Przypadki szczególne przemiany politropowej Opracowanie: Ewa

Przypadki szczególne przemiany politropowej
1/6
5.4. Przemiana izobaryczna
Przemiana przy stałym ciśnieniu, czyli izobaryczna jest przemianą politropową
o wykładniku m = 0, gdyż
pvm =pv0=p= const.
Przemiana ta zachodzi, gdy ogrzewa się gaz zamknięty w cylindrze tłokiem, stale jednakowo
obciążonym, więc np. własnym ciężarem lub ciężarem dodatkowym. Przez ogrzewanie gaz
zwiększa swą objętość i tłok unosi się. Przy oziębianiu gaz będzie się kurczył, więc tłok będzie
opadać.
Krzywa przemiany izobarycznej nazywana izobarą
jest przedstawiona na rys. 5.4.1
w układzie p – v i T – s.
Rys. 5.4.1. Przemiana izobaryczna na wykresie p – v i T – s
la1,2 – praca absolutna, q1,2 - ciepło, u1,2 – przyrost energii wewnętrznej,
i1,2 – przyrost entalpii, e1,2 – energia przetłaczania
Parametry stanu w przemianie izobarycznej zmieniają się według zależności
v1 T1

v2 T2
Praca absolutna przemiany wynosi
2
l a1, 2   p  dv  p  (v2  v1 )
1
Praca techniczna wynosi
2

lt1, 2   v  dp  0
1
Zgodnie z definicją, ciepło przemiany wynosi
Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa
Przypadki szczególne przemiany politropowej
2/6
q1, 2  c (T2  T1 )
Wobec tego, że dla przemiany izobarycznej wykładnik politropy m = 0 ciepło właściwe c tej
przemiany wynosi
c
cv (m  k )
 k  cv  c p
m 1
A zatem, ciepło dostarczone bądź odebrane w przemianie izobarycznej można przedstawić
zależnością
q1, 2  c p  T2  T1 
Wobec tego, że w przemianie izobarycznej lt1,2 =0, z równania pierwszej zasady termodynamiki
w postaci
i1, 2  q1, 2  lt1, 2
wynika, że dostarczone ciepło jest równe przyrostowi entalpii czynnika.
q1, 2  i1, 2
Przyrost entropii można wyznaczyć z definicji entropii:
dq
T
Dla przemiany izobarycznej dq = cp·dT, a zatem
ds 
2
s1, 2
2
c dT
dq
T

 p
 c p ln 2
T 1 T
T1
1
Przyrost energii wewnętrznej, zgodnie z definicją wynosi
u1, 2  cv (T2  T1 )
Przyrost entalpii, zgodnie z definicją wynosi
i1, 2  c p (T2  T1 )
5.5. Przemiana izochoryczna
Przemiana przy stałej objętości czyli izochoryczna zachodzi wówczas, gdy mimo zmian
temperatury i ciśnienia oraz mimo doprowadzania i odprowadzania ciepła objętość gazu
zamkniętego w naczyniu nie ulega zmianie. Przemiana izochoryczna (v = const.) jest przemianą
politropową o wykładniku m = ± ∞ .
Krzywa przemiany izochorycznej nosi nazwę izochory i jest przedstawiona na rys. 5.5.1
w układzie p – v i T – s. Parametry stanu gazu w tej przemianie zmieniają się zgodnie z równaniem
p1 T1

p2 T2
Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa
Przypadki szczególne przemiany politropowej
3/6
Rys. 5.5.1. Przemiana izochoryczna na wykresie p – v i T – s
lt1,2 – praca techniczna, q1,2 - ciepło, u1,2 – przyrost energii wewnętrznej,
i1,2 – przyrost entalpii, e1,2 – energia przetłaczania
Praca absolutna przemiany wynosi
2
la1, 2   p  dv  0
1
Praca techniczna wynosi
2

lt1, 2   v  dp  v   p2  p1 
1
Zgodnie z definicją, ciepło przemiany wynosi
q1, 2  c (T2  T1 )
Wobec tego, że dla przemiany izochorycznej c =cv, otrzymuje się
q1, 2  cv  T2  T1 
Wobec tego, że w przemianie izobarycznej la1,2 =0, z równania pierwszej zasady termodynamiki
w postaci
u1, 2  q1, 2  la1, 2
wynika, że dostarczone ciepło jest równe przyrostowi energii wewnętrznej czynnika.
q1, 2  u1, 2
Przyrost entropii można wyznaczyć z definicji entropii:
dq
T
Dla przemiany izochorycznej dq = cv·dT, a zatem
ds 
2
s1, 2 

