1 12. BADANIE STABILNOŚCI UKŁADÓW JEDNOMASZYNOWYCH

1
Wyk ad 12 - Przyk ad badania stabilno ci
http://zss.ie.pwr.wroc.pl/studenci
12. BADANIE STABILNO CI UK ADÓW JEDNOMASZYNOWYCH
Generalnie, system niestabilny k"towo dla ma ych zak óce$ jest równie& niestabilny dla du&ych
zak óce$ takich jak zwarcia symetryczne. Z tych powodów najpierw bada si( równowag( statyczn" systemu,
czyli stabilno * lokaln".
a)
G
PG=8 MW
QG=0
10 kV
K
110 kV
SEE
PS= bilans
QS = bilans
T
PL=3.5 MW
QL=1.05 Mvar
b)
PT=8 MW= const
Pe = var
XT
XK
XG
EG=const
GL+jBL
ES = US
= const
c)
G
S
Z = R +jX = -1/yGS
EG=const
Pe =(EGUS/X)sin
ES = US
= const
Rys. 12.1 Schemat ideowy – a), zast(pczy – b) i ekwiwalentny – c) badanego uk adu..
Badanie równowagi dynamicznej, inaczej stabilno ci przej ciowej, przeprowadza si( najcz( ciej w celu
wyznaczenia krytycznych czasów trwania zwar*.
Badany uk ad sk ada si( z 1 generatora synchronicznego, pracuj"cego poprzez transformator 115/11 kV
na system sztywny reprezentowany przez szyny 110 kV stacji rozdzielczej.
Na rys. 12.1 pokazano schemat ideowy, zast(pczy i ekwiwalentny badanego uk adu. Generator w stanie
nieustalonym jest reprezentowany przez reaktancj( przej ciow" XG . Linia kablowa K o reaktancji XK "czy
generator z transformatorem T o reaktancji XT .
Odbiór lokalny PL+jQL jest przy "czony do szyn 10 kV transformatora T. Odbiór lokalny ujmuje w
sobie straty mocy czynnej i biernej oraz moc biern" generowan" przez linie "cz"ce ZK Victoria z szynami 10
kV R Victorii. Do systemu 110 kV jest eksportowa moc wynikaj"ca z bilansu mocy generatora, odbioru
lokalnego i strat transformatora.
W warunkach pracy normalnej generator jest modelowany jako moc w(z owa czynna i bierna o
zaplanowanych warto ciach
QG = Qplanowane
PG = Pplanowane
Napi(cie na zaciskach generatora wynika z rozp ywu mocy w uk adzie, wymuszonego przez przek adni(
transformatora w GPZ oraz moce odbiorów w(z owych
UG = funkcja(rozp ywu mocy).
Model generatora w stanach przej+ciowych
W stanach przej ciowych generator jest modelowany jako zmieniaj"ca si( moc elektryczna Pe zale&na
od k"ta wirnika
2
Wyk ad 12 - Przyk ad badania stabilno ci
http://zss.ie.pwr.wroc.pl/studenci
Pe =
E G ES
sin
X
gdzie
EG – sem. generatora,
ES =US – sztywne napi(cie na szynach systemu,
- k"t wirnika generatora,
X – ekwiwalentna reaktancja po "czenia generator - system.
Zale&nie od rodzaju regulacji wzbudzenia przyjmuje si( ró&ne warto ci reaktancji i sem generatora.
1. R(czna regulacja wzbudzenia
XG = Xd - reaktancja synchroniczna
E = EQ = const - sta a sem generatora w stanie ustalonym
2. Proporcjonalna regulacja wzbudzenia
XG = X’d
E = E’ = const – sta a warto * sem przej ciowej
3. Silna regulacja wzbudzenia
XG = 0
E = U = const – sta e napi(cie na zaciskach generatora
Optymalna praca ma ego generatora to praca ze sta ym wspó czynnikiem mocy, najlepiej równym
jedno ci. Taki generator mo&e by* traktowany jako maszyna synchroniczna wyposa&ona w proporcjonaln"
regulacj( wzbudzenia.
