Mechanika ruchu obrotowego

Mechanika ruchu obrotowego
Fizyka I (Mechanika)
Wykład X:
• Przypomnienie, ruch po okregu
˛
• Oscylator harmoniczny, wahadło
• Ruch w jednorodnym polu elektrycznym i magnetycznym
• Prawa ruchu w układzie obracajacym
˛
sie˛
Pojecia
˛
podstawowe
Układ współrz˛ednych
Służy do określenia położenia ciała w danym układzie odniesienia
Położenie możemy
różnych sposobów:
zapisać
na
Z
z
wiele
P
• układ współrzednych
˛
kartezjańskich:
~
r = x · ~ix + y · ~iy + z · ~iz
iz
iy
Θ r
≡ (x, y, z)
• układ współrzednych
˛
biegunowych:
ix
Y
φ
~
r = (r, Θ, φ)
• układ współrzednych
˛
walcowych:
l
y
x
X
~
r = (l, φ, z)
A.F.Żarnecki
Wykład X
1
Ruch po okregu
˛
Y
Położenie ciała może być opisane
jedna˛ zmienna:
˛
• kat
˛ w płaszczyźnie XY - φ
V
r
• długość łuku okregu
˛
-s=r·φ
s
φ
X
⇒
~a 6= 0 !?
Predkość:
˛
V
=
ds
dφ
= r
= rω
dt
dt
predkość
˛
katowa
˛
ω = dφ
dt
d2φ
dω
=
Przyspieszenie katowe:
˛
α=
dt
dt2
Ruch jednostajny po okregu:
˛
α=0
A.F.Żarnecki
⇒
ω = const
Wykład X
⇒
V = const
~ 6= const
ale V
2
Ruch po okregu
˛
Z
Predkość
˛
w zapisie wektorowym:
ω
~ =ω
V
~ ×~
r
Y
Przyspieszenie:
~
dV
~a =
dt
d~
ω
d~
r
=
×~
r +ω
~×
dt
dt
~
= α
~ ×~
r +ω
~ ×V
=
a~t
+
r
φ
s
V
X
a~n
~ , opisujacego
~ |,
Oprócz przyspieszenia stycznego a~t ↑↑ V
˛
zmiane˛ |V
~ w czasie.
jest też przyspieszenie normalne a~n , odpowiedzialne za zmiane˛ kierunku V
a~n = ω
~ × (~
ω ×~
r ) = −ω 2 · ~
r
A × (B × C) = (A · C) · B − (A · B) · C
przyspieszenie dośrodkowe
A.F.Żarnecki
Wykład X
3
Ruch po okregu
˛
W ruch jednostajnym po okregu
˛ przyspieszenie styczne z definicji znika:
~ | = const ⇒ a~t = 0
|V
~ | 6= 0).
Jednak w ruchu po okregu
˛ przyspieszenie nigdy nie znika (jeśli |V
Przyspieszenie normalne pojawia sie˛ na skutek zmian kierunku predkości:
˛
~a = a~n = −ω 2 · ~
r
Y
V
r
s
φ
X
Ruch jednostajny po okregu
˛ jest złożeniem dwóch
niezależnych ruchów harmionicznych:
π
x = r · cos(ω · t) = r · sin(ω · t + )
2
y = r · sin(ω · t)
Ruch po okregu
˛
A.F.Żarnecki
Wykład X
⇐⇒
różnica faz ∆φ = ± π
2
4
Równania ruchu
Podstawowym zagadnieniem dynamiki jest rozwiazywanie
˛
równań ruchu,
˛
na nie sił.
czyli określanie ruchu ciała ze znajomości działajacych
Siła działajaca
˛ na ciało może zależeć od położenia i predkości
˛
czastki
˛
oraz czasu
⇒ równanie ruchu:
d2~
r(t)
~ (~
=
F
r, ~v , t)
m
2
dt
Ogólne rozwiazanie
˛
ma sześć stałych całkowania:
~
r = ~
r (t, C1, C2, . . . , C6)
Aby ściśle określić ruch ciała musimy poza rozwiazaniem
˛
równań ruchu
wyznaczyć wartości wolnych parametrów (w ogólnym przypadku sześciu)
Najcześciej
˛
dokonujemy tego określajac
˛ warunki poczatkowe:
˛
~
r0 = ~
r (t0)
~v0 = ~v (t0)
A.F.Żarnecki
t0 - wybrana hwila poz¡tkowa
Wykład X
5
Rówanania ruchu
Wahadło matematyczne.