2
dq

T
1
Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

1
cv dT
T
 cv ln 2
T
T1
Przypadki szczególne przemiany politropowej
4/6
Przyrost energii wewnętrznej, zgodnie z definicją wynosi
u1, 2  cv (T2  T1 )
Przyrost entalpii, zgodnie z definicją wynosi
i1, 2  c p (T2  T1 )
5.6. Przemiana izotermiczna
Przemiana przy stałej temperaturze czyli izotermiczna (T = const.)
jest przemianą
politropową o wykładniku m = 1, a więc
p·v = const.
Jest równocześnie przemianą przy stałej energii wewnętrznej, tj.
u = cv·T = const.
lub
du = cv·dt = 0
oraz przemianą przy stałej entalpii, tj.
i = cp·T = const.
lub
di = cp·dt = 0
Linia przemiany przestawiającej przemianę o stałej temperaturze nosi nazwę izotermy i jest
przedstawiona na rys. 5.6.1 w układzie p – v i T – s. Parametry stanu gazu w tej przemianie
zmieniają się zgodnie z równaniem
p1  v1  p2  v2  R  T
Izoterma jest więc na wykresie p – v hiperbolą równoosiową.
Rys. 5.6.1. Przemiana izochoryczna na wykresie p – v i T – s
la1,2 – praca absolutna, lt1,2 – praca techniczna, q1,2 - ciepło
Praca absolutna przemiany wynosi
2
l a1, 2   p  dv
1
Z równania izotermy:
p  v  p1  v1  p 
Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa
p1  v1
v
Przypadki szczególne przemiany politropowej
5/6
A zatem
2
l a1, 2
2
dv
dv
v
  p1  v1 
 p1  v1  
 p1  v1  ln v v12 
v
v
1
1
 p1  v1  ln v2  ln v1   p1  v1  ln
la1, 2  R  T  ln
v2
v
p
 R  T  ln 2  R  T  ln 1
v1
v1
p2
v2
p
 R  T  ln 1
v1
p2
Praca techniczna wynosi
2
lt    v  dp
1
Z równania izotermy:
p  v  p1  v1  v 
p1  v1
p
A zatem
2
l t   p 1  v 1 
1
dp
p
  p 1  v 1  2 p
dp
  p 1  v 1  ln
1
lt1, 2  R  T  ln
p2
p1
 p 1  v 1  ln
p1
p2
p1
v
 R  T  ln 2  la1, 2
p2
v1
Przyrost energii wewnętrznej, zgodnie z definicją wynosi
u1, 2  cv (T2  T1 )
Ponieważ :
T1  T2
przyrost energii wewnętrznej w przemianie izotermicznej:
u1, 2  0
Przyrost entalpii, zgodnie z definicją wynosi
i1, 2  c p (T2  T1 )
Ponieważ :
T1  T2
przyrost entalpii w przemianie izotermicznej:
i1, 2  0
Ciepło przemiany można wyznaczyć z równania pierwszej zasady termodynamiki. Wobec tego, że
u1, 2  0 , z pierwszej postaci równania
Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa
Przypadki szczególne przemiany politropowej
6/6
u1, 2  q1, 2  l A1, 2
wynika
q1, 2  la1, 2
a wobec i1, 2  0 , z drugiej postaci równania
i1, 2  q1, 2  lt1, 2
wynika
q1, 2  lt1, 2
A zatem, w przemianie izotermicznej
q1, 2  la1, 2  lt1, 2  R  T  ln
v2
p
 R  T  ln 1
v1
p2
Przyrost entropii można wyznaczyć z definicji entropii:
ds 
dq
T
s1, 2 
q1, 2
v
p
 R  ln 2  R  ln 1
T1
v1
p2
a zatem:
5.7. Przemiana izentropowa
Jest to przemiana odbywająca się bez wymiany ciepła z otoczeniem, czyli przemiana
adiabatyczna, w której
dq = 0
oraz
q= 0
Warunek ten powiązany ze wzorem definicyjnym na entropię, reprezentuje jednocześnie warunek
stałej entropii
dq = T·ds. = 0
Ponieważ T ≠ 0 to ds = 0, czyli s = const. przemiana przy stałej entropii nazywa się przemianą
izentropową a krzywa przedstawiająca tę przemianę nosi nazwę izentropy. Nie każda jednak
przemiana adiabatyczna jest przemianą izentropową. Równoważność obu przemian odnosi się tylko
do przemian odwracalnych gazu doskonałego bez wymiany ciepła z otoczeniem, gdy w układzie nie
ma wewnętrznych źródeł ciepła wynikłych np. z lepkości.
Pierwsze równanie termodynamiki w odniesieniu do przemiany adiabatycznej przybiera
postać
(5.7.1)
Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa
Przypadki szczególne przemiany politropowej
Z równania
oraz
7/6
obliczone cv ma wartość
a po wstawieniu tej wartości do równania (5.7.1) otrzymuje się
a po przekształceniu
(5.7.2)
Różniczkując równanie pv=RT , otrzymuje się
p dv + v dp = R dT
i podstawiając do (5.7.2) wartość R dT otrzymuje się
Stąd
lub ostatecznie
Jest to równanie różniczkowe adiabaty. Całkując to równanie przy założeniu, że k = const.
otrzymuje się równanie
lub
skąd
= const.
(5.7.3)
A więc jest to postać przemiany politropowej, dla której m = k.
Adiabata w układzie p – v jest hiperbolą nierównoboczną przebiegającą bardziej stromo niż
izoterma. Jest przedstawiona na rys. 5.7.1 w układzie p – v i T – s.
Korzystając z równania stanu gazu można w równaniu (5.7.3) wyeliminować kolejno jeden
z parametrów i zastąpić go temperaturą. Po dokonaniu przekształceń otrzymuje się równanie
przemiany izentropowej w następujących postaciach
T1  v1( k 1)  T2  v2( k 1)
1 k
k
1
T1  p
1 k
k
2
 T2  p
Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa
Przypadki szczególne przemiany politropowej
8/6
Rys. 5.7.1. Przemiana izentropowa na wykresie p – v i T – s
la1,2 – praca absolutna, lt1,2 – praca techniczna, u1,2 – przyrost energii wewnętrznej,
i1,2 – przyrost entalpii, e1,2 – przyrost energii przetłaczania
Praca absolutna przemiany wynosi
2
l a1, 2   p  dv
1
Z równania izentropy
p  v k  p1  v1k  p 
2
l a1, 2   p1  v1k 
1
Wiadomo, że:
n
 x dx 
x n 1
n 1
p1  v1k
vk
2
dv
 p1  v1k   v k dv
k
v
1
n  1
v2
 v  k 1 
1
v 2k 1  v1k 1
A zatem:  v dv  
 
