Algorytm najlepszego wyboru nie tylko w małżeństwie

Algorytm najlepszego wyboru nie tylko w
małżeństwie
Autor: Mateusz Machaj
Zaczęło się od opracowanego w latach 60. XX w. algorytmu, który
opisywał przykład nazywany „problemem stabilnego małżeństwa”. Nie chodziło o
odpowiedź na odwieczne pytanie, jak żyć, lecz o dość prosty problem
obliczeniowy, zademonstrowany na przykładzie małżeństw. Algorytm ten ma dla
jego twórców wagę przyznanej właśnie nagrody Nobla.
A wygląda to tak: powiedzmy, że mamy w pomieszczeniu 10 mężczyzn i
10 kobiet. Załóżmy, że każde z nich może stworzyć własną osobistą listę
preferencji pokazującą, kto według niego samego jest najbardziej atrakcyjny.
Każdy mężczyzna może uszeregować subiektywnie atrakcyjność kobiet od
najlepszej (pierwsza) do najmniej atrakcyjnej (dziesiąta). Każda kobieta jest w
stanie uszeregować analogicznie, jak podobają się jej mężczyźni.
Algorytm Davida Gale’a i Lloyda Shapleya oferuje „rozwiązanie” tej
sytuacji. Mianowicie otwieramy niekończącą się konkurencję. Mężczyźni w
pierwszej rundzie oświadczają się tej kobiecie, która jest najwyżej w ich skali
preferencji. W skrajnym przypadku wszystkie kobiety otrzymają propozycję i
sprawa będzie od razu zamknięta. W drugim skrajnym jedna z nich otrzyma 10
propozycji. Pośrodku będą takie przypadki, że niektóre panie otrzymają kilka
opcji, a inne pozostają bez propozycji. W każdym wariancie te, które propozycje
otrzymają, udzielają odpowiedzi albo odmownej, albo „niech będzie, dopóki nie
trafi się ktoś lepszy” (cóż za stereotypowe podejście do kobiet!).
Nadchodzi runda druga. Mężczyźni, którzy usłyszeli w zasadzie odpowiedź
pozytywną, nie mają potrzeby w kolejnej rundzie szukać kogoś następnego, bo
mają zarezerwowaną najlepszą — na razie — opcję z dostępnych. Ci, którzy nie
otrzymali takiej odpowiedzi, w następnej rundzie wybierają opcję drugą z
możliwych. I znowu część z nich otrzymuje odpowiedzi pozytywne, a część
negatywne. Niektóre kobiety, które już wcześniej wyraziły zgodę warunkową,
mogą otrzymać lepszą propozycję. Wtedy zrezygnują ze swojego poprzedniego
wybranka, a ten zostanie uwolniony, by złożyć w następnej rundzie propozycję
kobiecie, która jest na ich liście na niższym miejscu. I tak do skutku —
osiągnięcia pewnej „równowagi”.
Aby dwoje chciało na raz
Jaki jest efekt końcowy tego wyścigu? Jak przedstawia to opisany przez
Gale’a i Shapleya algorytm, efekt będzie „stabilny”. W końcu osiągniemy taki
efekt równowagowy, że powstaną małżeństwa „stabilne”, to znaczy takie, w
których nie będzie bodźca do rozpadu. Każdy mężczyzna będzie miał możliwie
najlepszą dostępną kobietę.
Oczywiście niektórzy z nich woleliby być z inną, ale ta inna nie wolałaby
być z nimi. Ta inna preferuje tego męża, na którego się zgodziła. Dlatego
sytuacja jest „stabilna” — jest równowaga, ponieważ nie istnieje hipotetyczna
para, którą woleliby stworzyć jakiś mężczyzna i jakaś kobieta. Dlatego mówimy o
tym jako o „problemie stabilnego małżeństwa”.
Gdyby na przykład trzymać się zasady, że wybory są trwałe (i raz
dobrana para musiałaby się trzymać razem), to efekt końcowy byłby zupełnie
inny. Niektóre kobiety wybrałyby mężczyzn gorszych, choć za jakiś czas mogłyby
dostać lepszą ofertę. W obawie jednak przed przegraniem w tej rozgrywce
zaakceptowałyby wybór gorszy. Podobnie mężczyźni — mogliby oni celować w
opcje mniej korzystne dla siebie, ponieważ obawialiby się, że w wypadku
przegrania o najlepszą, wolne pozostałyby kobiety w ich oczach jeszcze mniej
atrakcyjne.
Praktyczna strona teoretycznego modelu
Przykład jest bardzo obrazowy, chociaż „problem stabilnego małżeństwa”
oczywiście kompletnie nie stosuje się do związków małżeńskich z pewnych
powodów,
do
których
wrócimy
poniżej.
