Zagadnienia egzaminacyjne (minimum)

GEOMETRIA ELEMENTARNA
Zagadnienia egzaminacyjne
1.Izometrie płaszczyzny euklidesowej.
2. Rodzaje izometrii, wzory analityczne, przykłady
3. Klasyfikacja izometrii płaszczyzny.
5. Podobieństwa płaszczyzny euklidesowej.
6. Wzory analityczne podobieństw, przykłady.
6. Dylatacje: podstawowe definicje i twierdzenia.
7. Klasyfikacja podobieństw.
8. Punkty i linie związane z trójkątem: twierdzenia Menelaosa, Cevy.
9. Prosta Eulera.
10. Okrąg dziewięciu punktów.
11. Potęga punktu względem okręgu.
12. Inwersja względem okręgu.
13. Obraz okręgu w inwersji, konstrukcja.
14. Wiernokątność inwersji.
15. Okręgi ortogonalne.
16. Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie: zadania konstrukcyjne, przykłady.
17. Metoda rozwiązywania zadań konstrukcyjnych. Przykłady.
!8. Punkty konstruowalne za pomocą cyrkla i linijki. Kryterium konstruowalności.
19. Klasyczne zadania konstrukcyjne nierozwiązalne za pomocą cyrkla i linijki: podwojenie sześcianu,
kwadratura koła, trysekcja kąta.
20. Konstrukcje wielokątów foremnych: twierdzenie Gaussa.
21. Nierozwiązalność trzech słynnych zagadnień konstruowalności; konstrukcje przy pomocy samego cyrkla;
konstrukcje nieklasyczne, przykłady.
22. Wielościany wypukłe.
20. Wzór Eulera dla wielościanów wypukłych.
21. Klasyfikacja wielościanów foremnych: pięć brył platońskich.
22. Metoda aksjomatyczna w geometrii: pojęcia pierwotne i aksjomaty.
23. Współczesny układ aksjomatów planimetrii euklidesowej.
24. Zagadnienia niesprzeczności i niezależności układu aksjomatów geometrii euklidesowej;
25. Różne postacie aksjomatu Euklidesa o równoległych.
26. Płaszczyzna hiperboliczna.
27. Model Poincarego płaszczyzny hiperbolicznej.
28. Model Kleina płaszczyzny hiperbolicznej.
29.Geometria na sferze.
30. Trójkąt sferyczny.
31. Trójkąt biegunowy względem trójkąta sferycznego.
Egzamin ustny (minimum)
Należy przygotować następujące zagadnienia:



Definicje poznanych przekształceń (afinicznych, dylatacji, podobieństw, izomerii, inwersji);
Niezmienniki przekształceń, (które zachowują współliniowość punktów, odległość punktów, stosunek
podziału itp.);
Proste konstrukcje (iloczyn, iloraz długości odcinków, wyznaczanie środka odcinka, dwusiecznej kąta,
obrazu punktu w inwersji).
Wykazać się następującymi umiejętnościami:



Wyznaczać obrazy konkretnych punktów, prostych i okręgów w konkretnych przekształceniach (w tym
inwersji);
Wyznaczać przekształcenie w zapisie macierzowym znając jego działania na punktach, prostych lub
okręgach.
Dowodzić twierdzenia: Cevy, Menelaosa, Talesa, Pitagorasa, o przecinaniu się w jednym punkcie
charakterystycznych linii w trójkącie.