Macierz transferowa
Uk ad przesy owy z rys. 7.1 mo&na opisa* nast(puj"cym równaniem macierzowym b(d"cym
uogólnionym prawem Ohma
IG
IS =
0
yG
0
yG
0
yT
0
yG
0
yG + y L + yT
EG
ES
UL
gdzie
yG = -j/(XG +XK) – zespolona admitancja generatora i kabla,
yT = -j/XTG – zespolona admitancja transformatora,
yL = GL+-jBLG – zespolona admitancja odbioru.
Ogólnie w systemie elektroenergetycznym wyst(puj" w(z y generacyjne z sem E oraz w(z y odbiorcze z
napi(ciami UL, czyli
Y
I
= EE
YLE
0
YEL
YLL
E
UL
gdzie
I – wektor w(z owych pr"dów Iróde wytwórczych,
E – wektor w(z owych sem Iróde wytwórczych,
UL – wektor w(z owych napi(* odbiorów.
Pr"dy w(z owe odbiorów s" równe zeru, poniewa& odbiory w stanach przej ciowych s" zast(powane
admitancjami.
W celu wyznaczenia ekwiwalentnej reaktancji po "czenia generator-system nale&y wyeliminowa*
lokalny w(ze odbiorczy w nast(puj"cy sposób
I = YEE E + YEL UL
0 = YLE E + YLL UL
Z drugiego równania wyznaczamy UL
UL = - YLL-1 YLE E
i podstawiamy do równania pierwszego
I = YEE E + YEL UL = YEE E - YEL YLL-1 YLE E = (YEE - YEL YLL-1 YLE) E
I = YE E
gdzie
3
Wyk ad 12 - Przyk ad badania stabilno ci
http://zss.ie.pwr.wroc.pl/studenci
YE = YEE - YEL YLL-1 YLE - macierz transferowa ekwiwalentnych po "cze$ Iróde wytwórczych.
Ekwiwalentna reaktancja po01czenia generator - system
W przypadku systemu sk adaj"cego si( z generatora pracuj"cego na sztywny system struktura macierzy
transferowej jest nast(puj"ca
YE =
y EE
y ES
y SE
y SS
Macierz transferowa opisuje czwórnik pokazany na rys. 7.1c. Admitancja ga (zi "cz"cej generator z
systemem wynosi
y = - yES
Impedancja tej ga (zi wynosi zatem
ZES = -1/y = R + jX
gdzie:
X – szukana ekwiwalentna reaktancja po "czenia generator – system.
Obliczenia dla PG = 8 MW oraz QG = 0 Mvar
Dane generatora
UNG = 10.5 kV
SNG = 11 MVA x’d = 0.24
Dane kabla
ZK = (0.004 + j0.002) - impedancja pomijalnie ma a
Dane transformatora
UNT = 11 kV
SNT = 40 MVA uk = 0.11
Odbiór lokalny
QL = 1.05 Mvar
PL = 3.5 MW
Obliczanie reaktancji ekwiwalentnej X po czenia generator – system
Obliczenia stabilno ci prowadzone s" w jednostkach wzgl(dnych odniesionych do mocy znamionowej
generatora i napi(cia znamionowego sieci, czyli
Ub = UN = 10 kV
Sb = SNG = 11 MVA
Zb =
U 2b U 2N
=
S b S NG
Wyznaczanie zespolonych admitancji poszczególnych ga (zi uk adu:
Generator
X G = x 'd
2
U 2NG 1
U2 S
10.52
' U NG
= x 'd NG NG
=
x
=
0
.
