Wykład 4
Transkrypt
Wykład 4
Wykład 4 Symetria punktowa 1. Macierze przekształceń 2. Iloczyn i grupa przekształceń 3. Grupa symetrii punktowej – klasy symetrii 4. Nomenklatura grup symetrii punktowej (klas symetrii) 5. Klasy symetrii a układy krystalograficzne 6. Podgrupy i super grupy symetrii Symbole elementów symetrii występujących w sieci przestrzennej Element symetrii Oś jednokrotna- identyczność (obrót o 360o) Oś jednokrotna inwersyjna (obrót o 360o i inwersja) Oś dwukrotna (obrót o 180o) Oś dwukrotna inwersyjna – płaszczyzna zwierciadlana (obrót o 180o i inwersja) Oś trójkrotna (obrót o 120o) Oś trójkrotna inwersyjna (obrót o 120o i inwersja) Oś czterokrotna (obrót o 90o) Oś czterokrotna inwersyjna (obrót o 90o i inwersja) Oś sześciokrotna (obrót o 60o) Oś sześciokrotna inwersyjna (obrót o 60o i inwersja) Symbol Kreutza – Hermanna Schoenfliesa graficzny: Zaremby Mauguina ◦ L1= E C1 1 C i 1 L2z C2 2 Py Cs m L3z ,L3111 C3 3 A3 S3 3 L4z C4 4 A4z S4 4 L6z C6 6 A6z S6 6 Macierze przekształceń x` = a11x + a12y + a13z y` = a21x + a22y + a23z z` = a31x + a32y + a33z x` y` z` = a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 x · y z gdzie: x ,y, z – współrzędne wyjściowe punktu P; x`, y` ,z` - współrzędne punktu P po przekształceniu (czyli punktu P`). Odbicie względem płaszczyzny symetrii y x z = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 dla m(100) -1 0 0 0 1 0 0 0 1 dla m(010) 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 · x’ y’ z’ Macierzowe reprezentacje różnie położonych płaszczyzn symetrii Płaszczyzna Macierz Płaszczyzna Macierz Płaszczyzna symetrii symetrii symetrii m(100) m(110) m(101) -1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 -1 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 -1 0 1 0 -1 0 0 m(010) m(110) m(101) 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 m(001) m(011) m(011) Macierz 1 0 0 0 0 1 0 0 -1 1 0 0 0 0 -1 0 -1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 Obrót dla kierunku [001] x = rcos y = rsin z=z x` = rcos(+) y` = rsin(+) z` = z x` = rcoscos- rsinsin y` = rcossin+ rsincos z` = z x` = cos·x + (-sin)·y + 0 y` = sin·x + cos·y + 0 z` = 0 + 0 +z [100] 1 0 0 0 cos -sin 0 sin cos [010] cos 0 sin 0 1 0 -sin 0 cos cos -sin 0 sin cos 0 0 0 1 Macierzowe reprezentacje wybranych właściwych osi symetrii Oś symetrii 2[100] 2[110] 2[110] 4[100] 3[001] 3[111] Macierz 1 0 0 0 0 -1 0 0 -1 0 1 0 0 -1 0 1 0 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 -1 0 0 -1 0 -1 0 -½ -3/2 0 -3/2 -½ 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 -1 1 0 0 Oś symetrii 2[010]) 2[101] 2[101] 4[010] 3[111] 3[111] Macierz -1 0 0 0 0 1 0 0 -1 0 0 1 0 -1 0 1 0 0 0 0 -1 0 -1 0 -1 0 0 0 0 1 0 1 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 -1 0 Oś symetrii 2[001] 2[011] 2[011] 4[001] 3[111] 6001] Macierz -1 0 0 0 -1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 1 0 1 0 -1 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 