zestaw 12

ZESTAW 12
Wstęp do fizyki kwantowej i statystycznej
21 grudnia 2016
Kontakt: Radosław Strzałka, pok. 315/D10, mail: [email protected]
Zestawy dostępne pod adresem: http://galaxy.agh.edu.pl/~strzalka/#dydaktyka#fkis_ft
Tematyka: Statystyka spinu i układu spinów (bez temperatury), entropia (marko- i mikroskopowo).
12.1. Parametry rozkładu dwumiennego
Proszę wykazać dla rozkładu dwumianowego, na podstawie definicji, że wartość średnia wynosi n = N p,
a wariancja (∆n)2 = N pq.
12.2. Statystyka momentu magnetycznego pojedynczego spinu i układu nieoddziałujących spinów [Reif 2.9. i 2.14.]
Moment magnetyczny cząstki o spinie 1/2 jest taki, że prawdopodobieństwo, iż jego składowa µ w kierunku
do góry jest równa µ0 wynosi p, a prawdopodobieństwo, iż składowa ta jest równa −µ0 wynosi q = 1 − p.
Obliczyć:
a) średni moment magnetyczny jednej cząstki, µ;
q
b) wariancję (∆µ)2 i odchylenie standardowe (∆µ)2 momentu magnetycznego pojedynczej cząstki;
c) średni moment magnetyczny układu N identycznych i nieoddziałujących ze sobą cząstek, M ;
q
d ) wariancję (∆M )2 i odchylenie standardowe (∆M )2 dla układu N cząstek;
2
e) średnią
qilość cząstek z momentami skierowanymi do góry, n, wariancję (∆n) i odchylenie standardowe (∆n)2 liczby cząstek z momentami skierowanymi do góry.
12.3. Gaz nieoddziałujących cząstek, równanie stanu [Reif 3.6.]
W prostopadłościennym pudle o bokach Lx , Ly , Lz zamknięty jest gaz nieoddziałujących cząstek kwantowych o masie m.
a) Obliczyć energię gazu i na tej podstawie znaleźć średnią siłę i ciśnienie wywierane przez cząstki
na ścianki naczynia. Wskazówka. Korzystając z rozwiązania r. Schrödingera dla cząstki w studni
potencjału znaleźć poziomy energetyczne cząstki, a siłę obliczyć jako F~ = −∇E.
b) Wyprowadzić związek średniego ciśnienia z energią dla gazu fermionów.
c) Korzystając z zasady ekwipartycji energii wyprowadzić równanie Clapeyrona stanu gazu fermionów.
d ) W analogiczny sposób pokazać związek ciśnienia z energią dla gazu fotonowego (bozony).
e) [Reif 3.7. i 3.8.] Na podstawie wyniku z punktu a) obliczyć całkowitą liczbę stanów kwantowych φ(E)
cząstki w pudle o energiach mniejszych od E, oraz gęstość liczby Ω(E) stanów cząstki w przedziale
(E, E +dE). Ile będą wynosiły te liczby dla układu N cząstek nieoddziałujących ze sobą zamkniętych
w pudle?
12.4. Mikroskopowa definicja entropii
Entropię danego układu definiujemy mikroskopowo jako S = k ln Ω oraz makroskopowo jako dS =
dQ
T .
a) Proszę wyjaśnić tę różnicę - tzn. dla jakich procesów stosuje się te definicje.
b) [Reif §4.1. i §4.3.] Za pomocą mikroskopowej entropii można zdefiniować temperaturę bezwzględną.
Proszę wykazać, że temperatura jest zawsze nieujemna oraz że jest zawsze rosnącą funkcją energii
układu.
c) Znaleźć entropię gazu zamkniętego w pudle (wykorzystać liczbę stanów otrzymaną w zad. 12.3. e)).
1
12.5. Entropia gazu
a) [Hennel VI.43.] Kilogram wodoru i kilogram azotu poddano identycznej przemianie izotermicznej.
W którym przypadku zmiana entropii będzie większa i ile razy?
b) [Hennel VI.42.] Dwa różne gazy doskonałe znajdują się w tym samym naczyniu po obu stronach
przegrody. Temperatury i ciśnienia obu gazów są równe. Liczba moli pierwszego gazu wynosi n1 ,
a drugiego n2 . W pewnej chwili usunięto z naczynia przegrodę i gazy zaczęły się ze sobą mieszać.
Znaleźć zmianę entropii (czyli entropię mieszania) w tym procesie.
c) [Hennel VI.44.] Oblicz minimalną wartość pracy potrzebnej na rozdzielenie jednego kilograma powietrza na azot i tlen (zakładamy 79% zawartości azotu i 21% zawartości tlenu w powietrzu). Przyjąć, że
gazy są gazami idealnymi, a proces zachodzi w stałej temp. równej 15◦ . Uwaga. Skorzystać z wyniku
zad. b) i zauważyć, że praca ma bezpośredni związek z entropią mieszania.
2