Danesi

Materiały XV Konferencji
Informatyka w Technologii Metali
KomPlasTech2008
Korbielów
6-9 stycznia 2008
SpręŜysto-plastyczny model materiału z uszkodzeniem w analizie
zmęczeniowej metali
T. Bednarek1,2, W. Sosnowski1,2, T. Szolc1
1
Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAN, 00-049 Warszawa, ul. Świętokrzyska 21
2
Uniwersytet Kazimierza Wielkiego, 85-064 Bydgoszcz, ul. Chodkiewicza 30
Elasto-plastic material model with damage parameter in metal fatigue
Abstract
In this paper the numerical method for prediction of fatigue life of structure is presented. The finite element modeling and damage parameter calculation are based on the algorithm described
originally in [2,4,9]. This algorithm is simplified, i.e. the Goodman relationships between the
mean and stress amplitude are included. It is extended and applied for simulation of crack propagation in the rotor shaft. The material constitutive model includes plastic effects and damage. SN fatigue functions taken from experiment are modified as dependent on the real ratio between
minimum and maximum stress in the critical zones. So the coupling between damage, plasticity
and fatigue is taken into account.
Streszczenie
W pracy zaproponowano metodę oceny trwałości zmęczeniowej konstrukcji przy pomocy metody
elementów skończonych oraz spręŜysto-plastycznego modelu materiału z izotropowym parametrem
uszkodzenia. Sformułowano prawa konstytutywne dla materiału na podstawie teorii plastyczności i
mechaniki uszkodzeń wykorzystując wyniki prac [2,4,9] oraz własne, uproszczone modele obliczeniowe [10]. Zaproponowano analityczną postać krzywej zmęczeniowej dla stali z uwzględnieniem
współczynnika asymetrii cyklu obciąŜenia oraz funkcję degradacji materiału związaną ze zmęczeniem. Parametry materiałowe dopasowano do rzeczywistych badań eksperymentalnych. Opracowany algorytm obliczeń wykorzystano do symulacji procesu pękania zmęczeniowego wału maszyny wirnikowej.
Słowa kluczowe: zmęczenie metali, mechanika uszkodzeń.
Key words: metal fatigue, damage mechanics.
Podstawy termodynamiczne
Teoria mechaniki ośrodków ciągłych z parametrem uszkodzenia wywodzi się z termodynamiki ośrodków ciągłych i musi uwzględniać nieodwracalność procesu degradacji materiału. W ogólności parametr uszkodzenia d
jest tensorem czwartego rzędu [1]. Gdy załoŜymy izotropową naturę uszkodzenia tensor
uszkodzenia sprowadza się do wartości skalarnej d [1]. Mimo znacznego uproszczenia
natury postępującej degradacji materiału, która często wykazuje anizotropowy charakter
(np. pęknięcie) skalarna miara uszkodzenia
jest szeroko stosowana [2,3]. W niniejszej
pracy prezentowany jest model konstytutywny materiału z izotropowym parametrem
uszkodzenia.
Energia swobodna Helmholtza Ψ moŜe
być rozdzielona na dwie niezaleŜne części:
część związaną ze spręŜystym zachowaniem
materiału Ψe oraz część plastyczną Ψp odpowiadającą plastycznemu zachowaniu materiału.
(
)
(
)
Ψ ε ij ,α , β = Ψ e ε ij , β + Ψ p (α ) , (1)
e
e
gdzie εije jest spręŜystą częścią tensora odkształceń, zaś α i β są wewnętrznymi parametrami odpowiednio dotyczącymi plastyczności i spręŜystości.