Tym razem opiszmy położenie kulki w zmiennej s (pozycja wzdłuż łuku toru).
z
Rzut przyspieszenia na kierunek ruchu:
y
θ
l
FR
s
a
d2s
= −g · sin θ
as =
2
dt
W przybliżeniu małych katów
˛
(sin θ ≈ θ) otrzymujemy:
g
d2s
·s
=
−g
·
θ
=
−
2
dt
l q
⇒ oscylator harmoniczny czestość
˛
ω = gl .
W chwili t = 0 puszczamy z wychylenia A (V (0) = 0):
F=mg
⇒
s(t) = A · cos(ωt)
W chwili t = 0 nadajemy predkość
˛
V0
⇒
A.F.Żarnecki
(s(0) = 0):
V0
· sin(ωt)
s(t) =
ω
Wykład X
6
Ruch harmoniczny
Równanie oscylatora harmonicznego:
d2x
2x
=
−ω
dt2
(ruh w jednym wymiarze)
d2~
r
2
=
−ω
~
r (posta¢ ogólna)
dt2
Równanie oscylatora dobrze opisuje zachowanie bardzo wielu układów fizycznych: cieżare
˛
na spreżynie,
˛
wahadło matematyczne (dla małych wychyleń), kamerton, struna, itp...
Równanie oscylatora harmonicznego jest przykładem równania różniczkowego.
Ogólna postać rozwiazania:
˛
1D:
x = A · sin(ωt + φ) = A · cos(ωt) + B · sin(ωt)
3D:
~ · cos(ωt) + B
~ · sin(ωt)
~
r = A
W ogólnym przypadku ruch bedzie
˛
płaski, w płaszczyźnie wyznaczonej przez poczatkowe
˛
~ =~
~ = ~v (0) = ~v0.
położenie i predkość:
˛
A
r(0) = ~
r0
ωB
A.F.Żarnecki
Wykład X
7
Rówanania ruchu
Pole elektryczne
Rozważmy czastk˛
˛ e naładowana˛ o masie m i ładunku q poruszajac
˛ a˛ sie˛ w jednorodnym
~ (np. wewnatrz
polu elektrycznym o nateżeniu
˛
E
˛ kondensatora płaskiego).
