andrzej banachowicz - Akademia Morska w Gdyni

nr 19
PRACE WYDZIAŁU NAWIGACYJNEGO
AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI
2006
ANDRZEJ BANACHOWICZ
Akademia Morska w Gdyni
Katedra Nawigacji
ELIPTYCZNE FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
W artykule przedstawiono uogólnienie funkcji trygonometrycznych z jednostkowego koła
trygonometrycznego na dowolną elipsę. Otrzymano w ten sposób eliptyczne funkcje trygonometryczne, w których argumentem jest pole wycinka elipsy odpowiadające określonemu kątowi.
Zastosowano przy tym formalizm podobny jak przy definiowaniu funkcji hiperbolicznych.
W tym ujęciu klasyczne funkcje trygonometryczne są jednym z przypadków eliptycznych funkcji
trygonometrycznych. Eliptyczne funkcje trygonometryczne można również interpretować jako
harmoniki.
WSTĘP
Pojęcie funkcji trygonometrycznych jest szeroko znane, a ich zastosowania
– powszechne. Uogólnienie funkcji trygonometrycznych w postaci funkcji
hiperbolicznych też znalazło szereg zastosowań. Okazuje się, że przenosząc
uogólnienie jednostkowego koła trygonometrycznego na dowolną elipsę, można
otrzymać eliptyczne funkcje trygonometryczne, w których argumentem jest
pole wycinka elipsy odpowiadające określonemu kątowi. Stosuje się przy tym
formalizm podobny jak przy definiowaniu funkcji hiperbolicznych. Z tego
punktu widzenia klasyczne funkcje trygonometryczne są jednym z przypadków
eliptycznych funkcji trygonometrycznych. Eliptyczne funkcje trygonometryczne mogą być interpretowane jako harmoniki i wykorzystane w analizie
drgań harmoniczych.
1. KOŁO TRYGONOMETRYCZNE
Klasycznie funkcje trygonometryczne definiuje się jako stosunki odpowiednich boków trójkąta prostokątnego. W celu rozszerzenia dziedziny funkcji
π
trygonometrycznych poza zakres przedziału  0;  , należy posłużyć się kołem
 2
5
trygonometrycznym (rys. 1). Zgodnie z oznaczeniami na tym rysunku
poszczególne funkcje trygonometryczne zdefiniowane są następująco (r = OC
= OE = OA):
sinα =
BC = BC ,
OC
r
(1)
cosα =
OB = OB ,
OC
r
(2)
tg α =
AD = AD ,
OA
r
(3)
ctg α =
EF = EF ,
OE
r
(4)
secα =
OD = OD ,
OC
r
(5)
cosec α =
OF = OF .
OC
r
(6)
Rys. 1. Koło trygonometryczne
Ponieważ zazwyczaj przyjmuje się koło trygonometryczne jako koło jednostkowe, tj. r = 1, więc powyższe wzory otrzymają prostszą postać:
6
sin α = BC ,
(1′)
cos α = OB,
(2′)
tg α = AD,
(3′)
ctg α = EF ,
(4′)
secα = OD ,
(5′)
cosec α = OF .
(6′)
Teraz funkcje trygonometryczne są formalnie określone jako długości
odpowiednich odcinków w kole trygonometrycznym.
W interpretacji geometrycznej funkcji trygonometrycznych i przy definiowaniu funkcji hiperbolicznych za zmienną niezależną przyjmujemy wielkość p
równą polu (obszar zakreskowany na rysunku 2) wycinka COK, o kącie
środkowym równym 2α. W tym wypadku będziemy mieli (rys. 2):
p = 1 r 2 ⋅ 2α = α ,
2
(7)
dla r = 1 (α w radianach).
Rys. 2. Pole jako argument funkcji trygonometrycznych
Stąd poszczególne funkcje trygonometryczne można zapisać w następującej postaci, gdzie zmienną niezależną jest pole wycinka kołowego p:
sin p = BC ,
(8)
cos p = OB,
(9)
tg p = AD,
(10)
ctg p = EF ,
(11)
sec p = OD,
(12)
cosec p = OF .
(13)
Jak widzimy wzory te są równoważne wzorom (1′)–(6′).
7
2. UOGÓLNIENIE POJĘCIA FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
Analogicznie jak przy określaniu funkcji hiperbolicznych przyjmijmy
za zmienną niezależną pole wycinka dowolnej elipsy (w miejsce wycinka
kołowego jak w powyższym przykładzie). Otrzymamy wówczas uogólnienie
funkcji trygonometrycznych. Nazwijmy je eliptycznymi funkcjami trygonometrycznymi. Do ich oznaczenia wykorzystamy skróty odpowiednich funkcji
trygonometrycznych i podobnie jak w funkcjach hiperbolicznych dołączymy
literę „e” – eliptyczne.
Rozważmy w tym celu dowolną elipsę E (rys. 3):
E ( x, y ) :
x2 y2
+
= 1,
a2 b2
(14)
gdzie: a – duża półoś, b – mała półoś elipsy.
Dalej zastosujemy tok postępowania jak przy wyprowadzeniu funkcji
trygonometrycznych z wykorzystaniem rysunku 2. Będziemy więc posługiwali
się tym samym formalizmem przy definiowaniu eliptycznych funkcji
trygonometrycznych, jaki się wykorzystuje, definiując funkcje hiperboliczne
(w którym przyjmuje się, że a = b = 1). Nie dowodzi się już tutaj, że pole
odpowiedniej powierzchni jest równe danemu kątowi. Wystarczy, że to pole
odpowiada danemu kątowi (jest funkcją danego kąta).
Rys. 3. Elipsa trygonometryczna
Pole wycinka elipsy KOCA (a = OA, b = OE) jest równe:
p = ab ⋅ arc cos OB .
a
8
(15)
Pole to odpowiada kątowi α, analogicznie jak na rysunku 2, ale jak wiemy, nie
jest mu równe. Możemy zdefiniować eliptyczne funkcje trygonometryczne jako
długości odpowiednich odcinków:
sine p = BC ,
(16)
cose p = OB,
(17)
tge p = AD,
(18)
ctge p = EF ,
(19)
sece p = OD,
(20)
cosece p = OF .
(21)
Należy teraz długości poszczególnych, interesujących nas odcinków
(prawe strony równań 16–21) wyrazić w funkcji pola p. Po przekształceniach,
ze wzoru (15) otrzymamy wartość kosinusa eliptycznego (oznaczenie: cose).
Mamy więc kolejno:
OB = p ,
a
ab
OB = cos p ,
a
ab
p
OB = a ⋅ cos
ab
arc cos
(22)
i ostatecznie kosinus eliptyczny:
cose p = a ⋅ cos
p
.
ab
(23)
Przed wyprowadzeniem kolejnych zależności zauważmy, że zachodzą
równości (zgodnie z rysunkiem 3):
OA = a,
(24)
OE = b
(25)
OC = r,
(26)
r = b 2 + e 2 OB 2 ,
(27)
oraz
które możemy wyrazić zależnością
gdzie e to pierwszy mimośród elipsy o wzorze:
2
2
e 2 = a −2 b .
a
(28)
9
Wyznaczmy BC z trójkąta BOC (rys. 3). Mamy:
OC 2 = OB2 + BC 2 ,
więc
BC 2 = OC 2 − OB2 = r 2 − OB2 =
 a 2 − b2 
= b 2 + e 2OB2 − OB2 = b 2 − (1 − e 2 ) ⋅ OB2 = b 2 − 1 −
 ⋅ OB2 =
2
a