24
= 0.2646
d
S NG Z b
S NG U 2N
U 2N
10 2
yG = -j 1/XG = - j 1/0.2646 = -j 3.7793
Transformator:
U 2NT S NG
S NG U 2NT
U 2NT 1
11 112
XT = uk
= uk
= uk
= 0.11
= 0.0366
S NT Z b
S NT U 2N
S NT U 2N
40 10 2
yT = -j 1/XT = - j 1/0.0366 = -j 27.3205
Odbiór:
y L = G L + jB L =
yL =
PL U 2N
S NG U 2L
j
PL
Zb
U 2L
j
QL
PL U 2N
Z
=
b
U 2L
S NG U 2L
Q L U 2N 3.5 10 2
=
S NG U 2L
11 10 2
Poszczególne podmacierze
j
j
Q L U 2N
S NG U 2L
1.05 10 2
= 0.3182
11 10 2
j0.0955
4
Wyk ad 12 - Przyk ad badania stabilno ci
http://zss.ie.pwr.wroc.pl/studenci
YEE =
yG
0
0
yT
yG
YEL =
[
yT
=
j3.7793
=
0
0
j27.3205
j3.7793
j27.3205
]
YLL = y G + y L + y T = [ j3.7793 + 0.3182
YLL-1
j0.0955
j27.3205] =[0.3182-j31.1953]
= [0.0003+j0.0321]
j3.7793
[0.0003 + j0.0321][ j3.7793 j27.3205]
j27.3205
0.0047 j0.4577
0.0337 j3.3086
=
0.0337 j3.3086
0.2439 j23.9176
dYE = YEL YLL1 YLE =
dYE = YEL YLL1 YLE
YE = YEE
dYE =
j3.7793
0
0
j27.3205
0.0047
0.0337
j0.4577
j3.3086
0.0337 j3.3086
0.2439 j23.9176
Macierz transferowa ma posta* nast(puj"c":
YE =
0.0047 j3.3216 0.0337 + j3.3086
0.0337 + j3.3086 0.2439 j3.4029
Admitancja ga ezi "cz"cej generator z systemem wynosi:
y = - yES = -0.0337 - j3.3086
Impedancja tej ga (zi wynosi:
ZES = -1/y = R + jX = 1/(-0.0337-j3.3086) = -0.0031 +j0.3022
czyli
X = 0.3022
Sem przej+ciowa generatora E'
Z rozp ywu mocy otrzymuje si( zespolone napi(cie na szynach generatora. Wynosi ono:
UG = 0.989 + j0.0162
Sem generatora wyznacza si( z nast(puj"cego wzoru
EG = UG + jXG IG
gdzie
XG = 0.2646 - reaktancja przej ciowa generatora odniesiona do napi(cia sieci
IG = (SG/UG)* = [ (PG/SNG + jQG/SNG )/UG )* - pr"d wytwarzany przez generator
IG = [ (8/11 + j0 ) / (0.989 + j0.0162) ]* = (0.7352 - j0.012)* = 0.7352 + j0.012
Po podstawieniu otrzymujemy
EG = UG + jXG IG = (0.989 + j0.0162) + j0.2646 (0.7352 + j0.012)
EG = UGa + jUGbG = 0.9922 + j0.2107
EG =
2
E G = U Ga
+ U 2Gb = 0.9922 2 + 0.2107 2 = 1.0143 - modu sem przej ciowej
K"t wirnika jest równy k"towi sem generatora
= arctg
E Gb
0.2107
= arctg
=0.2093 rad = 12 st
E Ga
0.9922
Moc elektryczna generatora wynikaj"ca z równania mocy czynnej przesy anej w uk adzie wynosi:
Pe =
E G ES
1.0143 1
sin 12 o = 0.6978
sin =
X
0.3022
PeMW = Pe SNG = 0.6978 11 = 7.7 MW
5
Wyk ad 12 - Przyk ad badania stabilno ci
http://zss.ie.pwr.wroc.pl/studenci
Otrzymana warto * jest mniejsza od warto ci dok adnej 8 MW. Jest to spowodowane wprowadzonymi
uproszczeniami do modelu systemu elektroenergetycznego. Jednak pos ugiwanie si( prostym wzorem jest
bardzo wygodne, gdy& mo&na szybko wyznaczy* graniczn" moc, której przekroczenie spowoduje utrat(
równowago statycznej, czyli stabilno ci lokalnej.
Skorygowana warto * k"ta wirnika odpowiada faktycznie wytwarzanej mocy w stanie ustalonym, czyli
PeMW = 8 MW
Pe = PeMW/SNG = 8/11 = 0.7273
= arcsin
Pe X
0.7273 0.3022
= arcsin
= 0.2184 rad = 12.5 st
1.0143 1
EG ES
Moc graniczna równowagi statycznej wynosi
Pgr =
EG ES
1.0143 1
= 3.3564
sin 90 o =
X
0.3022
PgrMW = Pgr SNG = 3,3564 11 = 36.9 MW
W tym miejscu nale&y zwróci* uwag(, &e pos u&enie si( dok adnym modelem generatora z
uwzgl(dnieniem automatycznej regulacji napi(cia oraz dok adnymi parametrami zast(pczymi sieci z
uwzgl(dnieniem rezystancji i reaktancji pod u&nych oraz poprzecznych konduktancji i susceptancji prowadzi do
wyznaczenia wi(kszej warto ci mocy granicznej od warto ci wyznaczonej metod" uproszczon". Uproszczona
metoda daje zatem bezpieczne wyniki zapobiegaj"ce zbyt optymistycznym decyzjom.