1 -1 0 0 ½ 3/2 0 -3/2 ½ 0 0 0 1 Sprawdzenie ortogonalności macierzy a112 + a122 + a132 = 1 a212 + a222 + a232 = 1 a312 + a322 + a332 = 1 a11a21 + a12a22 + a13a23 = 0 a21a31 + a22a32 + a23a33 = 0 a11a31+ a12a32 + a13a33 = 0 k=3 aik ajk = k=1 1 ij jeżeli i = j dla ij = 0 jeżeli i j Grupa operacji symetrii 1. Istnieje operacja „•”, która parze elementów a • b przyporządkowuje element c zwany iloczynem. Operacja ta nie musi oznaczać zwykłego mnożenia algebraicznego, gdyż niekoniecznie a • b = b • a ale musi być spełniony warunek łączności czyli: a • (b • c) = (a • b) • c. Warunek ten spełnia każdy iloczyn dwóch dowolnych zamkniętych operacji symetrii. 2. Iloczyn dowolnej pary elementów grupy jest również elementem tej grupy, czyli iloczyn dwóch operacji symetrii jest również operacją symetrii. 3. Grupa jako zbiór zawiera element jednostkowy I, który pozostawia mnożony czynnik niezmieniony: a • E = E • a = a. Element jednostkowy nazywamy identycznością, w przypadku operacji symetrii operacją identyczności jest obrót właściwy o 360o. 4. Dla każdego elementu grupy „a” musi istnieć element odwrotny „x” taki, że a • x = x • a = E, taki element odwrotny zapisujemy jako x = a-1 , gdyż zawsze a • a-1 = E. Przykładem operacji odwrotnej do odbicia zwierciadlanego jest ponownie odbicie zwierciadlane, natomiast odwrotnością inwersji jest w analogiczny sposób inwersja. Grupy obrotowe (osiowe) L2x L2y L3xL2y L3111L3111 L4zL2y L6zL2y L4zL4y Grupy główne (centrosymetryczne) Podgrupy - osie i płaszczyznami symetrii L2zPy A4zA4y L3zPy A4zL2y L4zPy L6zPy L3zPz L3zL2yPz Głowne grupy symetrii C1v D1h C2v C3v D2h C4v D3h Td D4h Oh C5v C6v D5h C6h Ih Symetria molekuł C1 Cs C2 C2v C3 C3v C∞v C2h C4v D ∞h C3h D2h Symetria molekuł C3h D4h D2d D5h D3d Td D6h D4d Oh D5d Ih Sposoby tworzenia symboli grupy punktowej w symbolice międzynarodowej Układ krystalograficzny trójskośny jednoskośny ortorombowy heksagonalny tetragonalny regularny I pozycja II pozycja III pozycja 1; 1 2║Y albo mY, albo 2║ i mY 2║X albo mX - - 2║Y albo mY 6, 6, 3, ║Z albo 6, 3 ║Z i mZ 2║X lub Y albo mX lub Y 4,4 ║Z albo 4║Z i mZ 4,4, 2║ X, Y lub Z albo mX, Y, Z 2IIX lub Y albo mX lub Y 3║ [111] 3║ [111] 2║Z albo mZ 2 ║ dwusiecznej kąta między np.XY- albo mdwusiecznej kąta między np.XY2║ [110] lub 2[110] 2║ [110] albo m[110] Symbole krystalograficznych grup symetrii punktowej Grupy obrotowe Grupy główne (centrosymetryczne) Podgrupy pierwsza druga M Sch K-Z M Sch K-Z M Sch K-Z M Sch K-Z 1 C1 L1 1 Ci C 2 C2 L2 y 2/m C2h L2 y C m Cs Py 3 C3 L3 z 3 C3i L3 z C 4 C4 L4 z 4/m C4h L4 z C 4 S4 A4 z 6 C6 L6 z 6/m C6h L6 z C 6 C3h L3 z Pz 222 D2 L2 z L2y mmm D2h L2 z L2y C mm C2v L2 z Py 322 D3 L3 z L2y 3m D3d L3 z L2y C 3m C3v L3 z Py 422 D4 L4 z L2y 4/mmm D4h L4 z L2y C 42m D2d A4 z L2y 4mm C4v L4 z Py 622 D6 L6 z L2y 6/mmm D6h L6 z L2y C 6mm C6v L6 z Py 3m D3d L3 z L2y Pz 23 T L3 1 L3 2 m3 Th L3 1 L3 2 C 43 O L4 z L4y m3m