pomysły 27 iii 2009

K.L. 27 iii 2009.
Wersja wstępna. Uwaga:
Może ulec rozbudowie i innym modyfikacjom
Instruktaż: Należy wybrać sobie projekt inny niż pozostali w grupie. Można też modyfikować
podane zagadnienia wg własnego uznania. Dopuszcza się (dwuosobowe) zespoły - ocena projektu
będzie brała również pod uwagę rozległość wykonanych prac w stosunku do liczebności uczestników
projektu. Sposób prezentacji ma wpływ na ocenę (nie wystarczy tylko „zaprogramować coś bez
ładu i składu”). W szczególności wszelkiego typu tabele, wykresy, animacje są mile widziane, jeśli
dobrze ilustrują problem.
Sugerowane pakiety: Maple, Maxima; inne: po uzgodnieniu z prowadzącym przedmiot.
Czas prezentacji wykonanego projektu podczas zajęć: ok.15 min.
Nie ma ustalonego szablonu jak powinno wyglądać wykonanie projektu – to twórczy wkład
studenta. Z pewnością wypada jednak naświetlić wstępnie rozwiązywany z komputerem problem;
można tu użyć slajdów. Zainspirować powinna cytowana niżej literatura (warto też odwiedzić
bibliotekę celem własnych poszukiwań: może coś się znajdzie np. w czasopiśmie Delta?).
Literatura
[Modeling1]
A.B. Shiflet, G.W.Shiflet, Introduction to Computational Science. Modeling and
Simulation for the Sciences, Princeton University Press, Princeton – Oxford 2006
[Projects]
R.E. Crandall, Projects in Scientific Computation, Springer-Verlag, New York –
Berlin 1993
[Modeling2]
R.H. Landau, A first Course in Scientific Computing. Symbolic, Graphic, and Numeric Modeling Using Maple..., Princeton University Press, Princeton – Oxford
2005
[Programming] D. Betounes, M. Redfern, Mathematical Computing. An Introduction to Programming Using Maple, Springer-Verlag, New York – Berlin 2002
[ODE1]
B. Przeradzki, Teoria i praktyka równań różniczkowych zwyczajnych, Wyd.U.Ł.,
Łódź 2003
[ODE2]
J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo – Maple,
Wyd.U.J., Kraków 1999
[ODE3]
A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne : teoria i metody numeryczne z
wykorzystaniem komputerowego systemu obliczeń symbolicznych, WNT, Warszawa
2004
[Chaos]
K.T. Alligood, T.D. Sauer, J.A. Yorke, Chaos: An Introduction to Dynamical
Systems, Springer-Verlag, New York – Berlin 1996
1
Projekt 1. [Projects]: Project 2.3.1.3 p.81-82, Project 6.1.1-2 p.232-234; [Chaos]; [ODE1]; [ODE2];
[Modeling1]: Module 3.3 Project 7 p.95.
Oznaczmy: P – wielkość populacji, r – współczynnik reprodukcji netto (bez uwzględniania
śmierci i ograniczoności środowiska), M – pojemność środowiska. Wówczas dynamikę wielkości
populacji P (t) w chwili t oddaje równanie logistyczne (lub Riccatiego) – tzw. model Verhulsta:
P
dP
=r· 1−
dt
M
· P.
(a) W 1976 r. oszacowano, że dla finwali Antarktycznych: P (1976) = 70 000, r = 0, 08, M =
400 000. Wymodelować populację. Zmodyfikować model uwzględniając połowy wielorybnicze
na poziomie wyrażonym procentem wartości rM . Znaleźć różne poziomy odłowów prowadzące
do wyginięcia populacji i prowadzące do podtrzymania jej stałej liczebności w długim okresie.
(b) Przedyskutować tworzenie się chaosu po dyskretyzacji równania różniczkowego (prowadzącej
do logistycznego równania rekurencyjnego).
Projekt 2. [ODE3]; [ODE1]; [ODE2]; [Modeling1]: Module 7.1 Project 1-2 p.257-258.
