1. Zagadnienia teoretyczne. 1.1. Ciąg geometryczny.
Transkrypt
1. Zagadnienia teoretyczne. 1.1. Ciąg geometryczny.
Zajęcia nr 53 (LM4). – Ciąg geometryczny. Robert Malenkowski 1. Zagadnienia teoretyczne. 1.1. Ciąg geometryczny. Definicja Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy o co najmniej trzech wyrazach, w którym każdy wyraz, oprócz pierwszego, powstaje w wyniku pomnożenia wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q nazywaną ilorazem ciągu. Wówczas, jeśli (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q, to dla każdej liczby naturalnej n 0 zachodzi równość an 1 a n q . Łatwo zauważyć, że znak ilorazu oraz jego wartość mają wpływ na monotoniczność ciągu: q 0 ciąg naprzemienny (nie można określić monotoniczności) q 0,1 ciąg jest rosnący jeżeli ma wyrazy ujemne, jeżeli jest dodatni to oczywiście malejący. q 1 ciąg rosnący gdy dodatni, jeżeli ujemny to malejący. q 1 ciąg stały Należy pamiętać, że powyższa równość po małej modyfikacji jest często wykorzystywana w zadaniach np. do sprawdzania czy ciąg jest geometryczny, a także jest wykorzystywana do sformułowania własności ciągu geometrycznego: Jeżeli ciąg jest geometryczny to każde dwa sąsiadujące ze sobą wyrazy ciągu mają stały iloraz, czyli: q an 1 dla dowolnego n. an Z tej równości wynika własność: Zajęcia nr 53 (LM4). – Ciąg geometryczny. Robert Malenkowski an 1 a n an an 1 czyli an 2 an1 an1 Twierdzenie Wzór ogólny ciągu geometrycznego a n o wyrazie pierwszym a1 i ilorazie q n 1 ma postać an a1 q . Wzór ten powstaje w następujący sposób: a2 a1 q a3 a2 q a1 q q a1 q 2 a4 a3 q a1 q 2 q a1 q 3 a5 a4 q a1 q 3 q a1 q 4 an an 1 q a1 q n 2 q a1 q n 1 Zadanie 1 Znajdź wzór ogólny rosnącego ciągu geometrycznego a2 2, a6 32 . Rozwiązanie n 1 Wzór ogólny ma postać an a1 q . an mając dane: Zajęcia nr 53 (LM4). – Ciąg geometryczny. Robert Malenkowski Aby go utworzyć potrzebujemy a1 i q . Są to dwie niewiadome i dlatego mamy dane wartości dwóch wyrazów ciągu. Tworzymy więc dwa równania, aby znaleźć te dwie niewiadome a1 i q . a 2 2 a6 32 a1 q 2 5 a1 q 32 a1 q 2 5 a1 q 32 a1 q 2 4 a1 q q 32 a1 q 2 a1 q 2 a1 q 2 stąd lub 4 q 2 q 2 2 q 32 ostatecznie mamy: a1 1 a1 1 lub drugie rozwiązanie generuje ciąg naprzemienny więc q 2 q 2 a1 1 zgodnie z treścią zadania odrzucamy je i przyjmujemy jedynie: . q 2 Mając a1 oraz q i teraz można już napisać wzór ogólny ciągu: an a1 q n 1 1 2 n 2 n n Odp: Szukany wzór to an 2 . Zajęcia nr 53 (LM4). – Ciąg geometryczny. Robert Malenkowski Zadania do samodzielnego rozwiązania: 1. Ciągiem geometrycznym an jest ciąg, którego kolejnymi wyrazami są liczby: 1 a. 2,1,2 b. log 5 5,5,8 c. 3,6,12 5 d. log 2 4, log 2 2 ,8 2. Jakie liczby należy wstawić między 3 i 24 , aby wraz z danymi liczbami tworzyły ciąg geometryczny a. b. c. d. 11 i 19 10 i 17 6 i 12 6 i 18 3. Liczby log 3 9,2 log 2 8,6 log 1 27 są kolejnymi początkowymi wyrazami 3 ciągu arytmetycznego a n . Iloraz q jest równy: a. b. c. d. –3 –1 2 3 n 4. Ciąg arytmetyczny a n jest określony wzorem an 2 3 . Iloraz q tego ciągu jest równy: a. 6 b. 3 c. 1 d. 3 5. Trzy kolejne liczby x 2, x 2,3 x 2 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, jeżeli: a. x=0 lub x=2 Zajęcia nr 53 (LM4). – Ciąg geometryczny. Robert Malenkowski b. x=0 lub x=6 c. x=0 lub x=5 d. x=2 lub x=6