MATEMATYKA DYSKRETNA Lista 5 (Asymptotyka funkcji liczbowych)

MATEMATYKA DYSKRETNA
Lista 5 (Asymptotyka funkcji liczbowych)
(Je±li nie jest napisane inaczej, log oznacza logarytm przy podstawie 2).
1. Dla ka»dego z poni»szych ci¡gów znajd¹ najmniejsz¡ liczb¦ k tak¡, »e f (n) =
O(nk ):
(a) f (n) = 13n2 + 4n − 73,
(b) f (n) = (n2 + 1)(2n4 + 3n − 8,
(c) f (n) = (n3 + 3n − 1)4 ,
√
(d) f (n) = n + 1,
√
(e) f (n) = n2 + n.
2. Dla ka»dego z poni»szych ci¡gów podaj pierwszy z lewej ci¡g a(n) z hierarchii
z zadania 4, »e f (n) = O(a(n)):
(a) f (n) = 3n ,
(b) f (n) = n3 · log n,
√
(c) f (n) = log n, d) f (n) = n + 3 log10 n,
(d) f (n) = (n log n + 1)2 .
3. Wykaza¢, »e
ak nk + ak−1 nk−1 + . . . + a0 = O(nk ).
4. Okre±lamy log(k) n = log log . . . log n, gdzie logarytmowanie wykonywane jest
k razy. Wykaza¢, »e zachodz¡ nast¦puj¡ce zale»no±ci (dla jakich k i c?):
1 ≺ log(k) n ≺ log(k−1) n ≺ n ≺ nk ≺ nk+1 ≺ cn ≺ (c + 1)n ≺ nn ≺ . . .
gdzie f ≺ g oznacza f (n) = O(g(n));
5. Porówna¢ tempo wzrostu funkcji 2004n , nn i n!.
6. Pokaza¢, »e dla dowolnych podstaw r, s > 1 zachodzi logr n logs n. Wywnioskowa¢ st¡d, »e w zapisie O(log n) podstawa jest nieistotna.
7. Udowodnij, »e dªugo±¢ zapisów dziesi¦tnego i binarnego liczby naturalnej n
wynosi O(log n).
8. Umiejscowi¢ w hierarchii zadania 4 funkcje
(a) f (n) = 1 + 2 + . . . + n
(b) g(n) = 12 + 22 + . . . + n2