+ + + + + + + + + + + + + + +
Na czastk˛
˛ e działa stała siła (z definicji nateżenia):
˛
~E = q · E
~
F
E
Ruch odbywa sie˛ ze stałym przyspieszeniem:
q>0
V
y
F
x
− − − − − − − − − − − − − − −
~ = (0, −E, 0)
E
~E
q ~
F
=
·E
~a =
m
m
Pełna analogia do pola grawitacyjnego:
q ~
~g ⇔
·E
m
Np. energia potencjalna:
Epg = mgy
A.F.Żarnecki
Wykład X
⇔
EpE = qEy
8
Rówanania ruchu
Pole elektryczne
Równania ruchu:
+ + + + + + + + + + + + + + +
y
F
V
L
q<0
x
d2x
m 2 = 0
dt
d2y
m 2 = QE
dt
Całkowanie + warunki poczatkowe
˛
E
⇒
− − − − − − − − − − − − − − −
~ = (0, E, 0)
Stałe jednorodne pole elektryczne E
W chwili t0 = 0 w punkcie ~
r0 = (0, 0, 0) w pole
˛
o
wlatuje z predkości
˛
a˛ v~0 = (v0, 0, 0) czastka
masie m i ładunku Q
~E = Q E
~
F
A.F.Żarnecki
Wykład X
x(t) = v0 · t
QE 2
y(t) =
·t
2m
⇒ równanie toru: y = Q E2 · x2
2mv0
Kat
˛ odchylenia:
QEL
dy =
tan θ =
dx x=L
m v02
9
Rówanania ruchu
Pole magnetyczne
z
V
B
Z definicji iloczynu wektorowego

~ix ~iy ~iz

d2~
r

m 2 = Q ·  dx dy dz
 dt dt dt
dt
0 0 B
y
Układ dwóch równań:
x
~ = (0, 0, B)
Stałe jednorodne pole B
W chwili t0 = 0 w punkcie ~
r0 = (0, 0, 0)
w pole wlatuje z predkości
˛
a˛ v~0 = (0, v0, 0)
czastka
˛
o masie m i ładunku Q
~B = Q · ~v × B
~
F
A.F.Żarnecki
siªa Lorenza





dy
d2x
QB
m 2 =
dt
dt
d2y
dx
m 2 = −Q B
dt
dt
Całkujac
˛ pierwsze równanie
dx
= Q B (y − yc)
m
dt
QB 2
d2y
⇒
= −
(y − yc)
2
dt
m
Wykład X
10
Rówanania ruchu
Rozwiazanie:
˛
x = r · sin(ωt + φ0) + xc
Pole magnetyczne
Otrzymujemy równania ruchu:
y = r · cos(ωt + φ0) + yc
d2y
2
=
−ω
(y − yc) osylator
dt2
dx
QB
= ω (y − yc)
ω=
dt
m
⇒ ruch po okregu
˛
ω - czestość
˛
cyklotronowa
y
V
Q
Z warunków poczatkowych
˛
(~
r(0) = ~
r0 i ~v (0) = ~v0):
x = r · (1 − cos ωt)
FB
y = r · sin ωt
r
x
Ruch w polu magnetycznym
jest jednostajny: v = const
mv
p
r =
=
QB
QB
B
A.F.Żarnecki
gdzie r - promień cyklotronowy:
m v0
r =
QB
Wykład X
11
Rówanania ruchu
W fizyce czastek
˛
pole magnetyczne powszechnie wykorzystywane jest do pomiaru pedu
˛
czastek.
˛
Wszystkie długożyciowe czastki
˛
naładowane maja˛ ładunek ±1e...
Komora pecherzykowa
˛
w CERN
Detektor CDF w Fermilab
A.F.Żarnecki
Wykład X
12
Rówanania ruchu
Pole magnetyczne
W ogólnym przypadku predkość
˛
czastki
˛
~ nie musi być prostopadła do wektora
V
~
indukcji pola magnetycznego B.
Jednak siła Lorenza zawsze prostopadła
~ ⇒ na kierunku równoległym do
do B
pola znika!
W kierunku wektora pola ruch czastki
˛
jest ruchem jednostajnym.
W ogólnym przypadku torem ruchu jest
spirala.
A.F.Żarnecki
Wykład X
13
Rówanania ruchu
Pole magnetyczne
y
B
V
L
x
Odchylenie czastki
˛
przelatujacej
˛
przez waski
˛ obszar jednorodnego pola
zakładamy ωt ≪ 1:
x ≈ r · ωt
!
