Modelowanie sytuacji decyzyjnej

Modelowanie sytuacji decyzyjnej
dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ
Instytut Politechniczny
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Głogowie
[email protected]
Wprowadzenie
Systemy wspomagania decyzji opierają swoje działanie na modelach,
które są wykorzystywane do wspomagania procesu wyboru wariantu
rozwiązania
Model stanowi uproszczone i sformalizowane odzworowanie
rzeczywistości
Typy modeli:
werbalne: opisowe lub ikoniczne opisowe przedstawienioe
analogowe: fizyczne, graficzne
symboliczne: formalne, matematyczne
Model rzeczowy
Model rzeczowy zawiera informację o świecie zewnętrznym, która
może być wykorzystywana w trakcie podejmowania decyzji
Wiedza ta może być wyrażona w postaci modelu
matematycznego, danych, hipotez, itp.
Często wykorzystuje się modele analityczne, w których
wyróżniamy:
zmienne decyzyjne
parametry modelu
zmienne pośrednie
zmienne wyjściowe
równania wyjść – jak zmienne wyjściowe zależą od decyzyjnych
równania ograniczeń – określają zbiór dopuszczalny decyzji
Sformułowanie problemu
Niech Ex ∈ Rn – przestrzeń zmiennych decyzyjnych
Ey ∈ Rm – przestrzeń wyjść modelu
X – zbiór decyzji dopuszczalnych
Odwzorowanie przestrzeni decyzji w przestrzeń wyjść:
f : Ex → Ey
Zbiór dopuszczalnych wartości wyjść:
Y = f (X) ∈ Ey
Zakładamy, że zbiór X jest zwarty, odwzorowanie f jest ciągłe
Zapis wygodny teoretycznie, ale nie w przypadku budowy modelu
komputerowego
Przy budowie modelu komputerowego należy uwzględnić zależność od
parametrów, ograniczenia, itp.
y = f (x, z, y)
f : Rn × Rl × Rm → Rm
xd (z) 6 x 6 xg (z)
y d (z) 6 y 6 y g (z)
zd 6 z 6 zg
gdzie x ∈ Rn – wektor zmiennych decyzyjnych
z ∈ Rl – wektor parametrów modelu
y ∈ Rm – wektor wyjść
xd , y d , z d – wektory ograniczeń dolnych
xg , y g , z g – wektory ograniczeń górnych
W wielu przypadkach można zauważyć, że modele nieliniowe dla
znacznego zakresu zmiennych mają właściwości liniowe
Często modele nieliniowe tworzone są w oparciu o bazę modeli
liniowych
Model liniowy z częścią nieliniową
y 1 = f (x1 , z 1 , y 1 ) + A11 x1 + A12 x2 + B 1 z
y 2 = A21 x1 + A22 x2 + B 2 z
xd (z) 6 x 6 xg (z)
y d (z) 6 y 6 y g (z)
zd 6 z 6 zg
Budowa i analiza modelu
Zadanie syntezy – określenie takich wartości zmiennych decyzyjnych, dla
których wyjścia modelu będą bliskie zadanym
określenie wartości odniesienia
yi,ref : i ∈ Iy,ref ∈ {1, . . . , m}
rozwiązanie zadania
min kŷ − y ref k
przy ograniczeniach
y = f (x, z, y)
xd (z) 6 x 6 xg (z)
y d (z) 6 y 6 y g (z)
zd 6 z 6 zg
Zadanie minimalizacji odległości między poziomami odniesienia, a wartościami
wyjść może nie mieć jednoznacznego rozwiązania; można również określić
wartości odniesienia zmiennych decyzyjnych
wartości odniesienia zmiennych decyzyjnych
xi,ref : i ∈ Ix,ref ∈ {1, . . . , n}
rozwiązanie zadania
min kŷ − y ref k + ρkx̂ − xref k
przy ograniczeniach
y = f (x, z, y)
xd (z) 6 x 6 xg (z)
y d (z) 6 y 6 y g (z)
zd 6 z 6 zg
Dobierając wartość ρ można ustalić, który czynnik funkcji kryterialnej jest bardziej
ważny dla procesu syntezy
Symulacja prosta
Najprostszy typ analizy
Wstawianie wartości zmiennych decyzyjnych i obserwacja wynikowych
wartości zmiennych wyjściowych
Poszukiwanie satysfakcjonującego rozwiązania na zasadzie prób i błędów
Analiza what-if w arkuszu kalkulacyjnym
Symulacja odwrotna
Bardziej złożony typ analizy
Próbuje się dobierać wartości zmiennych wyjściowych poprzez poszukiwanie
wartości zmiennych decyzyjnych prowadzących do tych wyników
Wymagane jest rozwiązywanie równań (wyznaczania wartości argumentów
przy zadanych wartościach)
Analiza goal-seeking w arkuszach kalkulacyjnych
Optymalizacja
poszukiwanie zmiennych decyzyjnych prowadzących do najlepszych wartości
wymagany jest precyzyjny model preferencji
Symulacja prosta
Najprostszy typ analizy
Wstawianie wartości zmiennych decyzyjnych i obserwacja wynikowych
wartości zmiennych wyjściowych
Poszukiwanie satysfakcjonującego rozwiązania na zasadzie prób i błędów
Analiza what-if w arkuszu kalkulacyjnym
Symulacja odwrotna
Bardziej złożony typ analizy
Próbuje się dobierać wartości zmiennych wyjściowych poprzez poszukiwanie
wartości zmiennych decyzyjnych prowadzących do tych wyników
Wymagane jest rozwiązywanie równań (wyznaczania wartości argumentów
przy zadanych wartościach)
Analiza goal-seeking w arkuszach kalkulacyjnych
Optymalizacja
poszukiwanie zmiennych decyzyjnych prowadzących do najlepszych wartości
wymagany jest precyzyjny model preferencji
Symulacja prosta
Najprostszy typ analizy
Wstawianie wartości zmiennych decyzyjnych i obserwacja wynikowych
wartości zmiennych wyjściowych
Poszukiwanie satysfakcjonującego rozwiązania na zasadzie prób i błędów
Analiza what-if w arkuszu kalkulacyjnym
Symulacja odwrotna
Bardziej złożony typ analizy
Próbuje się dobierać wartości zmiennych wyjściowych poprzez poszukiwanie
wartości zmiennych decyzyjnych prowadzących do tych wyników
Wymagane jest rozwiązywanie równań (wyznaczania wartości argumentów
przy zadanych wartościach)
Analiza goal-seeking w arkuszach kalkulacyjnych
Optymalizacja
poszukiwanie zmiennych decyzyjnych prowadzących do najlepszych wartości
wymagany jest precyzyjny model preferencji
Optymalizacja jednokryterialna
min
yi = fi (x, z, y)
przy ograniczeniach
y = f (x, z, y)
xd (z) 6 x 6 xg (z)
y d (z) 6 y 6 y g (z)
zd 6 z 6 zg
i – indeks zmiennej wyjściowej wybranej do określenia kryterium, fi –
funkcja kryterialna
Metoda optymalizacji – kluczowe zagadnienie
Przykład
Zakład produkuje 2 modele skuterów SL i GL. Produkcja wymaga odpowiedniej
liczby roboczogodzin (h) w 2 oddziałach: montowni (M) i lakierni (L). Model GL
wymaga 2h w M i 3h w L, zaś SL 5h w M i 3h w L. Moce produkcyjne wynoszą:
150h dla M i 180h dla L. Jednostkowy zysk netto dla GL to 2 tys. zł, a dla SL 3
tys. zł.