Zapas równowagi statycznej
Zapas stabilno ci lokalnej jest definiowany nast(puj"cym wzorem
kp =
Pgr
Pgr
P
100% =
36.9 8
100% = 78%
36.9
Zwykle wymaga si(, aby w w(Ile wytwórczym wspó czynnik zapasu równowagi statycznej nie by mniejszy od
20%, czyli kp > 20%.
Podobne obliczenia mo&na przeprowadzi* dla pracy generatora z indukcyjnym i pojemno ciowym
wspó czynnikiem mocy.
Tab.12.1. Moce graniczne równowagi statycznej
cosfi = 1
PG = 8 MW
QG = 0 Mvar
12.5 st
cosfi = 0.8
PG = 8 MW
QG = 6 Mvar
11 st
cosfi = -0.8
PG = 8 MW
QG = -6 Mvar
14.7 st
Pgr – moc graniczna
MW
36.9 MW
42.3 MW
31.5 MW
wspó czynnik zapasu
stabilno ci
kp=(Pgr–P)100%/Pgr
78%
81%
75%
K"t wirnika w stanie
ustalonym
RÓWNOWAGA DYNAMICZNA
Badanie równowagi dynamicznej, inaczej stabilno ci przej ciowej, przeprowadza si( najcz( ciej w celu
wyznaczenia krytycznych czasów trwania zwar*. Najpro ciej mo&na krytyczny czas trwania zwarcia 3-fazowego
wyliczy* metod" równych pól.
Przyjmuje si( nast(puj"ce za o&enia upraszczaj"ce:
1. System sprowadza si( do uk adu: generator - sie* sztywna.
2. Generator modeluje si( jako Iród o napi(cia o sem przej ciowej E’ za reaktancj" przej ciow" X d .
6
Wyk ad 12 - Przyk ad badania stabilno ci
http://zss.ie.pwr.wroc.pl/studenci
3.
4.
5.
6.
Nie uwzgl(dnia si( regulacji wzbudzenia i napi(cia, czyli E = const.
Pomija si( regulacj( pr(dko ci turbiny, czyli PT = const.
Pomija si( wspó czynnik t umienia w równaniu ruchu wirnika, czyli D = 0.
K"t wirnika jest równy k"towi sem EG = E w "czonej za reaktancj" X d =
7.
Pomija si( rezystancje oraz parametry poprzeczne linii i transformatorów.
Xq .
Ruch wirnika jest opisany nast(puj"cym równaniem ró&niczkowym:
TmS NG
& +D
= PTMW
PeMW
s
gdzie
Tm - sta a czasowa mechaniczna w s,
SNG - moc znamionowa generatora w MVA,
s = 2 f - pr(dko * obrotowa synchroniczna,
f = 50 Hz - cz(stotliwo * systemu,
= - s - przyrost pr(dko ci k"towej wirnika,
PTMW - moc mechaniczna turbiny,
PeMW - moc elektryczna generatora.
Po podzieleniu stronami przez moc bazow" równ" mocy znamionowej generatora otrzymujemy
TmS NG
& +D
= PT
Pe
s
gdzie
PT = PTMW/SNG - moc mechaniczna w jednostkach wzgl(dnych,
Pe = PeMW/SNG - moc elektryczna w jednostkach wzgl(dnych,
Poniewa& t umienie jest pomijane, to po przekszta ceniu otrzymujemy posta* równania ruchu wygodn" do
stosowania kryterium równych pól
& =
( PT
Pe )
Tm
s
Zauwa&my, &e przyrost pr(dko ci k"towej jest równy pochodnej k"ta wirnika
d
=
dt
czyli
dt =
d
wobec tego pochodna przyrostu pr(dko ci k"towej, czyli przyspieszenie k"towe wynosi
& =
d
d
=
dt
d
Równanie ruchu wirnika mo&na wi(c zapisa* w postaci
d
=
( PT
Pe ) s
d
Tm
Moc elektryczna przedstawia sob" sinusoid( pokazan" na rys. 7.1.