Na
koniec
wspomnimy
także
o
ograniczeniach stosowania takich algorytmów. Najpierw jednak powiedzmy o
ciekawych zastosowaniach praktycznych.
Za praktyczne ich zastosowanie odpowiada przede wszystkim drugi
tegoroczny noblista — Alvin Roth (David Gale zmarł kilka lat temu). Wskazany
powyżej
algorytm
matematyczną,
nie
którą
jest
w
przecież
zasadzie
bardzo
trudny.
spodziewalibyśmy
Stanowi
się
już
łamigłówkę
dawno
mieć
skrupulatnie opracowaną. A badania nad nią i jej bardziej skomplikowanymi
wariantami trwają dopiero kilkadziesiąt lat.
Pierwszy praktyczny przykład to system rekrutacji do szkół, widoczny
również na polskim podwórku. Kandydat do szkoły (obojętnie, czy średniej, czy
wyższej) staje przed problemem, którą szkołę wybrać. Problem w tym, że jeśli
wybierze najlepszą i się nie dostanie, to w kolejnej rundzie (skoro już miejsca
będą zajęte) będzie musiał pójść do jednej z gorszych.
W ten sposób w szkole o średnim poziomie mogą znaleźć się najgorsi
uczniowie, bo ci od nich lepsi próbowali aplikować do najlepszej szkoły i się nie
dostali. Teraz będą musieli pójść do tych słabszych. Sprawa się rozwiązuje, jeśli
zastosuje się powyższy algorytm. Miejsca w szkołach wystarczy potraktować jak
„kobiety” z modelu, a kandydatów uznać za „mężczyzn” (feministki uspokajam,
wśród tych „mężczyzn” z modelu są również prawdziwe kobiety). Kandydaci
mogą uporządkować szkoły pod względem tego, która jest dla nich najlepsza, a
które mniej ważne (jak atrakcyjność „kobiet” we wspomnianym modelu). Szkoły
natomiast mają swoje kryteria, którzy kandydaci są ich zdaniem najlepsi (czyli
odpowiedzi „póki co akceptuję”).
W
efekcie
zastosowania
algorytmu
można
stworzyć
„stabilne”
rozwiązanie, czyli takie sparowanie miejsc w szkołach i uczniów, że nie istnieje
rozwiązanie lepsze. To znaczy, że nie zdarzy się sytuacja po sparowaniu, w której
jakiś student powie, że wolałby inną szkołę i jednocześnie ta szkoła by
powiedziała, że wolałaby go przyjąć na miejsce innej osoby, która już wcześniej
się zgłosiła. Jeśli przyjęlibyśmy zasadę, że kandydaci wybierają szkołę tylko raz
(ich wybory są trwałe), to może się to skończyć sytuacją „niestabilną”. Istniałaby
taka szkoła, do której wolałby trafić student i jednocześnie ta szkoła wolałaby,
żeby on do niej trafił zamiast kogoś innego.
Pomoc w wyborze szkoły lub szpitala
Na bazie tego algorytmu zbudowano na przykład w USA system National
Resident Matching Program (NRMP), który dotyczy absolwentów medycyny.
Każdy z nich szuka szpitala, żeby zostać w nim „rezydentem”. Znowu przykład
bardzo podobny do sytuacji z małżeństwami i szkołami. W pewnym momencie
rozpoczynała się konkurencja o rezydentów i szkoły oferowały miejsca osobom
na dwa lata przed stażem. Ci natomiast woleli opóźniać swoje decyzje, żeby mieć
pewność, czy nie znajdą czegoś lepszego.
Obecnie
stosowany
algorytm
pozwala
stworzyć
sytuację
stabilną.
Kandydaci mogą przedstawić swoją listę preferencji; od najlepszej dla nich
placówki do najgorszej. A szkoły przedstawiają swoje kryteria wyboru. Algorytm
generuje równowagowe rozwiązanie. Rezydent przy istniejącym wyborze trafia w
najlepsze miejsce z możliwych. Nie istnieje taki szpital, w którym rezydent
wolałby być i jednocześnie ten szpital wolałby go mieć u siebie zamiast kogoś
innego. Jako ciekawostkę podam fakt, że sprawa NRMP trafiła przed sąd
antytrustowy jako przykład zmowy.
Jak widać, algorytmy zajmujące się problemami „sparowania” wydają się
bardzo istotne dla naszego życia. Jeszcze bardziej dobitnym przykładem może
być sytuacja na rynku organów. W USA podobnie jak w większości krajów
zakazany jest handel organami. Dopuszczalne jest jednak przekazanie komuś
organu
bez
osiągania
z
tego
bezpośrednich
korzyści
„majątkowych”;
charytatywnie, na przykład koledze, żonie, córce (bez „motywacji” majątkowej,
cokolwiek miałoby to znaczyć…) etc.