Zmienne decyzyjne
xGL , xSL – wielkość produkcji modeli GL i SL
Parametry
MGL , MSL , LGL , LSL – pracochłonność w godzinach
Mm , Lm – moce produkcyjne w roboczogodzinach
zGL , zSL – zyski jednostkowe w tys. zł
Zmienne wyjściowe
z – zysk w tys. zł
Mob , Lob – obciążenie oddziałów w roboczogodzinach
Mw , Lw – wolne moce oddziałów w roboczogodzinach
Przykład
Zakład produkuje 2 modele skuterów SL i GL. Produkcja wymaga odpowiedniej
liczby roboczogodzin (h) w 2 oddziałach: montowni (M) i lakierni (L). Model GL
wymaga 2h w M i 3h w L, zaś SL 5h w M i 3h w L. Moce produkcyjne wynoszą:
150h dla M i 180h dla L. Jednostkowy zysk netto dla GL to 2 tys. zł, a dla SL 3
tys. zł.
Zmienne decyzyjne
xGL , xSL – wielkość produkcji modeli GL i SL
Parametry
MGL , MSL , LGL , LSL – pracochłonność w godzinach
Mm , Lm – moce produkcyjne w roboczogodzinach
zGL , zSL – zyski jednostkowe w tys. zł
Zmienne wyjściowe
z – zysk w tys. zł
Mob , Lob – obciążenie oddziałów w roboczogodzinach
Mw , Lw – wolne moce oddziałów w roboczogodzinach
Przykład – cd
Symulacja prosta – określenie wielkości produkcji i analiza wartości zmiennych
wyjściowych (np. zysku)
Podstawiamy różne wartości xGL , xSL i sprawdzamy jaki bedzie zysk i czy
spełnione będą ograniczenia
Załóżmy, że xGL = 10, xSL = 10
zysk: z = zGL xGL + zSL xSL = 10 · 2000 + 10 · 3000 = 50000zł
czas pracy montowni: tm = 2xGL + 5xSL = 2 · 10 + 5 · 10 = 70h
tm < Mm ⇒ 70 < 150 (OK)
czas pracy lakierni: tl = 3xGL + 3xSL = 3 · 10 + 3 · 10 = 60h
tl < Lm ⇒ 60 < 180 (OK)
rozwiązanie jest dopuszczalne
sprawdzamy kolejne możliwości, np.xGL = 30, xSL = 30
Przykład – cd
Symulacja prosta – określenie wielkości produkcji i analiza wartości zmiennych
wyjściowych (np. zysku)
Podstawiamy różne wartości xGL , xSL i sprawdzamy jaki bedzie zysk i czy
spełnione będą ograniczenia
Załóżmy, że xGL = 10, xSL = 10
zysk: z = zGL xGL + zSL xSL = 10 · 2000 + 10 · 3000 = 50000zł
czas pracy montowni: tm = 2xGL + 5xSL = 2 · 10 + 5 · 10 = 70h
tm < Mm ⇒ 70 < 150 (OK)
czas pracy lakierni: tl = 3xGL + 3xSL = 3 · 10 + 3 · 10 = 60h
tl < Lm ⇒ 60 < 180 (OK)
rozwiązanie jest dopuszczalne
sprawdzamy kolejne możliwości, np.xGL = 30, xSL = 30
Przykład – cd
Symulacja prosta – określenie wielkości produkcji i analiza wartości zmiennych
wyjściowych (np. zysku)
Podstawiamy różne wartości xGL , xSL i sprawdzamy jaki bedzie zysk i czy
spełnione będą ograniczenia
Załóżmy, że xGL = 10, xSL = 10
zysk: z = zGL xGL + zSL xSL = 10 · 2000 + 10 · 3000 = 50000zł
czas pracy montowni: tm = 2xGL + 5xSL = 2 · 10 + 5 · 10 = 70h
tm < Mm ⇒ 70 < 150 (OK)
czas pracy lakierni: tl = 3xGL + 3xSL = 3 · 10 + 3 · 10 = 60h
tl < Lm ⇒ 60 < 180 (OK)
rozwiązanie jest dopuszczalne
sprawdzamy kolejne możliwości, np.xGL = 30, xSL = 30
Przykład – cd
Symulacja prosta – określenie wielkości produkcji i analiza wartości zmiennych
wyjściowych (np. zysku)
Podstawiamy różne wartości xGL , xSL i sprawdzamy jaki bedzie zysk i czy
spełnione będą ograniczenia
Załóżmy, że xGL = 10, xSL = 10
zysk: z = zGL xGL + zSL xSL = 10 · 2000 + 10 · 3000 = 50000zł
czas pracy montowni: tm = 2xGL + 5xSL = 2 · 10 + 5 · 10 = 70h
tm < Mm ⇒ 70 < 150 (OK)
czas pracy lakierni: tl = 3xGL + 3xSL = 3 · 10 + 3 · 10 = 60h
tl < Lm ⇒ 60 < 180 (OK)
rozwiązanie jest dopuszczalne
sprawdzamy kolejne możliwości, np.xGL = 30, xSL = 30
Przykład – cd
Symulacja prosta – określenie wielkości produkcji i analiza wartości zmiennych
wyjściowych (np. zysku)
Podstawiamy różne wartości xGL , xSL i sprawdzamy jaki bedzie zysk i czy
spełnione będą ograniczenia
Załóżmy, że xGL = 10, xSL = 10
zysk: z = zGL xGL + zSL xSL = 10 · 2000 + 10 · 3000 = 50000zł
czas pracy montowni: tm = 2xGL + 5xSL = 2 · 10 + 5 · 10 = 70h
tm < Mm ⇒ 70 < 150 (OK)
czas pracy lakierni: tl = 3xGL + 3xSL = 3 · 10 + 3 · 10 = 60h
tl < Lm ⇒ 60 < 180 (OK)
rozwiązanie jest dopuszczalne
sprawdzamy kolejne możliwości, np.xGL = 30, xSL = 30
Przykład – cd
Symulacja prosta – określenie wielkości produkcji i analiza wartości zmiennych
wyjściowych (np. zysku)
Podstawiamy różne wartości xGL , xSL i sprawdzamy jaki bedzie zysk i czy
spełnione będą ograniczenia
Załóżmy, że xGL = 10, xSL = 10
zysk: z = zGL xGL + zSL xSL = 10 · 2000 + 10 · 3000 = 50000zł
czas pracy montowni: tm = 2xGL + 5xSL = 2 · 10 + 5 · 10 = 70h