#
"
2
(ωt)
− 1
y ≈ r· 1−
2
x2
=−
2r
r
Kat
˛ odchylenia:
dy tan θ = L
QBL
=
=
dx x=L
r
m v0
A.F.Żarnecki
Wykład X
14
Rówanania ruchu
Spektroskop Thomsona
z
(1913)
m2
Czastki
˛
przelatuja˛ przez obszar
~ iB
~
jednorodnych pól E
y
x
m1
L+d
~ ↑↓ B
~
E
Pozycja czastki
˛
na ekranie
d≫L
QBLd
m v0
QELd
ze ≈ d · tan θE =
m v02
z
ye ≈ d · tan θB =
⇒
x
L
y
E
V
0
E
m
· ye2
ze =
· 2
Q B Ld
B
Czastki
˛
o róznych v0 układaja˛ sie˛ na parabolach odpowiadajacych
˛
ich m
Q
⇒ separacja izotopów o różnych masach - spektroskopia masowa
A.F.Żarnecki
Wykład X
15
Rówanania ruchu
Selektor predkości
˛
Czastka
˛
w skrzyżowanych
~ ⊥B
~
jednorodnych polach E
z
~E = Q · E
~
F
~B = Q · ~v × B
~
F
y
B
E
V<Vo
E
Dla predkości
˛
V0 = B
~E + F
~B = 0
wypadkowa sił F
V
x
Q>0
V=Vo
V>Vo
⇒ tor prostoliniowy
⇒ metoda selekcji czastek
˛
o ustalonej predkości
˛
niezależnie od ich Q i m
A.F.Żarnecki
Wykład X
16
Rówanania ruchu
v0
Mierzymy promień cyklotronowy r = m
QB
E
dla czastek
˛
o ustalonej predkości
˛
v0 = B
⇒ pomiar m
Q
Spektrometr Bainbridge’a
wiazka jonow
E
B
selektor predkosci
r
m 1 <m 2<m 3
Bo
m1
m2
klisza fotograficzna
m3
Czastki
˛
o różnych masach zaczernia˛ klisze˛
w różnych odległościach od szczeliny
A.F.Żarnecki
Wykład X
17
Ruch po okregu
˛
Zasada bezwładności
y
“Każde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu
prostoliniowego i jednostajnego, jeśli siły przyłożone nie
zmuszajż ciała do zmiany tego stanu.”
I.Newton
V
Q
FB
r
x
B
⇒ aby ciało pozostawało w ruchu po okregu
˛ konieczne
⇒ siła dośrodkowa
jest działanie siły
Ruch po okregu
˛ może być wynikiem działania różnego rodzaju sił:
• siły zewnetrzne
˛
⇒ siła Lorenza (pole magnetyczne)
⇒ siły spreżystości
˛
• siły reakcji wiezów
˛
(kulka na nitce)
• wypadkowej sił reakcji i sił zewnetrznych
˛
(regulator Watta, kulka w wirujacym
˛
naczyniu...)
A.F.Żarnecki
Wykład X
18
Ruch po okregu
˛
Siła dośrodkowa
Czastka
˛
naładowana w polu magnetycznym
Siła Lorenza:
y
V
~B = Q · ~v × B
~
F
Q
FB
~
Dla ~v ⊥ B:
r
FB = Q v B
x
B
⇒
Promień cyklotronowy:
p
mv
=
r =
QB
QB
A.F.Żarnecki
FB =
1
QB
m v2 =
m v2
mv
r
m v2
FB =
= m ω2 r
r
Wykład X
19
Ruch po okregu
˛
Siła dośrodkowa
Regulator Watta
Kulka w wirujacym
˛
naczyniu
ω
R
R
F
F
mg
ω
mg
Siła dośrodkowa jest wypadkowa˛ siły reakcji i siły cieżkości:
˛
~ = m~g + R
~
F
A.F.Żarnecki
Wykład X
20
Ruch po okregu
˛
Siła dośrodkowa
Z
ω
Y
r
φ
s
d~v
~a =
dt
dv = v · dφ = v ω dt
dV
v2
a = vω = ω r =
r dφ
2
V
X
r
x = r · cos(ω · t)
dφ = ω dt
y = r · sin(ω · t)
W zapisie wektorowym:
z ≡ 0
ax = −ω 2 r · cos(ω · t)
⇒
ay = −ω 2 r · sin(ω · t)
⇒
~a = −ω 2 ~
r
~
⇒ F
A.F.Żarnecki
~
dV
~a =
dt
ω
~ = const
d(~
ω ×~
r)
d~
r
=
= ω
~ ×
dt
dt
~ = ω
= ω
~ ×V
~ × (~
ω ×~
r)
= −ω 2 · ~
r⊥
2
= −m ω ~
r
Wykład X
V
~
r⊥ = (x, y, 0)
21
Ruch po okregu
˛
Siła dośrodkowa
Kulka w wirujacym
˛
naczyniu
ω
Siła dośrodkowa skierowana poziomo
ze składania sił:
⇒
R · cos α − mg = 0
F = R · sin α = mg · tan α
α
R
F
r
mg
~ = m~g + R
~
F
Z równania ruchu:
F = m ω 2r⊥ = m ω 2r · sin α
g
⇒
cos α =
ω2 r
Kulka odchyli sie˛ dopiero dla ω >
ω◦ - czestość
˛
drgań wahadła
matematycznego o długości r
A.F.Żarnecki
Wykład X
q
g
r = ω◦
22
Układy nieinercjalne
Prawa ruchu
Niech układ O’ porusza sie˛ wzgledem
˛
układu inercjalnego O.
