erraty

Błędy zauważone przeze mnie w skrypcie
A.Drabik, J.Mielniczuk „Algebra liniowa z geometrią”
ten spis jeszcze będzie się zmieniać
Stefan Sokołowski
Gdańsk, 13 stycznia a 2009
Problem 1:
I. Wiadomości wstępne
1. Liczby naturalne
Twierdzenie — Własności dodawania i mnożenia:
m′ = m + 1 =⇒ m = n′ dla pewnej liczby n
Moja uwaga:
m′ oznacza następnik m; więc poprzednik implikacji jest zawsze prawdziwy. Dla m = 0
jest ona nieprawdziwa.
Problem 2:
I. Wiadomości wstępne
1. Liczby naturalne
Twierdzenie — Porządek ¬ ma następujące własności: n ¬ 0
Moja uwaga:
Nierówność w odwrotną stronę.
Problem 3:
I. Wiadomości wstępne
3. Liczby wymierne
Stwierdzenie — (o dzieleniu ułamków)
m p
a
m
q a
: =
⇐⇒
= ·
n q
b
n
p b
Moja uwaga:
Po prawej stronie równoważności powinno być
p
.
q
Problem 4:
I. Wiadomości wstępne
3. Liczby wymierne
Stwierdzenie — o gęstości
m
p
m
m+p
p
<
=⇒
<
<
n
q
n
n+p
q
Moja uwaga:
W środku nierówności powinno być
m+p
; inaczej nieprawda.
q+n
Problem 5:
II. Własności zbiorów liczbowych
3. Kongruencje, twierdzenie chuińskie o resztach
Drugi przykład po twierdzeniu chińskim
Każda z beczek mieści najwyżej 300 ho.
Moja uwaga:
Wtedy nie ma rozwiązania. Prawdopodobnie miało być 3000 ho.
Problem 6:
III. Liczby zespolone
3. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych
Definicja
Argument główny liczby z określony jest jako argument liczby z, który należy
do przedziału h−p, pi.
Moja uwaga:
Chodzi oczywiście o przedział otwarto-domknięty (−π, πi .
2
Problem 7:
IV. Funkcje zmiennej zespolonej
1. Wielomiany
Dowód przed samym zasadniczym twierdzeniem algebry: z n = z̄ n
Moja uwaga:
Ma być: z n = z̄ n
Problem 8:
XI. Przekształcenia liniowe I
1. Definicja przekształcenia liniowego
Różne stwierdzenia o jednokładności na początku rozdziału.
Moja uwaga:
Przekształcenie f ([x1 , x2 ]) = [3x1 , 4x2 ] nie jest zwykle nazywane jednokładnością,
użycie tego terminu w skrypcie jest niestandardowe. Ilustrujący to rysunek 11 1 nie ma
związku ani z tak zdefiniowanym przekształceniem f ani z normalnie rozumianą jednokładnością.
Niżej w ramce z definicją przekształcenia liniowego jest mowa o jednokładności „względem punktu 0 i prostej przechodzącej przez punkt 0”. To nie ma sensu; przypuszczam, że
zsotało skopiowane z drugiego przykładu (z symetrii).
Przez jednokładność względem punktu p o skali k rozumie się zwykle przekształcenie,
które każdemu punktowi q przypisuje punkt leżący na prostej od p do q w odległości k razy
większej. Analitycznie na płaszczyźnie taka jednokładność względem punktu O opisuje się
wzorem f ([x1 , x2 ]) = [kx1 , kx2 ] .
Problem 9:
XIII. Przestrzenie euklidesowe
1. Iloczyn skalarny
Przykład 2 po definicji iloczynu skalarnego.
Moja uwaga:
To nie jest iloczyn skalarny, bo nie spełnia warunku (iv) z definicji. Jako kontrprzykład
weźmy np. funkcję
◦
f (x) def
= sin(x · 360 )
Wtedy f (0) = 0, f (0.5) = sin(180◦ ) = 0, f (1) = sin(360◦) = 0, wobec tego
hf, fi = f (0)f (0) + f (0.5)f (0.5) + f (1)f (1) = 0
Tymczasem f nie jest funkcją zerową.
3
Problem 10:
XIII. Przestrzenie euklidesowe
4. Rzut ortonormalny
Przykład po definicji macierzy ortogonalnej.
Moja uwaga:
To nie jest macierz ortogonalna. Byłaby, gdyby usunąć jeden z minusów.
4