= b2 −
a 2 − a 2 + b 2 OB2 = b 2 − b 2 OB2 = b 2 1 − 1 OB2 .


a2
a2
 a2

Uwzględniając zależność (22), możemy napisać:
p
p
p
,
BC 2 = b 2 1 − 12 a 2 cos 2  = b 2 1 − cos 2  = b 2 sin 2
ab 
ab 
ab
 a

czyli
BC = b ⋅ sin
p
.
ab
Stąd sinus eliptyczny (oznaczenie: sine) wyraża się wzorem:
sine p = BC = b ⋅ sin
p
.
ab
(29)
Przejdźmy teraz do wyznaczenia tangensa eliptycznego (oznaczenie:
tge). Wyznaczymy go z następującej proporcji (rys. 3):
stąd
AD = OA ,
BC OB
AD = BC ⋅ OA .
OB
Ale, jak pamiętamy, BC = sine p, OA = a, OB = cose p, więc
AD = sine p ⋅
a
cose p
,
czyli tangens eliptyczny będzie równy:
tge p = a
10
sine p
.
cose p
(30)
Po uwzględnieniu zależności (23) i (29) tangens eliptyczny wyrażony za
pomocą funkcji trygonometrycznych otrzyma następującą postać:
p
p
sin
ab
ab
tge p = a
=b
p
p
cos
a cos
ab
ab
b sin
i ostatecznie
tge p = b ⋅ tg
p
.
ab
(31)
Kotangens eliptyczny (oznaczenie: ctge) wyznaczymy z następującej
proporcji (rys. 3):
EF = b ,
OB BC
czyli
EF = b ⋅ OB .
BC
Ponownie wykorzystamy zależności (23) i (29), otrzymując kotangens eliptyczny:
ctge p = EF = b
cose p
.
sine p
(32)
Określmy związek kotangensa eliptycznego z funkcjami trygonometrycznymi. Mamy
p
p
ab
ab
cos
a cos
cose p
ab = a ⋅ ctg p ,
ab = a
ctge p = b
=b
sine p
ab
p
p
sin
b sin
czyli kotangens eliptyczny jest w następującej relacji z kotangensem trygonometrycznym:
ctge p = a ⋅ ctg
p
.
ab
(33)
W celu wyznaczenia sekansa eliptycznego (oznaczenie: sece) rozważmy
proporcję (rys. 3):
OD AD
,
=
OC BC
czyli
OD = OC ⋅ AD .
BC
(34)
11
Jak pamiętamy, zachodzi równość:
OC 2 = b 2 + e 2cose2 p .
Dalej, po przekształceniach, otrzymamy:
2
2
2
OC 2 = b 2 + a −2 b cose 2 p = b 2 + cose 2 p − b 2 cose 2 p =
a
a
= b2 −
b 2 cose 2 p + cose 2 p = b 2 1 − 1 cose 2 p  + cose 2 p =


