1. Liczby zespolone

1. Liczby zespolone
1. Wykonać podane działania. Wskazać część rzeczywistą i urojoną wyniku.
a)
(1 − 3i ) + (4 − 5i )
[ 5 − 8i ]
b)
(1 + 2i ) − ( 3 − 6i )
[ 1 + 3 + (6 + 2 )i ]
c)
( 7 − 3i ) ⋅ ( 7 + 3i )
2 + 3i
1+ i
(1 − i ) 2 − i
(1 + i ) 2 + i
[10]
5 1
[ + i]
2 2
d)
e)
f)
g)
h)
z2
w
2 Re w
z+w
z2
w + i Re z
dla z= 5 − 2i , w=3 + 4i
dla
-‫׀׀‬-
dla
-‫׀׀‬-
[ − 1]
− 17 + 144i
]
25
6 + 3i
[
]
17
43 − 81i
[
]
10
[
2. Znaleźć liczby rzeczywiste a , b spełniające równania.
a)
b)
a (2 + 3i ) + b(5 − 2i ) = −8 + 7i
a
b
+
=1
2 − 3i 3 + 2i
[ a = 1 , b = −2 ]
[a = 2, b = 3]
3. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równania.
a)
[ 2 z + (1 + i )z = 1 − 3i ]
[ 2 − 5i ]
b)
z2 − z + 1 = 0
c)
(i − 3) z = 5 + i − z
1 − 3i 1 + 3i
,
]
2
2
− 9 − 7i
[
]
5
[
4. Obliczyć moduły podanych liczb.
a)
b)
c)
4i
[ 12i − 5 ]
7 + 29i
[4]
[13]
[6]
d)
1 + 3i
3 − 4i
[
10
]
5
5. Obliczyć argumenty podanych liczb.
a)
− 3 −i
[
7π
]
6
7π
]
4
2π
c) − 4 + 4 3i
[
]
3
6. Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb z spełniających podane warunki.
b)
2 − 2i
[
a)
b)
c)
d)
Re z = 0
Im z = −1
Re z = z
Im [ [(1 + 2i )z − 3i ] < 0 ]
[x=0]
[y=−1]
[y=0]
[y < −2x+3]
e)
i−z
[wnętrze okręgu o(0,1),r=3]
2π
6
3
7. Zapisać podane liczby w postaci trygonometrycznej i zaznaczyć je na płaszczyźnie
zespolonej.
f)
π
<3
< arg z ≤
3 +i
a)
b)
− 5
c)
− 6 + 6i
d)
− 2i
[ 2(cos
π
π
+ i sin ) ]
6
6
[ 5 (cos π + i sin π )
3π
3π
[ 6 2 (cos
+ i sin ) ]
4
4
3π
3π
[ 2(cos
+ i sin ) ]
2
2
8. Zapisać podane liczby w postaci algebraicznej.
b)
6
3 2
−i
]
2
2
[3i]
6 (cos 3000 + i sin 3000 )
a)
[
3(cos 900 + i sin 900 )
cos 2700 + i sin 2700
[−i]
5π
5π
− i sin )
[ −1− i ]
d)
2 (cos
4
4
9. Obliczyć wartości podanych wyraŜeń. Wynik podać w postaci algebraicznej.
c)
a)
(1 + i ) 7
[ 8 − 8i ]
32
b)
( 3 − i)
c)
(−2 + 2i )8
[ 231 (i 3 − 1) ]
[ 212 ]
10. Obliczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej podane pierwiastki.
a)
− 2i
b)
4
− 8 + 8 3i
c)
6
1
[ − 1 + i,1 − i ]
[ 3 + i,−1 + 3i,− 3 − i,1 − 3i ]
1
3
1
3
1
3 1
3
[ 1, +
i ,− +
i. − 1,− −
i, −
i]
2 2
2 2
2 2 2 2
11. Znaleźć pierwiastki podanych równań kwadratowych.
a)
z 2 + 2iz + 3 = 0
[ − 3i, i ]
b)
z 2 − ( 2 + i ) z − 1 + 7i = 0
[ − 1 + 2i,3 − i ]