Oh L4 z L4y C 43m Td A4 z A4y Podział klas symetrii na układy krystalograficzne Parametry sieciowe Układ Nr Klasy symetrii 1 L1, C ao, bo, c o, , , trójskośny 2 L2y, L2yC, Py ==90o ao, bo, c o, jednoskośny 3 L2zL2y, L2zL2y, L2zPy ===90o ao, bo, c o ortorombowy 4 L4z, L4zC, A4z, L4zL2y, ===90o ao, co tetragonalny L4zL2yC, L4zPy, A4zL2y ao=bo 5 3 3 2 3 ograniczone nieograniczone ==90o 3 L z, L zC, L zPy, 3 2 L zL y, L zL yC, L3zPz, L3zL2yPz,L6z, L6zC, L6zPy, L6zL2y, L6zL2yC =120o heksagonalny ao=bo (trygonalny) --------------------- lub == ao=bo=c o 6 ao, co L31L32, L31L32, A4zA4y, ===90o L4zL4y, L4zL4yC ao=bo=c o lub romboedryczny ao regularny ao Klasy symetrii w obrębie krystalograficznego układu regularnego L4zL4yC = m3m L3111L3111C = m3 A4zA4y = 43m Układ trójskośny i jednoskośny trójskośny 1 1 jednoskośny 2 m 2/m Układ rombowy mm2 222 mmm Układ tetragonalny 4 4 4mm 4/m 422 4mm 4/mm Układ regularny 23 m3 432 43m m3m Układ heksagonalny 6 6 6/m 6/mm _ 6m2 622 6/mmm 3 3 3m 322 3m Układ Nazwa klasy symetrii 1 jednościanu (pedionalna) dwuścianu (pinakoidalna) Jednoskośny 2 m 2/m sfenoidalna daszka jednoskośnego(domatyczna) słupa (pryzmatyczna) Rombowy mm2 222 mmm Trójskośny 32 klasy symetrii oraz bryły je charakteryzujące Symbol Tetragonalny Regularny Heksagonalny 1 4 4 4/m 42m 4mm 422 4/m mm 23 m3 43m 432 m3m 3 3 3m 322 3m 6 6 6m2 6/m 6mm 622 6/m mm piramidy rombowej czworościanu rombowego(bisfenoidu) podwójnej piramidy(bipiramidy) rombowej piramidy tetragonalnej czworościanu tetragonalnego podwójnej piramidy tetragonalnej skalenoedru tetragonalnego piramidy tetragonalnej trapezoedru tetragonalnego podwójnej piramidy dytetragonalnej 12-ścianu tetraedryczno-pentagonalnego(tritetraedru) 12-ścianupentagonalnego podwójnego(didodekaedru) czworościanu poszóstnego(heksatetraedru) 24-ścianu pentagonalnego(trioktaedru) 48-ścianu (heksaoktaedru) piramidy trygonalnej romboedru piramidy dytrygonalnej trapezoedru trygonalnego skalenoedru trygonalnego piramidy heksagonalnej podwójnej piramidy trygonalnej podwójnej piramidydytrygonalnej podwójnej piramidy heksagonalnej piramidy dyheksagonalnej trapezoedru heksagonalnego podwójnej piramidy dyheksagonalnej Grupa holoedryczna Klasa symetrii, o możliwie najwyższej symetrii w danym układzie krystalograficznym, nazywamy klasą (grupą punktową) holoedryczną. Możemy stwierdzić, że każda grupa holoedryczna jest super grupą dla wszystkich pozostałych grup symetrii punktowej danego układu krystalograficznego. Podgrupy grup punktowych z układu regularnego, tetragonalnego, ortorombowego, jednoskośnego oraz trójskośnego Podgrupy grup punktowych z układu heksagonalnego Ilość Grupa podgr. punkt. 19 6/mmm Podgrupy 1 1 2 m + + + + 2/ m 222 + + mm2 mmm + + 3 3 32 3m 3m 6 6 6/ m 622 + + + + + + + + + + + 8 6m2 + + + + + 7 6mm + + + + + 6 622 + + 9 6/m + 3 6 + 3 6 + 9 3m + 3 3m + 3 32 + 3 3 + 1 3 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 6mm 6m2 + +