tm < Mm ⇒ 70 < 150 (OK)
czas pracy lakierni: tl = 3xGL + 3xSL = 3 · 10 + 3 · 10 = 60h
tl < Lm ⇒ 60 < 180 (OK)
rozwiązanie jest dopuszczalne
sprawdzamy kolejne możliwości, np.xGL = 30, xSL = 30
Przykład – cd
Symulacja prosta – określenie wielkości produkcji i analiza wartości zmiennych
wyjściowych (np. zysku)
Podstawiamy różne wartości xGL , xSL i sprawdzamy jaki bedzie zysk i czy
spełnione będą ograniczenia
Załóżmy, że xGL = 10, xSL = 10
zysk: z = zGL xGL + zSL xSL = 10 · 2000 + 10 · 3000 = 50000zł
czas pracy montowni: tm = 2xGL + 5xSL = 2 · 10 + 5 · 10 = 70h
tm < Mm ⇒ 70 < 150 (OK)
czas pracy lakierni: tl = 3xGL + 3xSL = 3 · 10 + 3 · 10 = 60h
tl < Lm ⇒ 60 < 180 (OK)
rozwiązanie jest dopuszczalne
sprawdzamy kolejne możliwości, np.xGL = 30, xSL = 30
Przykład – cd
Symulacja prosta – określenie wielkości produkcji i analiza wartości zmiennych
wyjściowych (np. zysku)
Podstawiamy różne wartości xGL , xSL i sprawdzamy jaki bedzie zysk i czy
spełnione będą ograniczenia
Załóżmy, że xGL = 10, xSL = 10
zysk: z = zGL xGL + zSL xSL = 10 · 2000 + 10 · 3000 = 50000zł
czas pracy montowni: tm = 2xGL + 5xSL = 2 · 10 + 5 · 10 = 70h
tm < Mm ⇒ 70 < 150 (OK)
czas pracy lakierni: tl = 3xGL + 3xSL = 3 · 10 + 3 · 10 = 60h
tl < Lm ⇒ 60 < 180 (OK)
rozwiązanie jest dopuszczalne
sprawdzamy kolejne możliwości, np.xGL = 30, xSL = 30
Przykład – cd
Symulacja odwrotna – wyznaczenie profilu produkcji w pełni
wykporzystującego mode produkcyjne
Równania określające moce produkcyjne obu działów
moc produkcyjna montowni: 2xGL + 5xSL = 150
moc produkcyjna lakierni: 3xGL + 3xSL = 180
rozwiązanie układu równań
(
2xGL + 5xSL = 150
3xGL + 3xSL = 180
⇒ xGL = 50, xSL = 10
Zysk z = 130 tys. zł
Nie można rozwiązać zadania symulacji odwrotnej profilu produkcji
generującej zysk – jedno równanie dwie niewiadome
Przykład – cd
Symulacja odwrotna – wyznaczenie profilu produkcji w pełni
wykporzystującego mode produkcyjne
Równania określające moce produkcyjne obu działów
moc produkcyjna montowni: 2xGL + 5xSL = 150
moc produkcyjna lakierni: 3xGL + 3xSL = 180
rozwiązanie układu równań
(
2xGL + 5xSL = 150
3xGL + 3xSL = 180
⇒ xGL = 50, xSL = 10
Zysk z = 130 tys. zł
Nie można rozwiązać zadania symulacji odwrotnej profilu produkcji
generującej zysk – jedno równanie dwie niewiadome
Przykład – cd
Symulacja odwrotna – wyznaczenie profilu produkcji w pełni
wykporzystującego mode produkcyjne
Równania określające moce produkcyjne obu działów
moc produkcyjna montowni: 2xGL + 5xSL = 150
moc produkcyjna lakierni: 3xGL + 3xSL = 180
rozwiązanie układu równań
(
2xGL + 5xSL = 150
3xGL + 3xSL = 180
⇒ xGL = 50, xSL = 10
Zysk z = 130 tys. zł
Nie można rozwiązać zadania symulacji odwrotnej profilu produkcji
generującej zysk – jedno równanie dwie niewiadome
Przykład – cd
Symulacja odwrotna – wyznaczenie profilu produkcji w pełni
wykporzystującego mode produkcyjne
Równania określające moce produkcyjne obu działów
moc produkcyjna montowni: 2xGL + 5xSL = 150
moc produkcyjna lakierni: 3xGL + 3xSL = 180
rozwiązanie układu równań
(
2xGL + 5xSL = 150
3xGL + 3xSL = 180
⇒ xGL = 50, xSL = 10
Zysk z = 130 tys. zł
Nie można rozwiązać zadania symulacji odwrotnej profilu produkcji
generującej zysk – jedno równanie dwie niewiadome
Przykład – cd
Symulacja odwrotna – wyznaczenie profilu produkcji w pełni
wykporzystującego mode produkcyjne
Równania określające moce produkcyjne obu działów
moc produkcyjna montowni: 2xGL + 5xSL = 150
moc produkcyjna lakierni: 3xGL + 3xSL = 180
rozwiązanie układu równań
(
2xGL + 5xSL = 150
3xGL + 3xSL = 180
⇒ xGL = 50, xSL = 10
Zysk z = 130 tys. zł
Nie można rozwiązać zadania symulacji odwrotnej profilu produkcji
generującej zysk – jedno równanie dwie niewiadome
Przykład – cd
Optymalizacja – należy wyznaczyć precyzyjny model
Funkcja celu: (model preferencji)
max
z = 2xGL + 3xSL
Ograniczenia: (model rzeczowy)
(
2xGL + 5xSL 6 150
3xGL + 3xSL 6 180
Warunki brzegowe
xGL > 0, xSL > 0
Rozwiązanie? → metoda Sympleks, metoda graficzna
Przykład – cd
Optymalizacja – należy wyznaczyć precyzyjny model
Funkcja celu: (model preferencji)
max
z = 2xGL + 3xSL
Ograniczenia: (model rzeczowy)
(
2xGL + 5xSL 6 150
3xGL + 3xSL 6 180
Warunki brzegowe
xGL > 0, xSL > 0
Rozwiązanie? → metoda Sympleks, metoda graficzna
Przykład – cd
