Wyświetl jako plik PDF

Rachunek
prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć
szansę zaistnienia pewnego określonego zdarzenia.
Przykładowo: jaka jest szansa, że dzisiaj jest niedziela?
Mamy 7 możliwości (bo jest 7 dni tygodnia).
Niedziela to jedna z 7 możliwości, zatem jej
prawdopodobieństwo wynosi 1 do 7.
Rachunek prawdopodobieństwa bazuje na
kombinatoryce.
Aby obliczyć szansę dowolnego zdarzenia (nazwijmy go
literką A), musimy określić liczbę zdarzeń sprzyjających
oraz ile liczbę wszystkich możliwych zdarzeń. Do tego
momentu stosujemy jedynie kombinatorykę. Następnie
do obliczenia prawdopodobieństwa korzystamy z
jednego wzoru:
gdzie:
- liczba zdarzeń sprzyjających (moc zbioru A)
- liczba wszystkich możliwych zdarzeń (moc zbioru Ω)
Pojęcia stosowane w rachunku prawdopodobieństwa:

Doświadczenie losowe - czynność którą
wykonujemy,
np.: rzut kostką, wybór dnia tygodnia.

Zdarzenie elementarne - zdarzenie (tylko 1) jakie
może wydarzyć się w doświadczeniu losowym, np.:
wypadło 5 oczek, wybrano środę.

Zdarzenie losowe - zbiór jednego lub kilku zdarzeń
elementarnych, np.: wypadła parzysta liczba oczek
(2, 4, lub 6), wybrano dzień powszedni.

Moc zbioru - liczba elementów danego zbioru, np.:
|{2, 4, 6}| = 3, |{dnie powszednie}| = 5.
Stosowane oznaczenia:
Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
doświadczenia losowego, np.: dla rzutu kostką Ω =
{1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A - zdarzenie losowe (podzbiór Ω), np.: Jeżeli A zdarzenie polegające na tym, że wypadła parzysta
liczba oczek, to: A= {2, 4, 6}.


Przykład: oblicz prawdopodobieństwo, że w rzucie
kostką wypadnie liczba oczek mniejsza od 5.
Rozwiązanie:
Zdarzeniem losowym w tym zadaniu jest rzut kostką.
Wprowadźmy następujące oznaczenia:
Ω - zbiór wszystkich możliwych wyników. Zatem Ω = {1,
2, 3, 4, 5, 6}.
A - wypadła liczba oczek mniejsza od 5. Zatem A = {1, 2,
3, 4}.
Zdarzenie A jest oczywiście naszym zdarzeniem
losowym. Obliczmy teraz moc zbioru A oraz zbioru Ω:
|A| = 4 (bo w skład zbioru A wchodzą 4 zdarzenia
elementarne)
|Ω| = 6 (bo tyle jest wszystkich możliwych zdarzeń
elementarnych, czyli wyników rzutu kostką)
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia A jest
następujące:
Zapamiętaj
Do rozwiązywania zadań z rachunku
prawdopodobieństwa nie trzeba znać pojęć typu:
zdarzenie elementarne, zdarzenie losowe, itp.
Aby obliczyć prawdopodobieństwo dowolnego
zdarzenia, należy wyznaczyć liczbę zdarzeń
sprzyjających oraz liczbę wszystkich możliwych zdarzeń,
a następnie podzielić mniejszą wartość przez większą.
Najważniejsze wzory:
1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Niech Ω będzie skończonym wzorem wszystkich
zdarzeń elementarnych. Jeżeli zajście każdego
zdarzenia elementarnego jest jednakowo
prawdopodobne,
to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A ⊂ Ω jest
równe
gdzie |A| oznacza liczbę elementów zbioru A, zaś |Ω|liczbę elementów zbioru Ω.
2. Własności prawdopodobieństwa
0≤ P (A) ≤ 1
dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω
P (Ω) = 1
Ω - zdarzenie pewne
P (Ø) = 0
Ø - zdarzenie niemożliwe (pusty zbiór Ω)
P (A) ≤ P (B) gdy A ⊂ B ⊂ Ω
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B), dla dowolnych
zdarzeń A, B ⊂ Ω,
zatem P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B), dla dowolnych zdarzeń
A, B ⊂ Ω.
3. Zdarzenia niezależne
Zdarzenia A ⊂ Ω, B ⊂ Ω są niezależne, gdy
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
4. Prawdopodobieństwo warunkowe
Niech A, B ⊂ Ω będą zdarzeniami, przy czym P (B) > 0.
Prawdopodobieństwem warunkowym P (A | B) zajścia
zdarzenia A pod warunkiem, ze zaszło zdarzenie B,
nazywamy liczbę:
5. Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Jeżeli zdarzenia B1, B2, ..., B ⊂ Ω spełniają warunki:
1. Bi ∩ Bj = Ø dla 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n, i ≠ j
2. B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn = Ω,
3. P (Bi) > 0 dla 1 ≤ i ≤ n
to dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω zachodzi równość:
P (A) = P (A | B1) · P (B1) + P (A | B2) · P (B2) + ... + P
(A | Bn)· P (Bn)
6. Schemat Bernoulliego
Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k sukcesów
w schemacie n prób Bernoulliego wyraża się wzorem :
gdzie:
p- prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie,
q- prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie.