Obliczanie powierzchni płyty

Transkrypt

M. Guminiak - Analiza płyt cienkich metodą elementów brzegowych...
71
4.1. MODELE DYSKRETNE PODŁOŻA SPRĘŻYSTEGO TYPÓW: WINKLERA
I PÓŁPRZESTRZENI SPRĘŻYSTEJ
Metoda elementów brzegowych jest również wykorzystywana w rozwiązywaniu zadania płyty
spoczywającej na podłożu sprężystym Rozważa się dyskretny model podłoża typów: Winklera lub
półprzestrzeni sprężystej. Równanie deformacji podłoża można opisać następująco (Rys. 38a):
w0 (P ) =
∫ q (Q) ⋅ g (P, Q) ⋅ dΩ
0
0
(4.1)
0Q
Ω0
gdzie q0 jest odporem podłoża sprężystego, Ω 0 jest obszarem na którym działa reakcja podłoża
sprężystego oraz g0 (P, Q ) jest funkcją podatności podłoża. Dla podłoża typu Winklera przyjmuje
się:
1
δ (P, Q )
k
gdzie δ (P, Q ) jest deltą Diraca i k jest sztywnością podłoża.
g 0 (P, Q ) =
(4.2)
Dla podłoża typu półprzestrzeni sprężystej, funkcja podatności ma postać:
g 0 (P, Q ) =
1 − ν 02 1
1
⋅
= C1
rP ,Q
π E 0 rP ,Q
(4.3)
gdzie E0 jest modułem sprężystości podłoża i v0 jest współczynnikiem Poissona podłoża.
Po dyskretyzacji, podłoże typu Winklera można opisać budując diagonalną macierz podatności
o współczynnikach na głównej przekątnej równych
1
. Dla podłoża typu półprzestrzeni sprężystej
k
równanie deformacji przyjmie postać (Rys. 38b):
n
w0 n = C1 ⋅ ∑ q 0 m ⋅
m =1
∫
Ωm
1
rn ,Q
⋅ dΩ 0 m
(4.4a)
W notacji macierzowej można zapisać:
w 0 = C1 Dq 0
(4.4b)
gdzie C1D jest macierzą podatności podłoża. Dla podłoża typu półprzestrzeni sprężystej macierz
D jest pełna.
Z równania (4.4b) oblicza się odpór podłoża, który należy uwzględnić w równaniach pracy
wirtualnej (4.6) i (4.7):
q0 = K ⋅ w 0
gdzie K =
1 −1
D .
C1
(4.5)
72
x
ax
n-1
P
n
n+1
dS
dΩQ0m
m
ay
Q
y
Rys. 38a. Budowa macierzy podatności podłoża
n (xn,yn)
xn
r1
1
r2
2
r3
r4
m (xm,ym)
4
ax
ay
3
yn
Rys. 38b. Obliczanie elementów macierzy D dla podłoża typu półprzestrzeni sprężystej
Odpowiednie całki z funkcji opisanej równaniem (4.3) oblicza się analitycznie. Zamieszczono je
w załączniku Z.5.
73
4.2. CAŁKOWE SFORMUŁOWANIE ZADANIA STATYKI PŁYTY SPOCZYWAJĄCEJ
NA PODŁOŻU SPRĘŻYSTYM
Zadanie formułuje się podobnie do opisanego w podrozdziałach 2.1. i 3.1., (Rys. 39).
Pierwsza grupa sił (płyta nieograniczona)
x1
w -ugięcie
x2
Mn* -moment zginający
n
P*=1*
*
x3
ϕs*
s
-kąt obrotu
w kierunku s
s
x
Mns* -moment
y
skręcający
s
n
n
Tn* -siła poprzeczna
ϕn* -kąt obrotu
w kierunku n
Druga grupa sił (płyta rzeczywista)
Mn -moment zginający
x1
wb -ugięcie
x2
n
Ω p(y)
x3 q0 -reakcja w więzach
s
podłoża
s
ϕs -kąt obrotu
x
Mns -moment
y
w kierunku s
n
ϕn -kąt obrotu
w kierunku n
skręcający
s
w0 -
n
przemieszczenie
Tn -siła poprzeczna
więzów sprężystych
(podłoża)
x = x (x1,x2) − punkt źródłowy
y = y (x1,x2) − punkt obserwacji
Rys. 39. Wielkości występujące w brzegowych równaniach całkowych
Brzegowe równania całkowe będą miały postać:
[
]
c(x) ⋅ w(x) + ∫ Tn* (y, x) ⋅ wb (y ) − M n* (y, x) ⋅ ϕ n (y ) − M ns* (y, x) ⋅ ϕ s (y ) ⋅ dΓ(y ) =
[
Γ
]
= ∫ Tn (y ) ⋅ w (y, x) − M n (y ) ⋅ ϕ n* (y, x) − M ns (y ) ⋅ ϕ s* (y, x) ⋅ dΓ(y ) +
*
Γ
+ ∫ p(y ) ⋅ w* (y, x) ⋅ dΩ(y ) − ∫ q 0 (y ) ⋅ w* (y, x) ⋅ dΩ 0 (y )
Ω
Ω0
(4.6)
oraz
[
*
*
74
]
*
c(x) ⋅ ϕ n (x) + ∫ T n (y, x) ⋅ wb (y ) − M n (y, x) ⋅ ϕ n (y ) − M ns (y, x) ⋅ ϕ s (y ) ⋅ dΓ(y ) =
[
]
Γ
*
*
*
= ∫ Tn (y, x) ⋅ w (y, x) − M n (y ) ⋅ ϕ n (y, x) − M ns (y ) ⋅ ϕ s (y, x) ⋅ dΓ(y ) +
(4.7)
Γ
*
*
+ ∫ p(y ) ⋅ w (y, x) ⋅ dΩ(y ) − ∫ q0 (y ) ⋅ w (y, x) ⋅ dΩ 0 (y )
Ω
gdzie:
Ω0
{T (y, x), M (y, x), M
*
n
=
*
n
}=
*
*
*
*
ns (y, x), w (y, x), ϕ n (y, x), ϕ s (y, x)
.
∂
*
Tn* (y, x), M n* (y, x), M ns
(y, x), w∗ (y, x),ϕ n* (y, x),ϕ s* (y, x)
∂n(x)
{
}
4.3. BUDOWA UKŁADU RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH
Dodatkowymi niewiadomymi w zadaniu są przemieszczenia wewnętrznych punktów
kolokacji w0 . Po dyskretyzacji brzegu płyty na elementy brzegowe typu „constans” i wnętrza płyty
na elementy powierzchniowe typu „constans” układ równań przybierze formę (Rys. 40 i Rys. 41):
G X
 ∆

