od mechaniki klasycznej (CM) do mechaniki kwantowej(QM) Skale

od mechaniki klasycznej (CM)
do mechaniki kwantowej(QM)
mechanika (CM) czy (QM):
(CM) F(r) F=ma energia ω, ∆ω=0 Fx = −∂V / dx, etc.
(QM) V(r) r. Schr. energia ω(α), ∆ω>0: ∆ω (vs) kBT
(T=0)ω(0)< ω(1)< ω(2)<...
+thermodynamika:
(CM) p(ω,T) ~ exp(-ω/ kBT), Boltzman
(QM) f(ω(α),T)= BE{bozony, N(α)=0,1,2,3,...}
lub FD{fermiony, N(α)=0,1}
=wynik:
<E>=suma{p(ω(i),T)·ω(i)} lub suma{f(ω(α),T)·ω(α)}
Skale energii, czasu
∆ω (vs) kBT
pole mgt
µB
termiczna
kBT
kwantu
hf=hc/λ
Coulomba e2/4πε0r
Einstein
E=mc2
∆t (vs) skala czasowa:
(Fe,1T=tesla)
0.00006eV
(300K)
0.026eV
(5000A)
2.48eV
(r=0.529A)
13.56eV
(m=elektron)
0.511MeV
Wielki Wybuch 15·109 y
Wiek Ziemi
10·109 y
Historia
103 y
Szkło
300 y
Fiskus
1y
Oko
0,05 s
Elektron
10-15 s
T=0K
minimum energii
T=1K
ciekły hel
T=3K
Wszechświat
T=100K
ciekły azot
T=300K
pokojowa
T=3000K
wolfram
T=5000K
Słońce
od CM do QM: energia
(QM) od atomu(gaz) do kryształu
=suma_α{f(ω(α),T)·ω(α)}, α=(n,l,m,s),
dla fermionów N(n,l,m,s)=0,1
ale ω(α)=ω(n,l), stąd
<E> =suma_(n,l){f(ω(n,l),T)·ω(n,l)}g(n,l), gdzie
g(n,l)=2(2l+1)=krotność konfiguracji o danym zestawie
(n,l) gdy (m,s) są dowolne, N(n,l,m,s)=0..g(n,l)
Dla atomów (gazy)
n=1,2,3,... ω(n,l) ~ -1/n2, r~ n2, z poprawką na l
l =0..n-1 kodowanie l = s, p, d, f,...
krotność g(n,l) = 2,6,10,14,...
stan: (n,l) = nl = 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, ... ω(n,l)=liczba, poziom en.
kryształ ω(n,l)=pasmo 0< ω<W, około 1024 mikropoziomów
1 atom
Na atomów (gaz) kryształ
energia
ω = ω(n,l) ω = ω(n,l)
0<ω<W=3eV
krotność
g=2(2l+1) g=2(2l+1)·Na
g=2(2l+1)·Na
połoŜenie
1 poziom
1 poziom
g mikropoziomów
Uwaga:
dla Na=1024, l=2(d), g(kryształ)=1025,
atom H:
∆ω=10eV=105K
V(e-e)=0
kryształ: W=3eV ∆ω=W/g=3·10-21K
V(e-e)>0
ω
ω
ω
<E>
od CM do QM: determinizm?
(CM) F(r) F=ma + warunki początkowe tor r(t)
(QM) V(r) r. Schr. + war. na f. falową ψ ψα(r,t)
zamiast r(t) p(r(t)) ~ |ψα(r,t)|2,
Prawdopodobieństwo ∆p znalezienia cząstki w dowolnie
wybranym fragmencie przestrzeni ∆V wynosi (teoria), np.
2
∆p=0.39, wg QM:
∆p = ∫ dV ψ
∆V
Eksperyment pomyślany:
•
Wszechświat
•
+ +
∆p = (400±20)/1000 = 0.40 ±0.02
• +
+ •
• •
okno obserwacyjne ∆V
W
atom
gaz
0
kryształ
od CM do QM: determinizm?
Np. tor cząstki:
r
r
p(r,t0)
t
t0
Rozkład p(r,t0) zmierza do rozkładu ‘igłowego’ (δ-Diraca)
w granicy duŜej masy m, czyli tor jest deterministyczny, wg
mechaniki klasycznej Newtona.
model Bohra atomu wodoru
Przykład zastosowania mechaniki
kwantowej - atom wodoru
(1)mv2/r = Ze2/4πεε0r2, czyli orbita kołowa (znak ‘=‘)
chcemy wyznaczyć v,r ==> konieczne 2-gie równanie
(2)mvr = n·h/2π , n=1,2,3,... Postulat Bohra, ale skąd???
uwaga: Fe= 8,1·10-8 [N], Fg= 3,7·10-47 [N]
(1)+(2) r ~ n2/Z, stąd n=numer orbity, n=1 najbliŜej
jądra, stąd r=1, 4, 9, 16, ... gdy n=1, 2, 3, 4, ...
v ~Z/n
Stąd energia elektronu
(CM) ω(n) =V+K=-Ze2/4πεε0r + mv2/2 = -13,56eV· Z2/n2
(QM) ω(n,l,m,s) = ω(n,l) =( ±)ω(n)
Interpretacja liczb kwantowych (n,l,m,s), definiujących jeden z
moŜliwych stanów elektronu
• n główna liczba kwantowa, r(n) ~ n2, ω(n) ~ -1/ n2
· n = 1,2,3,...