Osie obu układów pozostaja˛ cały czas równoległe (brak obrotów)
2
Niech ~
r◦(t) opisuje położenie układu O’ w O. Przyspieszenie: ~a◦ = d ~r2◦
dt
Prawa ruchu w układzie inercjalnym O:
~ (~
~R
m~a = F
r , ~v , t) + F
⇒ w układzie nieinercjalnym O’:
~ (~
~R − m~a◦
m~a ′ = F
r ′, ~v ′, t) + F
~b = −m~a◦
⇒ w układzie nieinercjalnym musimy wprowadzić siłe˛ bezwładności F
Czy możemy to podejście zastosować także w przypadku,
gdy układy obracaja˛ sie˛ wzgledem
˛
siebie?
Problem komplikuje sie,
˛ bo przyspieszenie wzgledne
˛
zależy od położenia...
A.F.Żarnecki
Wykład X
23
Układ obracajacy
˛ sie˛
Niech układ O’ obraca sie˛ z predkości
˛
a˛ katow
˛ a˛ ω
~ wzgledem
˛
układu inercjalnego O.
Dla uproszenia przyjmijmy, że poczatki
˛ obu układów pokrywaja˛ sie.
˛
Rozważmy ruch punktu materialnego spoczywajacego
˛
w układzie O’:
Z punktu widzenia obserwatora O ciało porusza sie˛ po okregu
˛
i musi na nie dzialać siła dośrodkowa:
~ = −m ω 2 ~
F
r⊥
W układzie O’, aby opisać równowage˛ sił ( ciało pozostaje w spoczynku)
musimy wprowadzić siłe˛ bezwładności:
~b = +m ω 2 ~
F
r⊥
⇒ siła odśrodkowa
Siły bezwładności sa˛ siłami pozornymi, wynikajacymi
˛
z nieinercjalnego charakteru układu odniesienia
A.F.Żarnecki
Wykład X
24
Układ obracajacy
˛ sie˛
Siła odśrodkowa
Regulator Watta
Kulka w wirujacym
˛
naczyniu
ω=0
R
R
FB
FB
mg
ω=0
mg
Równowaga sił w układzie obracajacym
˛
sie:
˛
~ + F
~b = m~a ′ = 0
m~g + R
A.F.Żarnecki
Wykład X
25
Układ obracajacy
˛ sie˛
ω=0
Siła odśrodkowa
α
Ciecz w wirujacym
˛
naczyniu
R
FB
mg
y
r
Równowaga drobiny na powierzchni cieczy:
mg sin α − mω 2r cos α = 0
Powierzchnia cieczy przyjmuje
kształt paraboliczny
A.F.Żarnecki
(rzut na powierzchnie cieczy)
dy
ω2
= tan α =
r
dr
g
ω2 2
⇒ y =
· r +y◦
2g
Wykład X
26
Układ obracajacy
˛ sie˛
Ruch obrotowy Ziemi
Ciała nieruchome wzgledem
˛
powierzchni Ziemi.