SpręŜysta część energii swobodnej, przy
załoŜeniu nieskończenie małych odkształceń
oraz stałej temperatury, moŜe być zapisana
jako
(
)
Ψ e εije , β =
1 e d
ε ij Cijkl (β )ε kle ,
2m
[
]
gdzie m jest gęstością materiału, natomiast
Cdijkl jest tensorem konstytutywnym czwartego rzędu z uwzględnieniem ewolucji wewnętrznych parametrów β [3,4]. W ogólności
d
0
Cijkl
= f ( β )Cijkl
,
(3)
gdzie C0ijkl jest tensorem konstytutywnym materiału rodzimego (bez uwzględnienia ewolucji parametrów β), natomiast f(β) jest skalarną
funkcją transformacji (w ogólności argumentu
tensorowego) tensora materiału rodzimego.
Jako pierwszy funkcję f(·) powiązał z degradacją materiału Kachanov ( β ≡ d ) [5]. Wykorzystał empiryczną liniową zaleŜność
d
0
f (d ) = D − d ⇒ Cijkl
= ( D − d )Cijkl
,(4)
gdzie D jest krytyczną wartością uszkodzenia,
natomiast d określa stopień degradacji materiału rodzimego. Gdy d=0, mamy do czynienia z materiałem rodzimym, natomiast gdy
d=D materiał uległ całkowitemu zniszczeniu.
Zwykle przyjmuje się D=1, choć badania
wskazują, Ŝe zniszczenie elementu moŜe nastąpić przy znacznie niŜszych wartościach parametru D [6]. W niniejszej pracy przyjęto
D=1.
Wstawiając zaleŜność (4) do wzoru (2)
otrzymujemy wyraŜenie pozwalające określić
spręŜystą część energii swobodnej z uwzględnieniem uszkodzenia materiału
Ψ e = (1 − d )Ψ e 0 =
1− d e 0
εij Cijkl (β )ε kle ,
2m
[
]
(5)
(2)
e0
gdzie Ψ jest częścią spręŜystą energii swobodnej przy braku uszkodzeń.
Nierówność Clausiusa – Duhema w formie energetycznej moŜe być zapisana w następujący sposób
lub
σ ij = (1 − d )σ ijo
gdzie
(
1
)
& − ηθ& + σ ε& − q ∇θ ≥ 0.
Γ= m −Ψ
ij ij
i
θ
(6)
Zachodzi przy tym [7,2]
σ ij = m
∂Ψ e
∂ε ije
oraz η = −
∂Ψ
,
∂θ
(7)
gdzie η jest entropią, θ miarą temperatury,
wektor qi strumieniem ciepła. Pochodna materialna energii swobodnej Helmholtza (powstała z róŜniczkowania wzorów (1) i (2)) przyjmuje postać
e
e
(8)
Podstawienie do wzoru (6) równania (8) zakładając β ≡ d daje w rezultacie
σ ij ε&ije − m
∂Ψ e e
∂Ψ e &
&
ε
−
m
d + σ ij ε&ijp
ij
∂ε ije
∂d
(9)
∂Ψ p
1
−m
α& − mηθ& − qi ∇θ ≥ 0.
∂α
θ
NapręŜenie w uszkodzonym elemencie moŜna obliczyć podstawiając zróŜniczkowany
wzór (5) do równania (7)
σ ij = m
∂Ψ e
0
= (1 − d )Cijkl
(ε kl − ε klp ),
e
∂ε ij
ε ij = ε ije + ε ijp
(10a)
,
(10b)
jest napręŜeniem w rodzimym,
nieuszkodzonym materiale.
Z drugiego prawa termodynamiki wynika
konieczność spełnienia nierówności (6). Zakłada się, Ŝe nierówność jest spełniona oddzielnie dla członów mechanicznych i termicznych [8]. Wobec czego w wyraŜeniu
określającym dysypację energii moŜna wyróŜnić człon mechaniczny (opisujący dysypację spowodowaną odkształceniem plastycznym oraz uszkodzeniem materiału) oraz na
człon opisujący proces termiczny
Γm = σ ij ε&ijp − m
∂Ψ p
∂Ψ e &
α& − m
d ≥0
∂α
∂d
1
Γθ = − qi ∇θ ≤ 0 .