Optymalizacja – należy wyznaczyć precyzyjny model
Funkcja celu: (model preferencji)
max
z = 2xGL + 3xSL
Ograniczenia: (model rzeczowy)
(
2xGL + 5xSL 6 150
3xGL + 3xSL 6 180
Warunki brzegowe
xGL > 0, xSL > 0
Rozwiązanie? → metoda Sympleks, metoda graficzna
Przykład – cd
Optymalizacja – należy wyznaczyć precyzyjny model
Funkcja celu: (model preferencji)
max
z = 2xGL + 3xSL
Ograniczenia: (model rzeczowy)
(
2xGL + 5xSL 6 150
3xGL + 3xSL 6 180
Warunki brzegowe
xGL > 0, xSL > 0
Rozwiązanie? → metoda Sympleks, metoda graficzna
Przykład
Dwie hurtownie spożywcze H1 i H2 dostarczają cukier do czterech sklepów
zlokalizowanych w różnych miejscowościach S1 , S2 , S3 ,S4 . Jednostkowe
koszty transportu cij (w tys. zł), oferowane wielkości dostaw ai (w tonach)
oraz zapotrzebowanie sklepów bj (w tonach) podaje poniższa tablica:
cij
H1
H2
bj
S1
50
10
100
S2
20
50
300
S3
20
80
500
S4
60
70
700
aj
800
800
1600
Opracować plan transportu cukru minimalizujący całkowite koszty
transportu
Przykład – cd
niech xij ( i = 1, 2,. . . , m; j = 1, 2,. . . , n ) – ilość ton cukru jaka
powinna być dostarczona z i-tej hurtowni do j-tego sklepu
rozwiązanie dopuszczalne istnieje, bo
2
X
ai ­
i=1
4
X
bj
j=1
ograniczenia dla dostawców
x11 + x12 + x13 + x14 =
4
X
x1j = 800
(H1 )
x2j = 800
(H2 )
j=1
x21 + x22 + x23 + x24 =
4
X
j=1
Przykład – cd
ograniczenia dla odbiorców
x11 + x21 =
2
X
xi1 = 100
(S1 )
xi2 = 300
(S2 )
xi3 = 500
(S3 )
xi4 = 700
(S4 )
i=1
x12 + x22 =
2
X
i=1
x13 + x23 =
2
X
i=1
x14 + x24 =
2
X
i=1
Przykład – cd
warunki brzegowe
xij ­ 0 (i = 1, 2; j = 1, . . . , 4)
funkcja celu
z=
50x11 + 10x12 + 20x13 + 60x14 + 10x21
+50x22 + 80x23 + 70x14 → min
Modelowanie preferencji użytkownika
Model rzeczowy określa zależności między zmiennymi decyzyjnymi i
ich konsekwencjami oraz określa zbiór decyzji dopuszczalnych
W modelu reprezentującym sytuację decyzyjną można, oprócz modelu
rzeczowego, wyróżnić model preferencji użytkownika
W przypadku modeli analitycznych, często ciężko wyróżnić model
rzeczowy od modelu preferencji ze względu na ich wzajemne
zależności
0
00
Rozważmy dwa elementy x i x ∈ X z przestrzeni zmiennych
decyzyjnych, reprezentujące dwie różne decyzje. Mogą wystąpić cztery
sytuacje:
0
1
2
3
4
00
równoważność decyzji x i x
0
00
silna preferencja decyzji x nad x lub odwrotnie
0
00
słaba preferencja decyzji x nad x lub odwrotnie
0
00
sytuacja nieporównywalności x , x
Definicja
Modelem preferencji nazywamy model, który każdej parze elementów
0
00
0
00
x , x ∈ X, x 6= x przypisuje jedną, dwie lub trzy spośród wzajemnie
wykluczających się sytuacji podstawowych: równoważności, silnej
preferencji, słabej preferencji i nieporównywalności
Model preferencji może przyjmować różne postaci (relacje preferencji,
funkcja wartości, funkcja użyteczności)
Relacją binarną określoną w niepustym zbiorze A nazywa się dowolny
zbiór par (x, y) elementów zbioru A – podzbiór iloczynu
kartezjańskiego A × A
0
00
Relacja R między elementami x i x
0
00
x Rx
Definicja
Modelem preferencji nazywamy model, który każdej parze elementów
0
00
0
00
x , x ∈ X, x 6= x przypisuje jedną, dwie lub trzy spośród wzajemnie
wykluczających się sytuacji podstawowych: równoważności, silnej
preferencji, słabej preferencji i nieporównywalności
Model preferencji może przyjmować różne postaci (relacje preferencji,
funkcja wartości, funkcja użyteczności)
Relacją binarną określoną w niepustym zbiorze A nazywa się dowolny
zbiór par (x, y) elementów zbioru A – podzbiór iloczynu
kartezjańskiego A × A
0
00
Relacja R między elementami x i x
0
00
x Rx
Relację R nazywamy
zwrotną, gdy
0
0
0
x R x , ∀x ∈ X
przeciwzwrotną, jeśli
0
0
0
∼ (x R x ), ∀x ∈ X
symetryczną, jeśli
0
00
00
0
x Rx ⇒x Rx
asymetryczną, jeśli
0
00
00
0
x R x ⇒∼ (x R x )
przechodnią, jeśli
0
00
00
000
0
000
0
00
000
x R x i x R x to x R x , ∀x , x , x
∈X
zupełną, jeśli
0
00
0
00
00
0
∀x , x ∈ Xspełniona jest przynajmniej jedna z relacji x R x lub x R x
Relacja R wprowadza porządek zupełny jeżeli jest zwrotna, przechodnia i
zupełna
Relacja R wprowadza porządek częściowy, jeżeli jest zwrotna i przechodnia
Za pomocą relacji binarnych można reprezentować 4 sytuacje podstawowe
1
relacja równoważności ∼
2
relacja silnej preferencji 3
relacja preferencji 4
relacja nieporównywalności ?