a2
 a2

p
p
1
= b 2 1 − 2 a 2cos 2  + cose2 p = b 2 1 − cos 2  + cose2 p =
ab 
ab 
 a

= b 2 sin 2
p
+ cose 2 p = sine 2 p + cose 2 p ,
ab
czyli ostatecznie:
OC = r = sine 2 p + cose2 p .
(35)
Wstawmy teraz (35) oraz (30) i (29) do równania (34):
OD = sine 2 p + cose2 p
tge p
a ⋅ sine p
= sine 2 p + cose 2 p
=
sine p
sine p ⋅ cose p
= sine 2 p + cose 2 p
a
cose p
.
Wynika z tego, że sekans eliptyczny jest równy:
sece p =
a
cose p
sine 2 p + cose 2 p
(36)
i
sece p = a 2 + b 2 tg 2
p
.
ab
(36′)
Obliczmy teraz kosekans eliptyczny (oznaczenie: cosece). Zauważmy, że
stąd:
OF = b ,
OC BC
OF = OC ⋅ b .
BC
12
Wykorzystując zależności (35) i (29), otrzymamy:
b
sine 2 p + cose 2 p ,
sine p
OF =
czyli kosekans eliptyczny jest równy
cosece p =
b
sine 2 p + cose 2 p ,
sine p
cosece p = b 2 + a 2 ctg 2
(37)
p
.
ab
(37′)
Reasumując, poszczególne eliptyczne funkcje trygonometryczne są określone poniższymi wzorami:
sine p = b ⋅ sin
p
,
ab
cose p = a ⋅ cos
p
,
ab
tge p = b ⋅ tg
sine p
p
,
=a
cose p
ab
ctge p = a ⋅ ctg
sece p =
a
cose p
cosece p =
b
sine p
cose p
p
,
=b
sine p
ab
sine 2 p + cose2 p = a 2 + b 2 tg 2
p
,
ab
sine 2 p + cose 2 p = b 2 + a 2ctg 2
p
.
ab
3. PODSUMOWANIE
Jak wykazano wyżej, klasyczne funkcje trygonometryczne są przypadkiem
szczególnym eliptycznych funkcji trygonometrycznych (gdy a = b = r = 1).
I odwrotnie, eliptyczne funkcje trygonometryczne są naturalnym rozszerzeniem
pojęcia funkcji trygonometrycznych. Ich wzajemna zależność może być
wykorzystana w wielu zagadnieniach analizy harmonicznej oraz obliczeniach
związanych z geometrią elipsoidy – geodezja, kartografia, nawigacja,
mechanika ciał sztywnych i innych. W tym wypadku ruch punktu materialnego
jest interpretowany geometrycznie jako ruch okresowy ze zmiennym
położeniem środka obrotu – pomiędzy ogniskami elipsy trygonometrycznej.
13
Można przeprowadzić analizę szczególnych przypadków eliptycznych
funkcji trygonometrycznych w funkcji stosunku wzajemnego małej i dużej
półosi elipsy trygonometrycznej. Otrzymamy w ten sposób rodzinę tych
funkcji dla różnych parametrów elipsy trygonometrycznej.
LITERATURA
1. Bronsztej I.N., Siemiendiajew K.A., Musiol G., Mühling H., Nowoczesne kompendium
matematyki, PWN, Warszawa 2004.
2. Harris J.H., Stocker H., Handbook of Mathematics and Computational Science,
Springer, New York 1998.
ELLIPTIC TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
(Summary)
This article presents generalization of trigonometric functions of a single trigonometric circle for any
ellipse. In this way elliptic trigonometric functions have been obtained where an area of elliptical
sector corresponding to a given angle is the independent variable. The formalism applied was similar
to that used in defining hyperbolic functions. In this approach classical trigonometric functions are
examples of elliptic trigonometric functions which further can be interpreted as harmonic functions
fulfilling specified conditions imposed on amplitudes and frequencies and their relations. When
changing these parameters, different harmonic functions can be obtained.
14