Oznaczmy: Q(t) – masa substancji radioaktywnej w chwili t, r – stała rozpadu. Prędkość
ubywania masy wskutek rozpadu radioaktywnego jest proporcjonalna do masy, która jeszcze nie
uległa rozpadowi, co wyraża zależność
dQ
= −r Q(t).
dt
Możemy też rozważać reakcje łańcuchowe, np. substancja A rozpada się na B, która z kolei rozpada
się na C, symbolicznie A → B → C.
(a) Stworzyć system pozwalający swobodnie modelować reakcje łańcuchowe.
(b) Przeanalizować rozpad Ra226 → Rn222 → P o218 , gdzie r1 = 1, 17 · 10−6 /dzień dla Ra226 i r2 =
0, 181/dzień dla Rn222 . Kiedy radon osiąga największą masę? Przeanalizować inne rozpady,
np. Bi210 → P o210 → P b206 , gdzie r1 = 1, 37 · 10−2 /dzień dla Bi210 i r2 = 5, 1 · 10−3 /dzień dla
P o210 , masa początkowa Bi210 = 10−8 g. Zwrócić uwagę na zjawisko równowagi w sytuacji,
gdy r1 r2 .
Projekt 3.
[Programming] Project 9.3 p.365-381; [Projects] Project 1.3.2 p.47-49; [Modeling1]:
Module 9.3 Project 5-6 p.373.
Jak wiadomo aby oszacować pole pewnej figury zawartej w kwadracie na płaszczyźnie wystarczy
rzucić losowo kilkadziesiąt tysięcy ziarenek maku na kwadrat i zliczyć jaki procent spadł na obszar
wyznaczony przez figurę: pole figury do pola kwadratu będzie się miało jak liczba ziarenek, które
spadły na figurę do liczby wszystkich ziarenek – taka jest istota metody Monte Carlo (pomysłu
Ulama i von Neumanna).
(a) Zaprojektować system obliczający metodą Monte Carlo całki
oznaczone
(jedno- i wielowymi
R3
R 2π 2
sin x
arowe). W szczególności wyznaczyć 2 sin(x ) dx i 0
1−x
dx.
(b) Porównać wyniki z wybraną metodą numeryczną (np. Simpsona).
(c) „Okiełznać”przypadek tzw. całek oscylacyjnych.
2
Projekt 4. [Modeling2] 4.9.5 p.82-84; [Projects] Project 2.4.1.3 p.97-99.
Omówić zagadnienie pól wektorowych na przykładzie pola elektrycznego. W szczególności podjąć temat dipola:
(~r − r~1 )
(~r − r~2 )
E=
+
.
|~r − r~1 |2 |~r − r~2 |2
(Np. zilustrować powierzchnie ekwipotencjalne).
Projekt 5. Dla dowolnie zadanego układu wierzchołków czworościanu wyznaczyć punkt przecięcia
się wysokości. Sytuację zilustrować graficznie (najlepiej z możliwością animacji).
Projekt 6. Stworzyć program w pełni rozwiązujący zagadnienie PL (programowania liniowego)
dla dwóch zmiennych nieujemnych. Oprócz znalezienia wszystkich rozwiązań (wystarczą optymalne
wierzchołki) pokazać graficznie obszar decyzyjny i funkcję celu. Do prezentacji użyć ciekawego zadania z treścią.
Projekt 7. Opracować dobrą procedurę rozwiązywania w dziedzinie rzeczywistej równania czwartego
stopnia (wzory Tartaglii) lub choćby trzeciego stopnia (wzory Cardano).
Uodpornić
metodę na
q √
q √
3
3
skomplikowaną postać rozwiązań w „szkolnych”przypadkach (np. 5 2 + 7 − 5 2 − 7 = 2).
Projekt 8. Opracować system dokonujący analiz statystycznych na pliku danych (bądź plikach
danych w przypadku analiz porównawczych) i raportujący wyniki w nowym pliku. Zilustrować
działanie systemu na przykładzie zastosowania w medycynie, biologii, fizyce, psychologii, socjologii
lub ekonomii.
3