Możliwości modelowania preferencji
1
przyjęcie dla każdej pary wariantów tylko jednej z sytuacji
podstawowych
2
Dopuszczenie przypisania dla każdej pary wariantów dwóch lub trzech
sytuacji podstawowych – relacje zgrupowane
Przykład – relacja zgrupowana
Relacja przewyższania o definicji
0
00
0
00
0
00
0
00
R : {x R x ⇒ x ∼ x lub x x lub x x }
W oparciu o relacje wprowadza się pojęcie systemu relacyjnego preferencji,
który jest modelem preferencji użytkownika
Podstawowy system relacyjny – zawiera cztery podstawowe relacje, a
ponadto zakłada się własność zupełności (dla dowolnej pary decyzji co
najmniej jedna relacja jest prawdziwa) oraz własność wykluczania (dla
dowolnej pary decyzji co najwyżej jedna relacja jest prawdziwa)
Zgrupowany system relacyjny – oprócz relacji podstawowych zawiera 5
relacji zgrupowanych
0
1
2
3
4
5
00
0
00
brak preferencji (x ∼ x lub x ?x )
0
00
0
00
preferencji (x x lub x x )
0
00
0
00
przypuszczenia preferencji (x ∼ x lub x x )
0
00
0
00
K-preferencji (x x lub x ?x )
przewyższania
Przykład – relacja zgrupowana
Relacja przewyższania o definicji
0
00
0
00
0
00
0
00
R : {x R x ⇒ x ∼ x lub x x lub x x }
W oparciu o relacje wprowadza się pojęcie systemu relacyjnego preferencji,
który jest modelem preferencji użytkownika
Podstawowy system relacyjny – zawiera cztery podstawowe relacje, a
ponadto zakłada się własność zupełności (dla dowolnej pary decyzji co
najmniej jedna relacja jest prawdziwa) oraz własność wykluczania (dla
dowolnej pary decyzji co najwyżej jedna relacja jest prawdziwa)
Zgrupowany system relacyjny – oprócz relacji podstawowych zawiera 5
relacji zgrupowanych
0
1
2
3
4
5
00
0
00
brak preferencji (x ∼ x lub x ?x )
0
00
0
00
preferencji (x x lub x x )
0
00
0
00
przypuszczenia preferencji (x ∼ x lub x x )
0
00
0
00
K-preferencji (x x lub x ?x )
przewyższania
Przykład – skutki braku racjonalności
W stołówce studenckiej mamy do wyboru trzy zupy: pomidorową,
ogórkową i krupnik (X = {p, o, k})
Jaś ma relacje preferencji
o p,
kp
Nie wie, czy wolałby krupnik, czy ogórkową, czy jest mu to obojętne
o∼k
Jeśli podejmie jakąś decyzję, może wybrać gorszą możliwość
Jeśli nie sprecyzuje swoich preferencji, to minie przerwa i pójdzie
głodny na wykład
Przykład – skutki braku racjonalności
W stołówce studenckiej mamy do wyboru trzy zupy: pomidorową,
ogórkową i krupnik (X = {p, o, k})
Jaś ma relacje preferencji
o p,
kp
Nie wie, czy wolałby krupnik, czy ogórkową, czy jest mu to obojętne
o∼k
Jeśli podejmie jakąś decyzję, może wybrać gorszą możliwość
Jeśli nie sprecyzuje swoich preferencji, to minie przerwa i pójdzie
głodny na wykład
Przykład – skutki braku racjonalności
W stołówce studenckiej mamy do wyboru trzy zupy: pomidorową,
ogórkową i krupnik (X = {p, o, k})
Jaś ma relacje preferencji
o p,
kp
Nie wie, czy wolałby krupnik, czy ogórkową, czy jest mu to obojętne
o∼k
Jeśli podejmie jakąś decyzję, może wybrać gorszą możliwość
Jeśli nie sprecyzuje swoich preferencji, to minie przerwa i pójdzie
głodny na wykład
Przykład – skutki braku racjonalności
W stołówce studenckiej mamy do wyboru trzy zupy: pomidorową,
ogórkową i krupnik (X = {p, o, k})
Jaś ma relacje preferencji
o p,
kp
Nie wie, czy wolałby krupnik, czy ogórkową, czy jest mu to obojętne
o∼k
Jeśli podejmie jakąś decyzję, może wybrać gorszą możliwość
Jeśli nie sprecyzuje swoich preferencji, to minie przerwa i pójdzie
głodny na wykład
Przykład – skutki braku racjonalności
W stołówce studenckiej mamy do wyboru trzy zupy: pomidorową,
ogórkową i krupnik (X = {p, o, k})
Jaś ma relacje preferencji
o p,
kp
Nie wie, czy wolałby krupnik, czy ogórkową, czy jest mu to obojętne
o∼k
Jeśli podejmie jakąś decyzję, może wybrać gorszą możliwość
Jeśli nie sprecyzuje swoich preferencji, to minie przerwa i pójdzie
głodny na wykład
Przykład – brak przechodności
Problem wyboru systemu na podstawie opinii ekspertów. Należy wybrać jeden z
trzech wariantów A, B lub C. Trzech niezależnych ekspertów uporządkowało
warianty od najlepszego do najgorszego. Wyniki przedstawia tabela
Ekspert 1
Ekspert 2
Ekspert 3
A
B
C
B
C
A
C
A
B
Dwóch ekspertów wyżej oceniło wariant A od B ⇒ A B
Dwóch ekspertów wyżej oceniło wariant B od C ⇒ B C
Dwóch ekspertów wyżej oceniło wariant C od A ⇒ C A
Otrzymujemy cykl
A B, B C, C A
Zadanie nie ma rozwiązania – brak przechodności, symetria ocen wszystkich
ekspertów
Przykład – brak przechodności
Problem wyboru systemu na podstawie opinii ekspertów. Należy wybrać jeden z
trzech wariantów A, B lub C. Trzech niezależnych ekspertów uporządkowało