 G 2
G1
−I
G3
E1   X   F1 
   
0  ⋅  ϕ s  =  0 
E 2  w 0  F2 
(4.8)
Obszar płyty
k+1
n-1
sk
n
G2
nk
G3
n+1
E2
k
m
G
X
k-1
E1
G1
∆δ
i+1
d
i
si
i-1
ni
Rys. 40. Oznaczenia stosowane przy budowa macierzy charakterystycznej
75
Obszar płyty
k+1
sk
n
Ω
nk
n-1
p(y)
F2
n+1
k
F1
k-1
i+1
i
si
i-1
δ
ni
Rys. 41. Oznaczenia stosowane przy budowa wektora prawej strony
4.4. OBLICZANIE UGIĘCIA PŁYTY SPOCZYWAJĄCEJ NA PODŁOŻU SPRĘŻYSTYM
Po rozwiązaniu układu znane są odpowiednie wielkości brzegowe oraz wielkości
przemieszczeń wewnętrznych punktów kolokacji. Mając za podstawę to samo całkowe równanie
brzegowe (4.6) można obliczyć ugięcie w dowolnym punkcie obszaru płyty (punkt kolokacji
znajduje się wewnątrz obszaru płyty, współczynnik c(x) = 1 ), podobnie jak to miało miejsce
w podrozdziałach 1.4. i 2.2. Do obliczania wartości ugięcia wykorzystuje się wyprowadzone
wcześniej odpowiednie całki brzegowe, całki po powierzchni obciążenia Ω oraz całki po krzywej
dla obciążenia rozłożonego liniowo. Wzór opisujący ugięcie ulegnie nieznacznej modyfikacji
o człon związany z przemieszczeniami i reakcjami w węzłach wewnętrznych punktów kolokacji:
( )
w = w X + w(q 0 , w 0 ) + w( p )
(4.9a)
Bezpośrednio z równania pracy wirtualnej można otrzymać:
[
]
w(x) = − ∫ Tn* (y , x) ⋅ wb (y ) − M n* (y , x) ⋅ ϕ n (y ) − M ns* (y , x) ⋅ ϕ s (y ) ⋅ dΓ(y ) +
[
Γ
]
+ ∫ Tn (y ) ⋅ w* (y , x) − M n (y ) ⋅ ϕ n* (y , x) − M ns (y ) ⋅ ϕ s* (y , x) ⋅ dΓ(y ) +
Γ
+ ∫ p ( y ) ⋅ w * ( y , x ) ⋅ dΩ ( y ) − ∫ q 0 ( y ) ⋅ w * ( y , x ) ⋅ dΩ 0 ( y )
Ω
Ω0
a po dyskretyzacji elementami brzegowymi przyjmuje formę:
(4.9b)
le
le
76
le
w( x1 , x2 ) = −∑ wb( k ) ⋅ ∫ Tn∗k ⋅ dΓk + ∑ ϕ n( k ) ⋅ ∫ M n∗k ⋅ dΓk + ∑ ϕ s( k ) ⋅ ∫ M ns∗ k ⋅ dΓk +
k =1
le
k =1
Γk
le
k =1
Γk
lwe
+ ∑ Tn( k ) ⋅ ∫ wk∗ ⋅ dΓk − ∑ M n( k ) ⋅ ∫ ϕ n∗k ⋅ dΓk − ∑ q0( m ) ⋅
k =1
Γk
k =1
m =1
Γk
∫w
∗
m
Ω0 m
Γk
Lp
⋅ dΩ 0 m + ∑ pl ⋅ ∫ wl∗ dΩ l
l =1
(4.9c)
Ωl
gdzie le jest liczbą elementów brzegowych, lwe jest liczbą wewnętrznych elementów
powierzchniowych i Lp jest liczbą obciążeń ciągłych rozłożonych na powierzchni płyty.
4.5. OBLICZANIE MOMENTÓW ZGINAJĄCYCH W PŁYCIE SPOCZYWAJĄCEJ NA
PODŁOŻU SPRĘŻYSTYM
Obliczanie momentów zginających przeprowadza się za pomocą ilorazu różnicowego przy
użyciu przemieszczeń pięciu sąsiadujących ze sobą punktów (Rys. 42).
x1
w5
x2
w2
w1
w3
∆x2
w4
∆x1
Rys. 42. Budowa ilorazu różnicowego
Momenty zginające będą wówczas wyrażone wzorami:
 ∆2 w
∆2 w 
M x1 = − D 2 + v p
∆x 22 
 ∆x1
(4.10)
 ∆2 w
∆2 w 
M x1 = − D 2 + v p
∆x 22 
 ∆x1
(4.11)
∆2 w w2 − 2 w1 + w3
=
∆x12
(∆x1 )2
(4.12)
gdzie:
77
∆2 w w4 − 2 w1 + w5
=
∆x 22
(∆x2 )2
(4.13)