Pe =
E' U S
sin = Pgr sin
X
gdzie:
E’ – sem przej ciowa o sta ej warto ci,
US - sztywne napi(cie systemu,
X - reaktancja ekwiwalentna mi(dzy generatorem i sieci" sztywn",
- k"t wirnika generatora w chwili t ,
Pgr - graniczna moc przesy u wynikaj"ca z równowagi statycznej.
Obliczenia dla PG = 8 MW oraz QG = 0 Mvar
Po obliczeniu rozp ywu mocy w uk adzie przesy owym wyznacza si( warto * sem przej ciowej, która –
podobnie jak przy badaniu równowagi statycznej – wynosi
E’ = 1.01434
Po wyznaczeniu macierzy transferowej znajduje si( warto * ekwiwalentnej reaktancji po "czenia
generator system (rys. 6.1c)
7
Wyk ad 12 - Przyk ad badania stabilno ci
http://zss.ie.pwr.wroc.pl/studenci
X = 0.3022
Nast(pnie wyznacza si( k"t wirnika w stanie ustalonym przed zwarciem w chiwli t=0, kiedy moc
elektryczna jest dok adnie równa mocy turbiny Pe0=PT=8MW/SNG = 8/11 = 0.7273
E' U S
sin 0
X
PX
0.7273 0.3022
= arcsin e
= arcsin
= 0.2184 rad = 12.5 st
1.0143 1
EG ES
PT =
0
Je&eli w uk adzie wyst"pi zwarcie w pobli&u generatora, to wówczas moc elektryczna generatora
spadnie do zera
Pe = 0
Moc mechaniczna turbiny w czasie trwania zwarcia pozostaje sta a i wynosi PT, co oznacza, &e w uk adzie
wyst"pi nadwy&ka mocy mechanicznej, rys. 7.1. W rezultacie moment nap(dowy turbiny przyspiesza ruch
wirnika zgodnie z równaniem ró&niczkowym ruchu wirnika.
Kryterium równych pól: SNG = 11MVA, xdp = 0.24, PT = 8 MW, Tm = 8 s
40
MW
35
30
25
20
Pole
hamowania (-)
15
10
PT=8MW
5
0
Pole przyspieszenia (+)
0
20
0=12.5
40
st
60
80
100
120
1=113
czas zwarcia
t=0 s
140
st
160
180
gr
= 180-
0
tz = 0.36 s
Rys. 12.2. Kryterium równych pól do wyznaczania granicznego czasu trwania zwarcia
Nadwy&ka mocy mechanicznej nad elektryczn" powoduje przyspieszenie wirnika a& do czasu likwidacji zwarcia
w chwili tz przy k"cie wirnika 1 . Wirnik zaczyna teraz hamowa*.
Chwilowe zrównanie pr(dko ci k"towej wirnika generatora z pr(dko ci" synchroniczn" nast"pi przy
takim k"cie, przy którym wyst"pi zrównanie pól oznaczonych na rys. 12.8 jako pole przyspieszania (+) i pole
hamuj"ce ( ). Pole (+) odpowiada energii przyspieszaj"cej, a pole ( ) energii hamuj"cej.
W chwili zrównania si( pr(dko ci wirnika z pr(dko ci" synchroniczn" na wirnik dzia a nadwy&ka
momentu hamuj"cego generatora nad momentem nap(dowym turbiny i rozpoczyna si( ruch wsteczny wirnika.
K"t graniczny wynika z przyrównania pola (+) i pola ( ) i wynosi:
gr
=
0
Krytycznemu czasowi tz odpowiada taki k"t
maksymalnie mo&liwe pole hamuj"ce s" sobie równe.
gr
(
1
0 ) PT =
Pgr sin d
1
(
gr
1
) PT
1
, &e pole przyspieszaj"ce w czasie zwarcia i
8
Wyk ad 12 - Przyk ad badania stabilno ci
http://zss.ie.pwr.wroc.pl/studenci
gdzie:
PT = Pgrsin 0 - moc elektryczna generatora w chwili t = 0 równa mocy turbiny,
Pgr - graniczna moc generatora.