warianty od najlepszego do najgorszego. Wyniki przedstawia tabela
Ekspert 1
Ekspert 2
Ekspert 3
A
B
C
B
C
A
C
A
B
Dwóch ekspertów wyżej oceniło wariant A od B ⇒ A B
Dwóch ekspertów wyżej oceniło wariant B od C ⇒ B C
Dwóch ekspertów wyżej oceniło wariant C od A ⇒ C A
Otrzymujemy cykl
A B, B C, C A
Zadanie nie ma rozwiązania – brak przechodności, symetria ocen wszystkich
ekspertów
Przykład – brak przechodności
Problem wyboru systemu na podstawie opinii ekspertów. Należy wybrać jeden z
trzech wariantów A, B lub C. Trzech niezależnych ekspertów uporządkowało
warianty od najlepszego do najgorszego. Wyniki przedstawia tabela
Ekspert 1
Ekspert 2
Ekspert 3
A
B
C
B
C
A
C
A
B
Dwóch ekspertów wyżej oceniło wariant A od B ⇒ A B
Dwóch ekspertów wyżej oceniło wariant B od C ⇒ B C
Dwóch ekspertów wyżej oceniło wariant C od A ⇒ C A
Otrzymujemy cykl
A B, B C, C A
Zadanie nie ma rozwiązania – brak przechodności, symetria ocen wszystkich
ekspertów
Przykład – brak przechodności
Problem wyboru systemu na podstawie opinii ekspertów. Należy wybrać jeden z
trzech wariantów A, B lub C. Trzech niezależnych ekspertów uporządkowało
warianty od najlepszego do najgorszego. Wyniki przedstawia tabela
Ekspert 1
Ekspert 2
Ekspert 3
A
B
C
B
C
A
C
A
B
Dwóch ekspertów wyżej oceniło wariant A od B ⇒ A B
Dwóch ekspertów wyżej oceniło wariant B od C ⇒ B C
Dwóch ekspertów wyżej oceniło wariant C od A ⇒ C A
Otrzymujemy cykl
A B, B C, C A
Zadanie nie ma rozwiązania – brak przechodności, symetria ocen wszystkich
ekspertów
Przykład – brak przechodności
Problem wyboru systemu na podstawie opinii ekspertów. Należy wybrać jeden z
trzech wariantów A, B lub C. Trzech niezależnych ekspertów uporządkowało
warianty od najlepszego do najgorszego. Wyniki przedstawia tabela
Ekspert 1
Ekspert 2
Ekspert 3
A
B
C
B
C
A
C
A
B
Dwóch ekspertów wyżej oceniło wariant A od B ⇒ A B
Dwóch ekspertów wyżej oceniło wariant B od C ⇒ B C
Dwóch ekspertów wyżej oceniło wariant C od A ⇒ C A
Otrzymujemy cykl
A B, B C, C A
Zadanie nie ma rozwiązania – brak przechodności, symetria ocen wszystkich
ekspertów
Przykład
Problem zakupu mąki. Na rynku dostępne są dwa rodzaje mąki: poznańska i
wrocławska. Konsumentowi obojętne jest jaki rodzaj zakupi. Jego koszyk towarów
(x1 , x2 ), gdzie x1 – ilość mąki poznańskiej, x2 – ilość mąki wrocławskiej
Na zbiorze X ∈ R2+ można wprowadzić relację preferencji:
0
0
(x1 , x2 ) (x1 , x2 )
czyli
0
0
x1 + x2 > x1 + x2
Jest to przykład substytucji doskonałej, gdzie konsument chce zastapić jeden
towar drugim w stosunku 1:1
Przykład opisu relacji preferencji za pomocą funkcji użyteczności
u : X → R : u(x1 , x2 ) = x1 + x2
Przykład
Problem zakupu mąki. Na rynku dostępne są dwa rodzaje mąki: poznańska i
wrocławska. Konsumentowi obojętne jest jaki rodzaj zakupi. Jego koszyk towarów
(x1 , x2 ), gdzie x1 – ilość mąki poznańskiej, x2 – ilość mąki wrocławskiej
Na zbiorze X ∈ R2+ można wprowadzić relację preferencji:
0
0
(x1 , x2 ) (x1 , x2 )
czyli
0
0
x1 + x2 > x1 + x2
Jest to przykład substytucji doskonałej, gdzie konsument chce zastapić jeden
towar drugim w stosunku 1:1
Przykład opisu relacji preferencji za pomocą funkcji użyteczności
u : X → R : u(x1 , x2 ) = x1 + x2
Przykład
Problem zakupu mąki. Na rynku dostępne są dwa rodzaje mąki: poznańska i
wrocławska. Konsumentowi obojętne jest jaki rodzaj zakupi. Jego koszyk towarów
(x1 , x2 ), gdzie x1 – ilość mąki poznańskiej, x2 – ilość mąki wrocławskiej
Na zbiorze X ∈ R2+ można wprowadzić relację preferencji:
0
0
(x1 , x2 ) (x1 , x2 )
czyli
0
0
x1 + x2 > x1 + x2
Jest to przykład substytucji doskonałej, gdzie konsument chce zastapić jeden
towar drugim w stosunku 1:1
Przykład opisu relacji preferencji za pomocą funkcji użyteczności
u : X → R : u(x1 , x2 ) = x1 + x2
Przykład
Problem zakupu mąki. Na rynku dostępne są dwa rodzaje mąki: poznańska i
wrocławska. Konsumentowi obojętne jest jaki rodzaj zakupi. Jego koszyk towarów
(x1 , x2 ), gdzie x1 – ilość mąki poznańskiej, x2 – ilość mąki wrocławskiej
Na zbiorze X ∈ R2+ można wprowadzić relację preferencji:
0
0
(x1 , x2 ) (x1 , x2 )
czyli
0
0
x1 + x2 > x1 + x2
Jest to przykład substytucji doskonałej, gdzie konsument chce zastapić jeden
towar drugim w stosunku 1:1
Przykład opisu relacji preferencji za pomocą funkcji użyteczności
u : X → R : u(x1 , x2 ) = x1 + x2
Definicja – funkcja użyteczności
Funkcja u : X → R określona na przestrzeni X ⊆ Rn+ z relacją związaną z
relacją preferencji , nazywamy funkcją użyteczności, gdy
∀x, y ∈ X
u(x) > u(y) ⇔ x > y
.
