MATEMATYKA PR MATERIAŁ ĆW.2012

Materiał ćwiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia diagnozy.
Materiał ćwiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie należy powielać ani udostępniać
w żadnej innej formie (w tym umieszczać na stronach internetowych szkoły) poza wykorzystaniem jako
ćwiczeniowego/diagnostycznego w szkole.
WPISUJE ZDAJĄCY
KOD
PESEL
STYCZEŃ 2012
MATERIAŁ ĆWICZENIOWY
Z MATEMATYKI
POZIOM ROZSZERZONY
Instrukcja dla zdającego
1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 15 stron (zadania 1 – 11).
Ewentualny brak
zgłoś
przewodniczącemu
zespołu
nadzorującego.
2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to
przeznaczonym.
3. Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń
w rozwiązaniu zadania może spowodować, że za to
rozwiązanie nie będziesz mógł dostać pełnej liczby punktów.
4. Pisz czytelnie i używaj tylko długopisu lub pióra z czarnym
tuszem lub atramentem.
5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy przekreśl.
6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.
7. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla
i linijki oraz kalkulatora.
Czas pracy:
180 minut
Życzymy powodzenia.
Liczba punktów
do uzyskania: 50
2
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu
Materiał ćwiczeniowy z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 1. (4 pkt)
Jednym z pierwiastków wielomianu W ( x ) = x 3 + mx 2 + nx + 2 jest liczba 1. Reszta
z dzielenia wielomianu W ( x ) przez dwumian x + 1 jest równa 4. Oblicz współczynniki m i n.
Odpowiedź: ……………………………………………………………………………….. .
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu
Materiał ćwiczeniowy z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 2. (4 pkt)
Rozwiąż równanie cos 2 x + sin x cos 2 x =
1 + sin x
w przedziale 0, 2π .
4
Odpowiedź: ……………………………………………………………………………….. .
3
4
Zadanie 3. (5 pkt)
Uzasadnij, że 6116 < 18 24 .
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu
Materiał ćwiczeniowy z matematyki
Poziom rozszerzony
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu
Materiał ćwiczeniowy z matematyki
Poziom rozszerzony
5
Zadanie 4. (5 pkt)
Kulę o promieniu R przecięto dwiema równoległymi płaszczyznami w sposób przedstawiony
na poniższym rysunku. Przekroje mają promienie r1 oraz r2 i są odległe od siebie o a. Liczby
r1 , a , r2 w podanej kolejności tworzą trzywyrazowy ciąg arytmetyczny, którego różnica jest
równa 1. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 18. Znajdź długość promienia kuli.
•
•
•
Odpowiedź: ……………………………………………………………………………….. .
6
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu
Materiał ćwiczeniowy z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 5. (5 pkt)
Rozwiąż nierówność 2 x − 4 + 4 x > 2 x 2 − 4 .
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu
Materiał ćwiczeniowy z matematyki
Poziom rozszerzony
Odpowiedź: ……………………………………………………………………………….. .
7
8
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu
Materiał ćwiczeniowy z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 6. (5 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których jedno rozwiązanie równania
(m + 2)x 2 + 2mx + 1 = 0 jest sinusem, a drugie – cosinusem tego samego kąta.
Odpowiedź: ……………………………………………………………………………….. .
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu
Materiał ćwiczeniowy z matematyki
Poziom rozszerzony
9
Zadanie 7. (4 pkt)
W układzie współrzędnych przedstawiony jest
f ( x ) = log a ( x − k ) + m . Wyznacz wartości a , k , m .
wykres
funkcji
y = f (x ) ,
gdzie
Odpowiedź: ……………………………………………………………………………….. .
10
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu
Materiał ćwiczeniowy z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 8. (4 pkt)
Pole trójkąta ABC o danych wierzchołkach A = (1,−2) oraz B = (2,3) jest równe 4,5.
Wyznacz współrzędne trzeciego wierzchołka wiedząc, że należy on do prostej o równaniu
x+ y −2 = 0.
Odpowiedź: ……………………………………………………………………………….. .
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu
Materiał ćwiczeniowy z matematyki
Poziom rozszerzony
11
Zadanie 9. (6 pkt)
Na bokach AC i BC trójkąta ABC obrano punkty P i Q takie, że AP : PC = 2 : 1 oraz
BQ : QC = 2 : 1 . Odcinki AQ i BP przecinają się w punkcie R . Wykaż, że pole
czworokąta CPRQ jest równe polu trójkąta ARP .
12
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu
Materiał ćwiczeniowy z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 10. (4 pkt)
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątne ścian bocznych, wychodzące
z tego samego wierzchołka, mają długość d i tworzą kąt o mierze α . Oblicz objętość tego
graniastosłupa.
Odpowiedź: ……………………………………………………………………………….. .
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu
Materiał ćwiczeniowy z matematyki
Poziom rozszerzony
13
Zadanie 11. (4 pkt)
Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch jedynek lub trzech szóstek
w doświadczeniu losowym, polegającym na pięciokrotnym rzucie symetryczną sześcienną
kostką do gry.
Odpowiedź: ……………………………………………………………………………….. .
14
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu
Materiał ćwiczeniowy z matematyki
Poziom rozszerzony
B R U DN O PI S
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu
Materiał ćwiczeniowy z matematyki
Poziom rozszerzony
B R U DN O PI S
15