LISTA 9
Transkrypt
LISTA 9
METODYKA ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ MATEMATYCZNYCH 4 POZIOM ROZSZERZONY – LISTA 9 – Rachunek różniczkowy Zad.1 Oblicz granice (o ile istnieją): sin 2x , (a) limπ x→ 2 cos x (c) lim x→0 3 , x (b) lim x→0 (d) lim x→−2 √ x+1− x √ x+4 , x3 + 4x2 + 5x + 2 . x4 + 5x3 + 6x2 − 4x − 8 Zad.2 Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji w podanym przedziale: D √ √ E (a) f (x) = 4x − 31 x3 , x ∈ −2 3; 2 3 , (b) f (x) = 8x2 − 8x4 , x ∈ h−1; 3i. Zad.3 Funkcja f jest określona wzorem f (x) = x3 − 2x2 + 1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f , które są równoległe do prostej o równaniu y = 4x. Zad.4 Wyznacz przedziały monotoniczności oraz ekstrema funkcji f (x) = x4 − 2x3 + x2 − 3x + 1. Zad.5 Wysokość stożka ma długość 4, a jego średnica jest równa 6. W stożek ten wpisujemy graniastosłup prawidłowy czworokątny, tak aby dolna podstawa graniastosłupa zawierała się w podstawie stożka, a wierzchołki górnej podstawy należały do powierzchni bocznej stożka. Oblicz, jaką największą objętość może mieć ten graniastosłup. Zad.6 Parabola o równianiu y = 2 − 12 x2 przecina oś OX układu współrzędnych w punktach A = (−2; 0) i B = (2; 0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli. Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe. Zad.7 Dana jest funkcja f określona wzorem f (x) = x−8 x2 + 6 dla każdej liczby rzeczywistej x. Oblicz wartość pochodnej tej funkcji w punkcie x = 21 . Zad.8 Funkcja f (x) = x2 + ax + b , x ∈ R \ {1}, x−1 ma dla x = 3 minimum równe 7. Oblicz a i b oraz pozostałe ekstrema tej funkcji. Zad.9 Dana jest parabola o równaniu y = x2 + 1 i leżący na niej punkt A o współrzędnej x równej 3. Wyznacz równanie stycznej do tej paraboli w punkcie A. Zad.10 Dla jakich wartości parametrów a i b funkcja f (x) = pochodną na całym zbiorze liczb rzeczywistych? ( x2 + 3x − 4 dla x 6 1 ma ax + b dla x > 1