Okazuje się jednak, że dopuszczalny jest barter organowy. Przykładowo
Karolina Kowalska z Białegostoku potrzebuje przeszczepu nerki, a jej mąż
Krzysztof Kowalski nie może jej przekazać nerki ze względu na brak dostatecznej
zgodności organów. Powiedzmy, że w podobnej sytuacji jest Natalia Nowak z
Poznania, która potrzebuje przeszczepu, a organy jej męża Norberta Nowaka
również nie wykazują zgodności. Załóżmy jednak, że taka zgodność występuje
między organami Krzysztofa i Natalii oraz Karoliny i Norberta. Wzajemne
oferowanie sobie organów — barter — jest w tej sytuacji dopuszczalne prawem.
Przykład jest dosyć prosty, bowiem dotyczy dwóch par, ale moglibyśmy
go sobie bardziej skomplikować do trzech par, czterech, dziesięciu… Wtedy
algorytm dopasowania osób staje się bardziej skomplikowany. I tutaj prace
Rotha, inspirowane opracowaniami Gale’a i Shapleya okazują się bardzo
korzystne (sam Roth bezpośrednio uczestniczył w praktycznych implementacjach
tych opracowań). Kilka lat temu przeprowadzono operację, gdzie taki barter
obejmował dziesięć przypadków. Wystarczyłoby, żeby jeden z dawców nie zgodził
się na transplantację, a wszystkie operacje musiałyby zostać odwołane. Trudno o
bardziej dobitny przykład tego, jak ważne mogą być badania na temat procesu
„parowania” i dziedziny market design (projektowania rynku).
Życie bogatsze od modeli
Na koniec warto powiedzieć o tym, że powyższe zagadnienia mają w
gruncie rzeczy zastosowanie do wąskich problemów (jakkolwiek ważnych).
Jednocześnie trzeba zdawać sobie sprawę z ich ograniczeń. Wystarczy niektóre
przypadki trochę bardziej skomplikować, a problemy są nierozwiązywalne. Na
przykład
wystarczy,
że
w
przypadku
małżeńskim
dopuścimy
możliwość
powstawania par homoseksualnych. Wtedy rozwiązanie stabilne nie istnieje. W
przypadku rezydentów i programu NRMP wystarczy, że dodamy pary małżeńskie
i fakt, że pary lekarskie aplikują do szpitali i chciałyby razem znaleźć się w
jednym miejscu. Wtedy już pojawiają się problemy kalkulacyjne.
Przypadek małżeństw jest tak naprawdę kuriozum, gdy pomyślimy o
rzeczywistym życiu. W końcu nikt nie ustala swojej sztywnej hierarchii wyboru
drugiej osoby. Na nasze decyzje ma wpływ to, co rzeczywiście robimy, a nie
jakaś mapa psychologicznych preferencji. Jeśli podejmujemy decyzję o wyborze
tej czy innej osoby, to później może to mieć wpływ na to, czy inna osoba nas
będzie chciała. W dodatku do tego dochodzi prosty fakt zmienności naszych
preferencji. A jeszcze ciekawsze jest to, że algorytm faworyzuje stronę aktywną
— mężczyźni, będąc stroną wybierającą, trafiają najlepszą możliwą opcję. Jeśli
odwrócimy zasadę i uznamy kobiety za stronę aktywną, to efekt końcowy będzie
inny niż w wariancie poprzednim.
Tak, drogie panie, trzeba walczyć o swoje, bo inaczej najlepsze dostępne
opcje uciekną — a tak na poważnie, to nie należy tego algorytmu przekładać w
tym wypadku na dobór życiowego partnera.
Jeśli odrobinę skomplikujemy warunki wejściowe, to stajemy przed
czymś, co specjaliści nazywają problemami „NP-trudnymi” i „NP-zupełnymi”, czyli
takimi, których się w zasadzie nie da rozwiązać. Są zbyt złożone, aby dało się je
rozwikłać w sensownym czasie. W istocie takimi problemami są na przykład
decyzje gospodarcze, o tym „co, jak, kiedy i dla kogo” produkować.
Dlatego również projekty socjalistyczne centralnego planowania nie są w
stanie stworzyć sensownej gospodarki, choć to temat na inną dyskusję. Nawet z
punktu widzenia znajomości sytuacji i danych wyjściowych są to zbyt trudne
problemy. A jeśli do tego dodamy rzeczywistą nieznajomość tych danych, a także
ich nieprzewidywalną zmienność (niepewność życia gospodarczego), to sytuacja
staje się jeszcze bardziej problematyczna.
Mimo to kwestia modelowania „parowania” ma, jak widać, bardzo
szerokie zastosowania praktyczne i może być niezwykle przydatna. Warto jednak
przy tym zdawać sobie sprawę z jej ograniczeń, bo jak mawiał Harry Callahan,
„człowiek musi znać swoje ograniczenia”.