Algorytm Manachera.

Algorytm Manachera.
Mamy pewne słowo s[1…n] gdzie chcemy dla każdego i takie że [1…n] wyznaczyć
R[i], będące promieniem największego palindromu parzystego który ma środek w „i”.
Dokładniej R[i] to taka największa liczba , że s[i-R[i] … i+R[i]+1] jest palindromem
parzystej długości.
Algorytm działa tak , wyliczamy pierwszą wartość funkcji R, a potem w czasie stałym
znajdujemy wartości dla R[i+k] dla R{i] <= k <= R[i+k], czyli takie które mieszą się pod
tzw. „parasolem” palindromu o promieniu R[i].
Wykorzystujemy nizwykła obserwację: jeżeli k jest takie, jak wyżej zostało opisane
i R[i-k] ≠ R[i]-k, to R[i+k] = min(R[i-k], R[i]-k).
Skąd to się w ogóle bierze? Pomyślała większość czytelników.
Ano dowód nie jest zbyt przyjemy nawet jeżeli użyje obrazków , osobą którym nie jest
to do szczęścia potrzebne mogą go pominąć tak czy siak , poniżej wykonam
zobrazowany dowód. 
Mamy dwa przypadki !
1)R[i-k] < R[i]-k, to oznacza że cały palindrom z pozycji R[i-k] znajduję się pod
„parasolem” palindromu R[i], dzięki właściwością palindromu R[i] , możemy
powiedzieć że to przenosi się na pozycje R[i+k]. Dosyć teorii czas na obrazek !
Niebieski R[i-k]
Czerwony R[i]
Zielony R[i+k]
Wszystko jasne , jedziemy dalej ;)
2)Jeżeli R[i-k] > R[i]-k, to z kolei palindromR[i-k] wystaje poza daszek
palindromu R[i]. Ponownie wykorzystując właściwości palindromu R[i], mamy
,że R[i+k] ≥ R[i]-k.
Jednakże uwaga! Czemu to nie może być większe ?
Otóż wiemy że litera s[i-R[i-k]-1] jest różna od litery s[i+R[i]+k], wiemy ta stąd iż
jeżeliby były to cały palindrom by się powiększył !
Innymi słowy daszek z pozycji R[i]-k nie da się rozszerzyć czyli R[i+k]=R[i]-k.
To kończy dowód , kilka rzeczy w tym dowodzie uznałem za intuicyjne , jednakże mam
nadzieję , że udało mi się wszystko w miarę możliwości wytłumaczyć 
Jako zabawę na zrozumienie tego algorytmu polecam przerobić go tak aby działał
dla palindromów Nieparzystych !
Emil Hotkowski