Relację preferencji na X nazywamy ciągłą, gdy dla każdego a ∈ X zbiory
{x ∈ X : z > a}
{x ∈ X : a > a}
są otwarte w przestrzeni X
Twierdzenie Debreu (1959)
Jeżli przestrzeń X jest podzbiorem spójnym, a relacja preferencji określona
na X jest ciągła, to istnieje ciągła funkcja użyteczności u : X → R
związana z tą relacją
Definicja – funkcja użyteczności
Funkcja u : X → R określona na przestrzeni X ⊆ Rn+ z relacją związaną z
relacją preferencji , nazywamy funkcją użyteczności, gdy
∀x, y ∈ X
u(x) > u(y) ⇔ x > y
.
Relację preferencji na X nazywamy ciągłą, gdy dla każdego a ∈ X zbiory
{x ∈ X : z > a}
{x ∈ X : a > a}
są otwarte w przestrzeni X
Twierdzenie Debreu (1959)
Jeżli przestrzeń X jest podzbiorem spójnym, a relacja preferencji określona
na X jest ciągła, to istnieje ciągła funkcja użyteczności u : X → R
związana z tą relacją
Wektorowe relacje preferencji
W przypadku wielowymiarowych wektorów oceny relacja preferencji
zdefiniowana jest przez nierówności na poszczególnych współrzędnych
relacja preferencji
0
00
0
00
00
0
00
00
0
00
y y i ⇔ yi > yi , dla i = 1, 2, . . . , m
relacja silnej preferencji
0
y y i ⇔ yi > yi , dla i = 1, 2, . . . , m
relacja równoważności
0
y ∼ y i ⇔ yi = yi , dla i = 1, 2, . . . , m
relacja nieporównywalności
0
00
0
00
y ?y i ⇔ yi 6= yi , dla i = 1, 2, . . . , m
Stosując odpowiednie relacje nierówności wektorowych w odniesieniu do
wektora zerowego używa się następujących określeń:
wektor nieujemny, gdy y > 0
wektor dodatni, gdy y > 0
Porządek Pareto
Relacja nierówności wektorowej > jest zwrotna i przechodnia. Jest ona
również antysymetryczna, ponieważ odpowiadająca jej relacja indyferencji
(równoważności) pokrywa się z równością wektorów. Tym samym relacja
nierówności wektorowej jest porządkiem częściowym nazywanym
porządkiem Pareto.
Stosując odpowiednie relacje nierówności wektorowych w odniesieniu do
wektora zerowego używa się następujących określeń:
wektor nieujemny, gdy y > 0
wektor dodatni, gdy y > 0
Porządek Pareto
Relacja nierówności wektorowej > jest zwrotna i przechodnia. Jest ona
również antysymetryczna, ponieważ odpowiadająca jej relacja indyferencji
(równoważności) pokrywa się z równością wektorów. Tym samym relacja
nierówności wektorowej jest porządkiem częściowym nazywanym
porządkiem Pareto.
Przykład
Rozważmy wektory v = (3, 4) i y = (5, 3).
Wektor v jest nieporównywalny w sensie porządku Pareto z wektorem y
Przykład
Dokonać wyboru systemu zarządzania firmą. Dane są zestawione w tabeli
Nr
oferty
1
2
3
4
5
6
ocena
elastyczności
1
1
2
2
3
3
ocena
jakości
2
0
4
3
2
1
obniżka kosztów
(tys. zł)
28
27
5
17
21
27
jest sześć trzy-elementowych wektorów ocen
y 1 = [1, 2, 28], y 2 = [1, 0, 27], y 3 = [2, 4, 5]
y 4 = [2, 3, 17], y 5 = [3, 2, 21], y 6 = [3, 1, 27]
Problem decyzyjny wyboru wariantu systemu polega na wyborze jednego z
sześciu trzy-elementowych wektorów ocen
Stosując relacje nierówności wektorowej można stwierdzić, że
y1 > y2 i y6 > y2
Wszystkie wektory ocen poza y 2 są nieporównywalne ze sobą w sensie
nierówności wektorowej
Każdy z wektorów y 1 , y 3 , y 4 , y 5 i y 6 stanowi wektor maksymalny w
sensie porządku Pareto
Relacja ta nie pozwala zidentyfikować żadnego z nich jako najlepszego
wyboru
Skale ocen
Skala porządkowa – określa kolejność obiektów wykorzystując własności
porządkowe liczb
przykładem może być czterostopniowa ocena studentów
{niedostateczny, dostateczny, dobry, bardzo dobry}
reprezentowane przez liczby
{2, 3, 4, 5}
wiedza studenta jest tym większa im wyższa ocena, co wynika z
nierówności
2<3<4<5
działania arytmetyczne na ocenach nie mają bezpośredniej
interpretacji poza charakterystykami statystycznymi
skala porządkowa jest niezmiennicza względem dowolnych
przekształceń zachowujących porządek
Skala przedziałowa – pozwala wykorzystywać nie tylko porządek liczb, ale
także porządek różnic liczb i ich ilorazów
przykładem mogą być skale temperatury: Celsjusza czy Fahrenheita
Można stwierdzić nie tylko, że ciało A ma wyższą temperaturę od
ciała B, które jest cieplejsze od ciała C, ale również określić czy
różnica temperatur między A i B jest większa od różnicy temperatur
między B i C, a także ile razy większa
aby zdefiniować skalę przedziałową należy podać punkt zerowy i
odstęp jednostkowy
poza odejmowaniem działania arytmetyczne nie mają określonego
znaczenia – nie można mówić o dwa razy wyższej temperaturze
niezależnie od użytej skali
Skala ilorazowa – pozwala wykorzystywać porządek ilorazów liczb
przykłady – miary masy, długości, objętości, wartości wyrażone w
jednostkach monetarnych
jedyne dopuszczalne działanie – zmiana jednostek (zmiana skali
centymetrowej na metrową)
skale ilorazowe mają naturalny punkt zerowy
można wykorzystywać wszystkie działania arytmetyczne
Przykład
Rozpatrzmy uproszczony problem wyboru nowego systemu
informatycznego zarządzania dla firmy. Zespół konkursowy wyłonił 6 ofert
systemu i zestawił ich najważniejsze charakterystyki w poniższej tabeli
Nr
oferty
1
2
3
4
5
6
ocena
elastyczności
mała
mała
przeciętna
przeciętna
duża
duża
ocena
jakości
dobra
niedostateczna
idealna
bardzo dobra
dobra
dostateczna
obniżka kosztów
(tys. zł)
28
27
5
17
21
27
W jaki sposób określić sumaryczną ocenę systemów?