  k  1 v1 1  k
1
2

k





1
1
v 2 k 1  v1 k 1 
p1  v1k  v 2 k 1  p1  v1k  v1 k 1 
1 k
1 k
1
1
 p2  v2  p1  v1   R T2  T1   cv T2  T1   u1,.2

p 2  v 2k  v 2k 1  p1  v1k  v1 k 1 
1 k
1 k
1 k
l a1, 2  p1  v1k 


la1, 2 
R
T2  T1   u1,2
1 k
Praca techniczna wynosi
2
lt    v  dp
1
Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa
Przypadki szczególne przemiany politropowej
Zrównania izentropy: p  v k  p1  v1k  v 
1
k
1
1
k
p
 v1
p
2
1
k
1
lt    p  v1 
1
dp
p
1
k
1
k
1
2

1
k
  p  v1  p dp
1
p2
  1 1 
1
1
1
k 1
k 1
2
 p k 

 1 
k

1   k 1
k  k
k
k
k
p
dp


p

p

p

p






2
1
2
1
1
1
k 1 
  1  1



 1
k
 k
 p1
lt1, 2

k 1
k 1
1
k 1
1
k 1


k  k
k  k
k
k
k
k
k
 p2  v2  p1  v1  
  p  v1 
 p 2  p1   
 p1  v1  p 2  p1  v1  p1   
k 1 
k 1 
k 1


1
k
1
k
 p 2  v2  p1  v1   k  R  T2  T1   c p  (T2  T1 )  i1,2
1 k
1 k
lt1, 2 
kR
T2  T1   k  u1,2  i1,2
1 k
Ciepło przemiany, zgodnie z definicją:
q1, 2  c (T2  T1 )
Wobec tego, że c =0:
q1, 2  0
Przyrost entropii, zgodnie z definicją:
ds 
dq
T
Wobec tego, że c =0, q1,2=0:
s1, 2  0
Przyrost energii wewnętrznej, zgodnie z definicją:
u1, 2  cv (T2  T1 )
Przyrost entalpii, zgodnie z definicją:
i1, 2  c p (T2  T1 )
Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa
9/6