θ
p
& = ∂Ψ ε& e + ∂Ψ β& + ∂Ψ α& .
Ψ
ij
∂ε ije
∂β
∂α
σ
o
ij
(11)
Proces ewolucji uszkodzenia materiału
musi spełniać warunki przedstawione wzorem
(11). W analizie konstrukcji uwzględniona
musi być zarówno dysypacja energii spowodowana odkształceniem plastycznym jak i dysypacja energii spowodowana degradacją
(niszczeniem) materiału. W procesach wymagających uwzględnienia temperatury bądź jej
zmiany naleŜy równieŜ uwzględnić dysypację
energii w formie strat ciepła.
Funkcja plastyczności i proces
ewolucji uszkodzenia w zagadnieniu zmęczenia metali
Granica spręŜystości jest określona warunkiem uplastycznienia
F (σ ij ,α ) = f (σ ij ) − K (σ ij ,α ) ≤ 0 .(12)
Teoria plastycznego płynięcia zakłada istnienie potencjału plastycznego. Istnieje skalarna funkcja G(σ), która spełnia rolę potencjału dla
stać [7,8]
ε& p . Prawo płynięcia przyjmuje po-
∂G
ε& = λ
, gdzie λ > 0 ,
∂σ ij
p
ij
D
∂F
d& = µ
, d& ≥ 0
∂σ
(16)
gdzie µ wykazuje podobnie właściwości jak
λ.
fred(N,σa,R,)
(13)
N
gdzie λ jest funkcją skalarną. Zakładając, Ŝe
potencjał plastyczny G utoŜsamiamy z funkcją płynięcia f, równość (13) przyjmuje postać
stowarzyszonego prawa płynięcia
ε&ijp = λ
∂f
, gdzie λ > 0 .
∂σ ij
(14)
Analogicznie moŜna zbudować granicę
wytrzymałości materiału, powyŜej której postępuje stopniowa degradacja materiału.
F D (σ ij , d ) =
σ (σ ij ) − f r (σ ij , d ) ⋅ f red ( N ,σ a , R) ≤ 0,
(15)
gdzie σ jest skalarną (np. wg hipotezy Hubera – Misesa) miarą napręŜenia w uszkodzonym elemencie, fr skalarną postacią granicy
początku propagacji uszkodzenia, natomiast
fred jest funkcją redukcji wytrzymałości materiału rodzimego zaleŜną od ilości przepracowanych cykli N, amplitudy skalarnej miary
napręŜenia
σa
oraz współczynnika asymetrii
cyklu napręŜenia R. Podobnie jak w przypadku teorii plastyczności ewolucja parametru
uszkodzenia dana jest wzorem [2,3,9]
q(α p,d)
Rys. 1. Płaszczyzna utraty wytrzymałości
materiału.
Fig. 1. Yield – damage evolution surface.
Opisane procesy mechaniczne i degradacji
materiału spowodowanej zmęczeniem pozwalają na określenie powierzchni utraty właściwości wytrzymałościowych w funkcji ilości
cykli i ewolucji parametrów określających
plastyczność materiału. Schematyczny obraz
takiej powierzchni zaprezentowany jest na
rys. 1.
Funkcja utraty wytrzymałości materiału w analizie zmęczeniowej
Autorzy proponują analityczną postać
funkcji trwałości zmęczeniowej materiału
względem ilości cykli napręŜenia N i współczynnika asymetrii cyklu R. Proponowana postać krzywej S–N jest rozwinięciem prac
m.in. [2,4,9].
SN ( R, N ) =
β
S th ( R) + S u − S th ( R) ⋅ 10[−αt ( R )⋅log10 ( N ) ],
[
]
(17)
gdzie dla
R ≤1
S th ( R) = S e + ( S u − S e ) ⋅ (0.5 + 0.5 ⋅ R)γ
oraz dla
(18a)
R >1
S th ( R ) = S e + ( S u − S e ) ⋅ (0.5 +
α t ( R ) = α + ( 0. 5 +
1
) ⋅δ .
2R
1 γ
)
2R
(18b)
W powyŜszych wzorach Su jest wytrzymałością materiału na rozciąganie, α, β, γ, δ są parametrami materiałowymi natomiast Sth jest
funkcją granicy zmęczeniowej Se zaleŜną od
współczynnika asymetrii cyklu R.
Zastosowana modyfikacja wzorów podanych w [9] ma na celu wprowadzenie pełnej
zgodności z klasycznymi metodami oceny
trwałości zmęczeniowej, np. koncepcją napręŜeń nominalnych. Wprowadzona została
równieŜ poprawka uwzględniająca wpływ napręŜenia średniego σmed i współczynnika
asymetrii cyklu R wg koncepcji Goodmana
[10]. Na rysunku 2 została przedstawiona
proponowana krzywa S–N z uwzględnieniem
współczynnika R. Niebieskie punkty oznaczają wartości krzywej zmęczeniowej otrzymane
za pomocą transformacji Goodmana [10].
Przekształcając wzór (17) oraz podstawiając wynik analizy napręŜeń (np. przy pomocy
MES [10]), jako σ ≡ S ( N , R ) otrzymujemy trwałość zmęczeniową wyraŜona w ilości
cykli napręŜenia do przewidywanego zniszczenia
N cyc ( R) = 10
1
β














(19)
Krzywe zmęczeniowe S–N pozwalają na
określenie trwałości zmęczeniowej konstrukcji przy pomocy wzoru (19) i przy załoŜonym
obciąŜeniu stałoamplitudowym i danym
współczynniku R. Z obserwacji wynika, Ŝe w
miarę wzrostu pęknięcia zmęczeniowego
zniszczeniu (rozdzieleniu) ulegają kolejne
punkty materialne wzdłuŜ pęknięcia. W celu
opisu procesu rozwoju pęknięcia zmęczeniowego wprowadzona została funkcja redukcji
wytrzymałości
(degradacji)
materiału
f red (σ , R, N ) ≡ 1 − d [2,9]
 σ 
log  u 
S 
f red (σ , R, N ) = 10
log( N cyc ) β
m
⋅log( N ) β
m
, (20)
gdzie wykładnik m jest miarą kruchości materiału. Na rysunku 3 zaprezentowane są funkcja redukcji nośności materiału dla róŜnych
wartości parametru m.
1
Smax/ Su
α t ( R) = α + (0.5 + 0.5 ⋅ R) ⋅ δ


S u − S th ( R )
  log(
σ − S th ( R )


αt ( R )
 


R=1
R = 0.66
R = 0.33
R=0
R = -0.33
R = -0.66
R = -1
0.4
1.E+02
1.E+03
1.E+04
1.E+05
1.E+06
N
1.E+07
Rys. 2. Proponowana krzywa S–N dla róŜnych
wartości współczynnika asymetrii cyklu R.
Fig. 2. Proposed S–N curve for different R
values.
Funkcja redukcji napręŜenia jest utoŜsamiania z wartością uszkodzenia punktu materialnego
f red (σ , R, N ) ≡ 1 − d , wobec
czego wzory (4) oraz (10) mogą być zapisane
w postaci
d
0
Cijkl
= f red (σ , R, N )Cijkl
σ ij = f red (σ , R, N )σ ijo .
oraz
(21)
Ponadto
S ud = f red (σ , R, N ) S u ,
(22)
gdzie Sud jest wytrzymałością uszkodzonego
materiału.
Rys. 3. Proponowana funkcja redukcji wytrzymałości materiału fred dla róŜnych wartości parametru m.
Fig. 3. Proposed strength reduction function.
Analiza zmęczeniowa wału wirnikowego
Wał pokazany na rysunku 4 jest podparty
jest na dwóch łoŜyskach i obciąŜony dwoma
dyskami sztywnymi o masie 200kg kaŜdy.
Długość całkowita wału wynosi 2.315m,
średnica elementu z uszkodzeniem równa jest
φ=120mm. W środkowej części wału zlokalizowane zostało uszkodzenie o współczynniku
głębokości a/φ=0.1, gdzie a jest głębokością
pęknięcia. ObciąŜenie statyczne pochodzi od
cięŜaru wału, a dynamiczne jest wzbudzane
niewywagami dysków sztywnych. Dane materiałowe oraz szczegółowa analiza wału zostały przedstawione w pracy [11]. W [11] wyznaczono siły wewnętrzne działające na wał
w obszarze pęknięcia. Ich wartości zostały
przedstawione w tablicy 1.
Podane prędkości obrotowe wału (tablica
1) odpowiadają częstotliwościom rezonansowym wału. Wyjątkiem jest prędkość 6000 obr/min, która jest prędkością nominalną wału.
Analiza zmęczeniowa pękniętego wału
została przeprowadzona na krótkim wycinku
wału, rysunek 5, który jest traktowany jako
model lokalny. Jeden koniec wału został
utwierdzony, natomiast na drugim końcu zostało przyłoŜone obciąŜenie. Sposób modelowania wycinka wału został przedstawiony na
rysunku 5.
Rys. 4. Model uszkodzonego wału wirnikowego z dwoma dyskami sztywnymi [11].
Fig. 4. Model of two–bearing cracked rotor–shaft system [11].
Tablica 1. Amplitudy obciąŜeń wewnętrznych działających na wał w obszarze pęknięcia [11].
Table 1. Vibration amplitudes of inertial forces in cracked rotor-shaft system [11]
prędkość obrotowa
wału
postać drgań własnych
ampl. momentu
zgin. w pł. pionowej
ampl. momentu
zgin. w pł. poziomej
ampl. mom. skr.
ampl. siły osiowej
trwałość zmęczeniowa
3972 obr/min
postać
giętna
6000 obr/min
prędkość nominalna
wału
7944 obr/min
postać
giętna
9990 obr/min
postać
skrętna
100 [Nm]
220 [Nm]
340 [Nm]
740 [Nm]
95 [Nm]
210 [Nm]
370 [Nm]
730 [Nm]
100 [Nm]
50 [N]
obciąŜenie poniŜej
granicy zmęczenia
13 [Nm]
145 [N]
obciąŜenie poniŜej
granicy zmęczenia
200 [Nm]
205 [N]
obciąŜenie poniŜej
granicy zmęczenia
11.5 [Nm]
590 [N]
30999 obr,
~3 min pracy
Trwałość zmęczeniowa została obliczona
za pomocą wzoru (19), a czas pracy wału przy
róŜnych prędkościach obrotowych został zamieszczony w tablicy 1. Przy pierwszych
trzech prędkościach obrotowych czas pracy
wału nie jest ograniczony moŜliwością wystąpienia pęknięcia zmęczeniowego. W tych
przypadkach wartość napręŜenia na dnie pęknięcia nie przekracza granicy zmęczenia.
Prędkość wirowania wału 9990 [obr/min] jest
prędkością krytyczną dla danej lokalizacji
uszkodzenia. Bardzo mały czas przewidywanej pracy wału, ok. 3 min, spowodowany jest
Rys. 5. Lokalny model uszkodzonego
wycinka wału [11].
Fig. 5. Local model of the cracked shaft
segment with [11].
pracą w wybitnie niekorzystnych warunkach–
blisko częstotliwości rezonansowej.
Kolejne fazy wzrostu pęknięcia zmęczeniowego zamieszczone zostały na rysunku 6.
W początkowym okresie pracy, tj. do 20000
cykli, prędkość przyrostu pęknięcia jest
względnie mała. Dalsze działanie wału wiąŜe
się ze znacznym wzrostem prędkości propagacji uszkodzenia zmęczeniowego. Po przekroczeniu wartości 30500 cykli obserwujemy
juŜ znaczne osłabienie wału. Od tego momentu dalszy wzrost pęknięcia zmęczeniowego
przebiega niestabilnie.
Rys. 6. Ewolucja pęknięcia zmęczeniowego.
Fig. 6. Evolution of the fatigue damage.
Wnioski
• Opracowane zostało efektywne narzędzie
wykorzystujące MES i mechanikę uszkodzeń
w analizie zmęczeniowej konstrukcji.
• Metoda mechaniki uszkodzeń pozwala
uwzględnić interakcje spręŜystego oraz plastycznego zachowania się materiału z uszkodzeniem spowodowanym zmęczeniem materiału.
• Dzięki wykorzystaniu MES moŜliwa jest analiza zmęczeniowa konstrukcji o dowolnym
stopniu skomplikowania.
• Analiza zmęczeniowa przy pomocy mechaniki uszkodzeń pozwala nie tylko oszacować
trwałość zmęczeniową konstrukcji lecz pozwala równieŜ obserwować proces propagacji
pęknięcia zmęczeniowego.
• Dzięki znajomości miejsca i kierunku propagacji pęknięcia zmęczeniowego moŜliwa jest
bardziej efektywna optymalizacja obszarów
konstrukcji szczególnie naraŜonych na pękanie zmęczeniowe.
• MoŜliwe jest dalsze rozwinięcie modelu teoretycznego, np. o moŜliwość uwzględnienia
zmęczenia temperaturowego.
Uwaga końcowa: Praca naukowa finansowana została częściowo ze środków Komisji
Europejskiej w ramach projektu PROHIPP
oraz ze środków Komitetu Badań Naukowych w ramach projektu DIADYN.
LITERATURA
[1]
Cauvin A., Testa R..; Elastoplastic
material with isotropic damage, International
Journal of Solids and Structures, vol: 36(5),
1999, pp. 727-746
[2]
Luccioni B., Oller S., Danesi R.;
Coupled plastic-damaged model, Comp. Me-
thods in Applied Mech. and Enginering, vol:
129, 1996, pp. 81-89
[3]
Lemaitre J.; A Course on Damage
Mechanics, Springer-Verlag, 1992
[4]
Chaboche J.; Continuum damage mechanics and its application to structural lifetime prediction, Rech. Aerosp., vol: 4, 1987,
pp. 37-54
[5]
Kachanov L.M.; Time of the rapture
process under creep conditions, IVZ Akad.
Nauk SSR, Otd Tech Nauk, vol: 8, 1958, pp.
26-31
[6] Szala J.; Hipotezy sumowania uszkodzeń
zmęczeniowych, Wydawnictwo Uczelniane
ATR Bydgoszcz, 1998.
[7]
Sosnowski W.; Symulacja numeryczna, analiza wraŜliwości i optymalizacja nieliniowych procesów deformacji konstrukcji,
Wydawnictwo Akademii Bydgoskiej, 2003
[8]
Ostrowska-Maciejewska J.; Mechanika ciał odkształcalnych, PWN, 1994
[9]
Oller S., Salomon O., Onate E.; A
continuum mechanics model for mechanical
fatigue analysis, Computational Material
Science, vol: 32, 2005, pp. 175-195
[10] Marczewska I., Bednarek T., Marczewski A., Sosnowski W., Jakubczak H.,
Rojek J.; Practical fatigue analysis of hydraulic cylinders and some design recommendations, Int. Journal of Fatigue, vol: 28,
2006, pp. 1739-1751
[11] Szolc T., Bednarek T., Marczewska
I., Marczewski A., Sosnowski W., Fatigue
analysis of the cracked rotor by means of the
one– and three dimensional dynamical model, 7th IFToMM Conference on Rotor Dynamics, paper 241,Wiedeń, Austria, 2006.