Zmiana efektywnego przyspieszenia ziemskiego
zwiazana z ruchem obrotowym Ziemi:
∆g = − ω 2r⊥ cos φ = − ω 2rZ cos2 φ
m
≈ −0.033 2 · cos2 φ φ − szeroko±¢
s
Wyniki pomiarów:
ω ≈
A.F.Żarnecki
2π
−5 1
≈
7.3
·
10
23h 56m 04s
s
biegun N
g = 9.83216 sm2
Warszawa
g = 9.81230 sm2
równik
g = 9.78030 sm2
geo.
Efekt wiekszy
˛
ze wzgledu
˛ na spłaszczenie Ziemi
Wykład X
27
Układ obracajacy
˛ sie˛
Układ O’ obraca sie˛ z predkości
˛
a˛ katow
˛ a˛ ω
~ wzgledem
˛
układu inercjalnego O.
Rozważmy teraz ruch punktu materialnego spoczywajacego
˛
w układzie O:
Z punktu widzenia obserwatora O’ ciało porusza sie˛ po okregu
˛
i musi na nie dzialać siła dośrodkowa:
~ = −m ω 2 ~
F
r⊥
W układzie O’ działa tymczasem pozorna siła odśrodkowa
~b = +m ω 2 ~
F
r⊥
⇒ musimy wprowadzić kolejna˛ siłe˛ ?!
Aby “uratować” równania ruchu potrzebujemy
~c = −2 m ω 2 ~
F
r⊥
⇒ czy to w ogóle ma sens ?...
A.F.Żarnecki
Wykład X
28
Układ obracajacy
˛ sie˛
2
V
Punkt materialny poruszajacy
˛ sie˛ po okregu
˛ w układzie O, siła dośrodkowa Fd = m r .
˛
punktu wynosi V ′ = V − ω r
W układzie obracajacym
˛
sie˛ O’ predkość
Układ O
Układ O’
y’
y
v
ω
Fd
v’
ω
x
Fd
Fc
Fb
x’
Siła wypadkowa w O’:
′2
(V ′ + ωr)2
= m
− 2mωV ′ − mω 2r = Fd − Fc − Fb
r
r
~c (siła Coriolisa) konieczna do opisania ruchu po okregu
Dodatkowa siła pozorna F
˛
w O’
V
Fd′ = m
A.F.Żarnecki
Wykład X
29
Układ obracajacy
˛ sie˛
Rozważmy teraz punkt materialny poruszajacy
˛ sie˛ radialnie w układzie O’.
W inercjalnym układzie O zbliżajacy
˛ sie˛ do centrum układu punkt materialny zaczyna
˛
w ruchu obrotowym maleje...
“wyprzedzać” punkty układu O’, gdyż ich predkość
Układ O’
Układ O
y’
y
ω
F
v’ c
ω
x’
v
x
Pozorna siła Coriolisa pojawia sie˛ w układzie obracajacym
˛
sie˛ (nieinercjalnym), żeby
opisać odchylenie od toru prostoliniowego...
A.F.Żarnecki
Wykład X
30
Układ obracajacy
˛ sie˛
Układ O’ obraca sie˛ z predkości
˛
a˛ katow
˛ a˛ ω
~ wzgledem
˛
układu inercjalnego O.