4.6. PRZYKŁADY OBLICZEŃ
W celu uproszczenia oznaczeń przyjęto, że oś x1 odpowiada oznaczenia osi x , a oś x 2
odpowiada osi y globalnego układu współrzędnych. Brzeg płyty dyskretyzuje się na elementy
brzegowe typu „constans” o równej długości, a powierzchnię płyty na brzegowe elementy
powierzchniowe typu „constans” o równych wymiarach, które tworzą siatke regularną.
W podrozdziale 4.6.1. analizowana jest płyta kwadratowa, mająca wszystkie krawędzie
swobodne (Rys. 43) spoczywająca na podłożu typu Winklera z uwzględnieniem więzów
jednostronnych. Obciążenie p rozłożone jest symetrycznie na powierzchni kwadratu. Zadanie
rozwiązuje się iteracyjnie, eliminując w kolejnych iteracjach punkty kolokacji wewnątrz obszaru
płyty, w których reakcja q0 przyjmuje wartość ujemną. Wyniki obliczeń porównane są
z rozwiązaniami MEB [4, 9, 32, 62].
W podrozdziale 4.6.2. przeprowadza się analizę płyty kwadratowej, mającej wszystkie
krawędzie swobodne i spoczywającej na podłożu typu półprzestrzeni sprężystej z więzami
dwustronnymi. Obciążenie w postaci siły skupionej przyłożone jest w środku płyty (Rys. 44).
Wyniki obliczeń porównane są z rozwiązaniami MEB [62].
x
p
ld
l
a
x
P
ld
l
s
s
y
Rys. 43. Płyta kwadratowa, spoczywająca
na podłożu sprężystym typu Winklera
y
Rys. 44. Płyta kwadratowa, spoczywająca
na podłożu sprężystym typu
półprzestrzeni sprężystej
78
4.6.1. Płyta kwadratowa, mająca wszystkie krawędzie swobodne, spoczywająca na podłożu
sprężystym typu Winklera, obciążona równomiernie na wycinku powierzchni
Przykład 1.
l = 400 cm, hp = 20 cm, Ep = 2.6 x 106 N/cm2, vp = 0.15, ε = δ d = 0.001 ,
a = 50 cm, k = 50 N/cm3 , p = 300 N/cm2,
liczba elementów brzegowych: 64,
liczba wewnętrznych punktów kolokacji: 256.
Ugięcie w [cm] wzdłuż przekątnej ld
-0.10
-0.05
Ugięcie w [cm]
0.00
0.05
− więzy jednostronne
0.10
− więzy dwustronne
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Odległość [s/ld]
Rys. 45. Płyta kwadratowa, spoczywająca na podłożu sprężystym typu Winklera.
Wykres ugięcia wzdłuż przekątnej ld
Tabela 4.1. Ugięcie w środku płyty
MEB - praca
Kirchhoff [32]
Kirchhoff [4]
Reissner [62]
Reissner [9]
w max [cm]
Więzy
Więzy
jednostronne
dwustronne
0.333087
0.329574
0.338520
0.333560
0.333604
0.329870
0.346120
0.341456
0.341402
0.337788
Tabela 4.2. Moment zginający w środku płyty
M max [N·cm/cm]·106, MEB - praca
Więzy jednostronne
Więzy dwustronne
0.116912
0.115320
Liczba iteracji – 3.
Przykład 2.
a = 20 cm, k = 500 N/cm3, p = 1000 N/cm2,
-0.02
-0.01
– więzy jednostronne
– więzy dwustronne
Ugięcie w [cm]
0.00
0.01
0.02
0.03
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Odległość [s/ld]