Po obliczeniu ca ki po prawej stronie wyra&enia otrzymujemy
(
1
0
)PT = Pgr ( cos
gr
+ cos
1
Po podstawieniu zale&no ci na PT
(
1
0
)Pgr sin
= Pgr ( cos
0
Po podzieleniu przez Pgr
1
sin
0
0
sin
= cos
0
gr
gr
) (
+ cos
+ cos
0
1
1
) (
1
sin
sin
0
)PT
0
0
+
1
0
)Pgr sin
sin
0
+
1
0
sin
0
Po uporz"dkowaniu
2
0
sin
0
= cos
1
cos(
0
)
czyli
cos
cos
= cos(
cos
1 =
1
0
0
) 2 0 sin 0 + sin
2 0 sin 0 + sin 0
0
W rezultacie szukana warto * k"ta wirnika wynosi
1
1
1
= arccos[ sin 0 2 0 sin 0 cos 0 ]
= arccos[ sin(0.2184) 2 0.2184 sin(0.2184) cos(0.2184)] = 1.9722 rad
= 113 st
W czasie trwania bliskiego zwarcia, gdy moc generatora maleje do zera Pe = 0, moc przyspieszaj"ca jest
sta a i równa mocy turbiny, a zatem sta e jest równie& przyspieszenie k"towe
1 && PT 0
=
Tm
s
czyli
&& =
PT
Tm
s
Zatem w dopuszczalnym czasie trwania zwarcia tz k"t zwi(ksza si( do warto ci
1
=
0
+ 0,5&&t 2z =
0
+
P 2
tz
2Tm
s T
st"d dopuszczalny czas trwania zwarcia wynosi
tz =
2(
1
0
)Tm
P
s T
tz =
2(1.9722 0.2184)8
= 0.36 s
100 0.7273
Wyznaczona w ten sposób warto * krytycznego czasu trwania zwarcia nie powinna by* przekroczona
przy likwidowaniu zwar* symetrycznych w pobli&u generatora.
Podobne obliczenia mo&na wykona* dla pozosta ych warunków pracy generatora. Wyniki oblicze$
zestawiono w Tab. 12.2.
Tab.12.2. Krytyczne czasy zwarcia 3-fazowego nie naruszaj"ce równowagi dynamicznej generatora 8 MW przy
sta ej mechanicznej Tm = 8 s
K"t wirnika w stanie
ustalonym
K"t wirnika odpowiadaj"cy
krytycznemu czasowi trwania
cosfi = 1
PG = 8 MW
QG = 0 Mvar
12.5 st
cosfi = 0.8
PG = 8 MW
QG = 6 Mvar
11 st
cosfi = -0.8
PG = 8 MW
QG = -6 Mvar
14.7 st
113 st
117 st
107 st
9
Wyk ad 12 - Przyk ad badania stabilno ci
http://zss.ie.pwr.wroc.pl/studenci
zwarcia
Krytyczny czas trwania
zwarcia
0.36 s
0.37 s
0.35 s
Na rys. 12.3 przedstawiono przebieg k"ta wirnika oraz pr(dko ci k"towej wirnika dla czasu trwania
zawarcia mniejszego od czasu krytycznego, a na rys. 12.4. – dla czasu trwania zwarcia wi(kszego od czasu
krytycznego.
S ta n p rze jsc io w y p o z w a rc iu 3-fa z o w ym
20
15
10
k"t w irnika
5
0
-5
-10
p r(d ko * k"tow a
w irnik a
-15
-20
0
0.5
1
1.5
2
2.5
czas, s
Rys. 12.3. Stan przej ciowy generatora przy czasie trwania zwarcia 0.35 s, mniejszym od krytycznego czasu
trwania zwarcia.
S ta n p rz e js c io w y p o z w arciu 3 -fa z o w ym
70
60
50
p r(d k o * k "to w a
w irn ik a
40
k "t w irnika
30
20
10
0
0
0.5
1
1 .5
2
czas, s
2 .5
Rys. 12.4. Oscylacje k"ta i pr(dko ci k"towej wirnika generatora dla czasu trwania zwarcia 0.37 s,
przekraczaj"cego krytyczny czas trwania zwarcia.