabliczki mnoŜenia”.
WaŜne przykłady
1) Niech m∈N i am≠0. Wówczas
m
+ ... + a1n+ao = lim nm (am+am-11n + ... + a1
1
m-1
lim amn +am-1n
n→∞
n→∞
n
m−1
+ao
1
nm
) = {∞am} = sgn(am)∞.
Wniosek: Granica wielomianu zmiennej naturalnej wynosi ∞ gdy współczynnik przy jego najwyŜszej
potędze jest dodatni i - ∞ w przeciwnym wypadku. Z wniosku tego jak z tabliczki mnoŜenia
korzystać naleŜy.
2) Niech m∈N i am>0. Wówczas
lim
n→ ∞
n
a m n m + a m-1n m-1 + ... + a1n + a o = lim (n n )m n a m + a m-1
n→ ∞
1
1
+ ... + a o
= {1.1} = 1
m
n
n
Wniosek: Granica pierwiastka stopnia n-tego wielomianu zmiennej naturalnej wynosi zawsze 1.
3
 2n + 3 
3) lim 

n→∞ 2n − 5 
7n
∞
= {1 } =
4) Nie istnieją granice
do róŜnych granic.
lim
n→∞
2n  2


3 



1  
1 +

2n  



3  


7
−5
7
− 2n  2

 5





1 
1 +

2n 


−




5 




π
ciągów: {sin(n2 )}n∈N
=
21 35
+
e2 2
= e18
{(-1)n}n∈N, bowiem kaŜdy z nich posiada podciągi zbieŜne