• l orbitalna, eliptyczność orbit, poprawki r(n,l) i ω(n,l)
· l = 0,1,2,...,n-1=„s,p,d,f,...”
•m magnetyczna, m = -l..l
• s spinowa, s = -1/2, +1/2
Energia zaleŜy tylko od ω(n,l) stan(n,l) odpowiada
g(n,l)=2(2l+1) dostępnym (m,s), czyli
stan (n,l) =1s
2s
2p
...
3d
g(n,l) = 2
2
6
...
10
Mechanika kwantowa: dyskretne
energie ω(α), g(α) ... i co dalej?
Od 1 atomu (gaz) do wielu
atomów (ciecz, ciało stałe)
Metoda: QM konfiguracja elektronowa np. tranzystor
1)Sortuj ω(α) =ω(0)<ω(1)<ω(2)<ω(3)<... T=0<T1<T2<...
stan α=A
B C
D ...
g(α) = 4
2
6
8 ... (przykład fikcyjny)
czyli, np. dla atomu(gaz) reguły Hunda
2)Zasada minimum energii, np. N=9, i zakaz Pauliego!
(T=0) n(α) = 4
2
3
0 ...
(T>0) n(α) = 4
2
2
1 ...
3)Konfiguracja =A4B2C2D1
np. 26Fe = 1s22s2p63s2p6d64s2 = 3d64s2
zapełnienie f = 1 1 1 1 0,6 1
Wynik=konfiguracje elektronowe
atomów (gaz)
Np. konfiguracja elektronowa siarki 16S=1s22s2p63s2p4=3s2p4
Schemat dla T=0: dane Z
Z(min E & Pauli)
Pauli)konfiguracja
Schemat dla T>0: dane Z
Z(E>min & Pauli)
Pauli)konfiguracja
Z nazwa
konfiguracja elektronó
elektronów/stanó
w/stanów
1 H
1s1
1/2 (s
(sm=m=-0..+0
0..+02 stany)
stany)
2 He
1s2
2/2
3 Li
1s22s1
1/2
6 C
1s22s2p2
2/6 (p
(pm=m=-1..+1
1..+16 stanó
stanów)
w)
13 Al
3s2p1
1/6
• Si
3s2p2
2/6
15 P
3s2p3
3/6
obiekt
1p
1p+1e
2p&2n
2p&2n+1e
2p&2n+2e
nazwa
tylko p
wodó
wodór
jądro He
jon He
atom He
wynik
poziomy 1s 2s 2p 3s 3p 3d ...
e „wybrał
wybrał” 1s1
poziomy 1s 2s 2p 3s 3p 3d ...
e „wybrał
wybrał” 1s1
drugi e „wybrał
wybrał” 1s ==> 1s2
uwaga włą
czyłł się
włączy
się Pauli
atom 26Fe 1s22s2p63s2p6d64s2
kryształ
kryształ Fe 1s22s2p63s2p6d7,24s0,8
2,5-4s0,4+s0,40,4kryształ
d7,24s0,8 =3d4,7+d2,5kryształ:
3d==>magnetyzm
3d==>magnetyzm,, 4s==>przewodnictwo
4s==>przewodnictwo
...ale konfiguracje elektronowe
ciała stałego są inne
Reguł
Reguła Hunda obowią
obowiązuje tylko dla atomó
atomów (gazy)
Spośród 2 stanów (n,l), mniejszą energię ma stan
(1) o mniejszej sumie (n+l), a w razie braku rozstrzygnięcia
(2) o mniejszym (n), oraz
(3) o moŜliwie (Pauli!) największym momencie magnetycznym
(atom)26Fe=3d64s2
=3d5+14s1+1,
µ=5=5-1=4
7+2,54s0,4+0,4
0,4+0,4,
(c.s.) 26Fe=3d7,24s0,8
=3d4,7+2
µ=4,7=4,7-2,5=2,2
(atom
)27Co=3d74s2
=3d5+24s1+1,
µ=5(atom)27Co=3d
=5-2=3
0,35+0,35, µ=5,0(c.s.)27Co=3d
=3d5,0+3,34s0,35+0,35
c.s.)27Co=3d8,34s0,7
=5,0-3,3=1,7
(atom
)28Ni=3d84s2
=3d5+34s1+1,
µ=5(atom)28Ni=3d
=5-3=2
0,3+0,3,
(c.s.
)28Ni=3d9,44s0,6
=3d5,0+4,44s0,3+0,3
µ=5,0(c.s.)28Ni=3d
=5,0-4,4=0,6
Wniosek: konfiguracje
guracje elektronowe gazó
gazów i cia
ciał sta
stałych są
są
róŜne (poniewaŜ
(poniewaŜ inne otoczenie danego atomu inne V(r)).
V(r)).