ocena elastyczności f1 (x) – skala porządkowa {1, 2, 3}
ocena jakości f2 (x) – skala porządkowa {0, 1, 2, 3, 4}
obiżka kosztów f3 (x) to skala ilorazowa
ostatecznie
Nr
oferty
1
2
3
4
5
6
ocena
elastyczności
1
1
2
2
3
3
ocena
jakości
2
0
4
3
2
1
obniżka kosztów
(tys. zł)
28
27
5
17
21
27
problem wyboru – wybór elementu x ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6} na
podstawie trzech funkcji oceny f1 (x), f2 (x) i f3 (x)
Cele
W praktyce decyzyjnej decyzje są oceniane na podstawie odpowiednio
dobranego zbioru kryteriów
Wprowadzone systemy relacyjne odnoszą się do zbioru decyzji
dopuszczalnych jednakże umożliwiają formułowanie równoważnych
modeli preferencji z wykorzystaniem kryteriów
Zakłada się, że dysponujemy pewnym zbiorem kryteriów
Faza doboru kryteriów polega na określeniu wyjść modelu rzeczowego,
na podstawie których będą formułowane kryteria, prowadzeniu
obliczeń i analizie wyników
Jest to proces iteracyjny, który umożliwia reprezentatywny dobór
kryteriów
Tradycyjne kryteria podlegają minimalizacji lub maksymalizacji
Kryterium stabilizowane – użytkownik określa wartość, którą chciałby
uzyskać
Cele kierunkowe – minimalizacja lub maksymalizacja
Cele przynależności
typ celu
cel punktowy
cel wyliczeniowy
cel progowy dolny
cel progowy górny
cel przedziałowy
warunek
z=q
z ∈ {q1 , q2 , . . . , qm }
z6q
z>q
qd 6 z 6 qg
Przykład
Jako kryterium można przyjąć koszt realizacji pewnego przedsięwzięcia.
Naturalnym bedzie wybór tego kryterium jako minimalizowanego bądź
stabilizowanego
Niech q bedzie wektorem kryteriów, wtedy zadanie analizy wielokryterialnej
Elementy wektora q: qi = fi (x, z, y) : i ∈ 1, . . . , m
Zadanie analizy wielokryterialnej
min / max /stabilize
q(x, z, y)
przy ograniczeniach
y = f (x, z, y)
xd (z) 6 x 6 xg (z)
y d (z) 6 y 6 y g (z)
zd 6 z 6 zg
Przykład
Jako kryterium można przyjąć koszt realizacji pewnego przedsięwzięcia.
Naturalnym bedzie wybór tego kryterium jako minimalizowanego bądź
stabilizowanego
Niech q bedzie wektorem kryteriów, wtedy zadanie analizy wielokryterialnej
Elementy wektora q: qi = fi (x, z, y) : i ∈ 1, . . . , m
Zadanie analizy wielokryterialnej
min / max /stabilize
q(x, z, y)
przy ograniczeniach
y = f (x, z, y)
xd (z) 6 x 6 xg (z)
y d (z) 6 y 6 y g (z)
zd 6 z 6 zg
Zadanie optymalizacji jednokryterialnej – poprzez rozwiązanie rozumie
się znalezienie takich wartości zmiennych decyzyjnych, króre
minimalizują lub maksymalizują wskaźnik kosztu
Zadanie optymalizacji wielokryterialnej – zadanie ma wiele lub
nieskończenie wiele rozwiązań (zadanie źle postawione). Dąży się do
rozwiązania najbardziej zgodnego z preferencjami użytkownika
(decydenta)
Optymalność w sensie Pareto
Zbiór niezdominowanych rozwiązań z całej dopuszczalnej przestrzeni
poszukiwań nazywamy zbiorem optymalnym w sensie Pareto (rozwiązania
tworzą tzw. front Pareto)
Rozwiązania z tego zbioru nie są zdominowane przez żadne inne, więc w
tym sensie są one optymalnymi rozwiązaniami dla problemu optymalizacji
wielokryterialnej
Ostatecznie należy zdecydować się na wybór jednego rozwiązania
Przykład
Rozważmy problem planowania produkcji pewnego produktu gdzie zarząd
chce minimalizować zarówno koszt wytworzenia produktu jak również czas
jego wytworzenia
wszystkie rozwiązania leżące na froncie Pareto są tak samo dobre
x jest lepszym rozwiązaniem od y
ze względu na czas, ale gorszym ze
względu na koszt
Fazy budowy modelu
1
sformułowanie modelu rzeczowego sytuacji decyzyjnej
2
sformułowanie problemu do analizy wielokryterialnej
3
wybór lub budowa modelu preferencji
4
dostarczenie użytkownikowi informacji pomocniczych, np. do oceny
zakresu zmienności kryteriów
5
interaktywne przeglądanie zbioru rozwiązań
Model sytuacji decyzyjnej
Model rzeczowy reprezentuje wiedzę o środowisku decyzyjnym i
wszelkie zależności mające wpływ na sytuację decyzyjną
Model preferencji rzadko może być definiowany a-priori i dlatego jest
raczej łączony z analizą modelu, aby pozwolić na interaktywny proces
dochodzenia do właściwego modelu preferencji