79
w max [cm]
Więzy
jednostronne
Więzy
dwustronne
MEB - praca
Kirchhoff [32]
0.030895
0.029642
0.031942
0.029947
Kirchhoff [4]
0.031344
0.029597
Reissner [62]
0.035710
0.033593
Reissner [9]
0.035083
0.033335
Więzy jednostronne
Więzy dwustronne
0.852430
0.834393
Przykład 3.
a = 20 cm, k = 500 N/cm3, p = 1000 N/cm2,
– więzy jednostronne
-0.010
-0.005
– więzy dwustronne
Ugięcie w [cm]
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
Odległość [s/ld]
0.025
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
80
81
w max [cm]
Więzy
jednostronne
Więzy
dwustronne
MEB - praca
Kirchhoff [32]
0.020518
0.020194
0.021287
0.020562
Kirchhoff [4]
0.020564
0.020206
Reissner [62]
0.024273
0.023548
Reissner [9]
0.023634
0.023296
Więzy jednostronne
Więzy dwustronne
0.933794
0.922606
4.6.2. Płyta kwadratowa, mająca wszystkie krawędzie swobodne, spoczywająca na podłożu
sprężystym typu półprzestrzeni spreżystej, obciążona siłą skupioną w środku
E0 = 3000 N/cm2, v0 = 0.3, P = 1000 N,
liczba wewnętrznych elementów powierzchniowych: 256.
Siłę P rozłożono na powierzchni kwdratu o boku, którego długość a = 1.0 cm
Rozkład ugięcia w [cm] wzdłuż przekątnej ld
Ugięcie [cm]
0
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
0,012
----- więzy
d
0,97
0,84
0,72
0,59
0,5
0,41
0,28
0,16
0,03
więzy jednostronne
[MEB - praca]
[62]
Odległość [s/ld]
Odległość [s/ld]
0
0.25
0.5
0.75
Rys. 48a. Płyta kwadratowa, spoczywająca na podłożu sprężystym typu półprzestrzeni sprężystej.
1
82
Rozkład reakcji podłoża q0 [N/cm2] wzdłuż przekątnej ld
------ więzy dwustronne
0,91
0,97
0,66
0,72
0,78
0,84
0,41
0,47
0,53
0,59
0,16
0,22
0,28
0,34
-0,2
0,03
0,09
Reakcja podłoża [N/cm2]
więzy jednostronne
0
0,2
[62]
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
Odległość [s/ld]
0
0.25
Odległość [s/ld]
0.5
0.75
Rys. 48b. Płyta kwadratowa, spoczywająca na podłożu sprężystym typu półprzestrzeni sprężystej.
Wykres reakcji podłoża wzdłuż przekątnej ld
w0 max [cm]
MEB - praca
[62] *
0.012094
0.0107
Tabela 4.8. Reakcja podłoża w środku płyty
q0 max [N/cm2]
MEB - praca
[62] *
1.509720
1.60
Mmax [N·cm/cm]·103
MEB – praca
0.281743
[62] * - wielkości odczytane z wykresu [62]
1

Obliczanie powierzchni płyty

Transkrypt

Podobne dokumenty

Podłoga panelowa

Instrukcja montażu i składowania płyt drogowych PD 200x150x15.

Biurko komputerowe nr33 - Tanpol-Meble - Warszawa

Wypadek drogowy na drodze woj. 163. W dniu 9 lipca o godz. 14.55

Karta techniczna

Flyer Ekstremalnie ciche i oszczedne plyty szynowe typu TramRF

Karta produktu - Gór-Stal

P-PACK® -700A, -900 A i - 1200A płyty, 1000°C do