Dodawanie predkości:
˛
Z
Z
ω
~v = ~v ′ + ~vrot = ~v ′ + ω
~ ×~
r′
Vrot
V
r
Przyspieszenie:
V’
Y
Y
ix
d~v ′
d~
ω
d~
r′
d~v
′
=
+
×~
r + ω
~×
~a =
dt
dt
dt
dt
Pochodna dla wektora o z układu O’: (~
r ′ i ~v ′)
d~
o′
d~
o′
=
dt
dt′
X
X
+
ω
~ ×~
o′
pochodna w O’ + obrót osi O’
⇒
~a = ~a ′
+
przysp. w O’
A.F.Żarnecki
d~
ω
×~
r′
dt
przysp. O’
+
ω
~ × (~
ω ×~
r ′)
przysp. dośrodkowe
Wykład X
+
2·ω
~ × ~v ′
przysp. Coriolisa
31
Układ obracajacy
˛ sie˛
Równanie ruchu
W układzie inercjalnym O:
~ (~
~R
m~a = F
r , ~v , t) + F
⇒ w układzie nieinercjalnym O’:
~ (~
~R − m ω
m~a ′ = F
r ′, ~v ′, t) + F
~ × (~
ω×~
r ′) − 2 · m ω
~ × ~v ′
W układzie obracajacym
˛
sie˛ wprowadzamy dwie pozorne siły bezwładności:
~o = −m ω
• siłe˛ odśrodkowa˛ F
~ × (~
ω ×~
r ′) = +m ω 2 ~
r⊥ ′
• siłe˛ Coriolisa
A.F.Żarnecki
~c = −2 · m ω
F
~ × ~v ′
Wykład X
32
Układ obracajacy
˛ sie˛
Ruch obrotowy Ziemi
Spadek swobodny z dużej wysokości
Spadek swobodny z wysokości h=5.5 km,
zaniedbujac
˛ opory powietrza:
gt2
, vy = −g t
y =h−
2
Zaniedbujac
˛ odchylenie od pionu:
ac = 2 ω |vy | cos φ = 2 ω g cos φ · t
Ruch w poziomie (całkujac
˛ ax = ac):
1
ω g cos φ · t3
3
Końcowe odchylenie toru od pionu:
vx = ω g cos φ · t2 , x =
Siła Coriolisa odchyla tor ciała
w kierunku wschodnim (obie półkule!)
t=
s
2h
≈ 33s ⇒ ∆ ≈ 9 m · cos φ
g
w Warszawie około 5.5 m
A.F.Żarnecki
Wykład X
33
Układ obracajacy
˛ sie˛
Ruch obrotowy Ziemi
Spadek swobodny z dużej wysokości
Opory powietrza ⇒ przez wiekszość
˛
czasu
spadek z predkości
˛
a˛ v ≈ 55 m/s:
ac = 2 ω v cos φ
m
≈ 0.008 2 · cos φ
s
Spadek z 5.5 km zajmie t ≈ 100 s.
Końcowe odchylenie toru od pionu:
ac t2
≈ 40 m · cos φ
∆ =
2
Siła Coriolisa odchyla tor ciała
w kierunku wschodnim (obie półkule!)
A.F.Żarnecki
w Warszawie około 25 m
Wykład X
34
Układ obracajacy
˛ sie˛
~c = −2 · m ω
F
~ × ~v ′
Siła Coriolisa
Półkula północna
1111
0000
ω
Półkula południowa
1111
0000
ω
111
000
V
W
Wiatry zakrecaj
˛ a˛ “w prawo”; wyż “kreci
˛ sie”
˛
zgodnie z ruchem wskazówek zegara
A.F.Żarnecki
Fc
Fc
1111
0000
V
W
Wiatry zakrecaj
˛ a˛ “w lewo”; wyż “kreci
˛ sie”
˛
przeciwnie do ruchu wskazówek zegara
Wykład X
35
Układ obracajacy
˛ sie˛
Wahadło Foucault’a
1851 r.
N
pólkula pólnocna
Dla obserwatora na Ziemi płaszczyzna ruchu
wahadła obraca sie˛ z predkości
˛
a˛ katow
˛ a˛
ω1 = ω · sin φ
w Warszawie (φ = 52◦):
W
ω1 ≈ 12◦/h
E
dla startu z położenia równowagi:
S
start z wychylenia maksymalnego
A.F.Żarnecki
Wykład X
36
Projekt Fizyka wobec wyzwań XXI w.
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego