Zadania z arytmetyki (II rok s. MU niestacjonarne)

Zadania z arytmetyki (II rok s. MU niestacjonarne)
Zestaw 3
Liczby pierwsze
1. Wykorzystując zadanie 29 z zestawu 1. wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
2. Wykaż, że dla każdego k ∈ N istnieje ciąg k kolejnych liczb naturalnych będących liczbami złożonymi.
3. Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci :
(a) 4n − 1,
(b) 6n − 1.
4. Wykaż, że najmniejsza liczba naturalna względnie pierwsza z liczbami 1, 2, 3, ..., n jest liczbą pierwszą.
5. Niech pn oznacza n-tą liczbę pierwszą. Wykaż, jeśli n > 11, to pn > 3n.
6. Niech p będzie liczbą pierwszą. Wykaż, że:
(a) jeśli 5p2 − 2 jest liczbą pierwszą, to liczby 5p2 − 4 i 5p2 + 2 są liczbami pierwszymi,
(b) jeśli 11p + 7 jest liczbą pierwszą, to 11p − 7 jest liczbą złożoną.
7. Wykaż, że liczby 5k − 2 i 5k + 3 nie mogą być jednocześnie liczbami pierwszymi.
8. Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p, dla których istnieje liczba naturalna n taka, że p + 1 = n5 .
9. Udowodnij, że liczby pierwsze p i q, gdzie p > q są bliżniacze wtedy i tylko wtedy, gdy pq+1 jest kwadratem
liczby naturalnej.
10. Wykaż, że dla każdej liczby pierwszej p > 5 liczba p4 − 1 jest podzielna przez 240.
11. Znaleźć wszystkie liczby pierwsze p i q takie, że p2 − 2q 2 = 1.
12. Sprawdź, że wartości wielomianu Eulera f (X) = X 2 − X + 41 dla X = −40, −39, ..., −1, 0, 1, 2, ..., 39, 40
są liczbami pierwszymi, zaś dla X = 41, 42 liczbami złożonymi. Wykaż ponadto, że jeśli 1 < d < 41, to d
nie dzieli f (X) dla dowolnego X ∈ Z (Wskazówka: wykorzystaj program komputerowy Derive, Maple lub
Mathematica).
13. Wykaż, że nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych , którego wartość dla dowolnej liczby
naturalnej jest liczbą pierwszą.
14. Wykaż, że jeżeli liczba naturalna postaci an − 1 jest liczbą pierwszą i a > 1, n > 1, to jest ona liczbą
pierwszą Mersenne’a.
15. Sprawdź, które z liczb Mersenne’a Mn dla n < 100 są liczbami pierwszymi (Wskazówka: wykorzystaj
program komputerowy Derive, Maple lub Mathematica).
16. Wykaż, że liczba parzysta a jest liczbą doskonałą wtedy i tylko wtedy, gdy a = 2p−1 Mp , gdzie Mp jest
liczbą pierwszą Mersenne’a (twierdzenie Eulera liczbach doskonałych).
17.
18.
19.
20.
Wykorzystując poprzednie zadanie znajdź co najmniej 10 liczb doskonałych.
Wykaż, że jeżeli liczba 2k+1 + 1 (dla k > 0) jest pierwsza, to jest ona liczbą pierwszą Fermata.
Rozłóż na czynniki pierwsze następujące liczby: 2352 + 9722 , 310 + 35 + 1, 218 + 318 .
Wykaż, że nieparzysta liczba naturalna p jest liczbą pierwszą ⇔ p ma dokładnie jedno przedstawienie w
2
2
postaci różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych (Wskazówka: mn = m+n
− m−n
).
2
2
21. Wykorzystując poprzednie zadanie rozłóż na czynniki pierwsze liczby: 6643, 1769, 3551.
22. Wykaż, że dla n ∈ N:
(a) n nie dzieli (n − 1)! ⇔ n jest liczbą pierwszą lub n = 4 ;
(b) n2 nie dzieli (n − 1)! ⇔ n jest liczbą pierwszą ą lub podwojoną liczbą pierwszą, lub n = 8, lub też
n = 9.
1