Diagramy kontra predykaty

Tytuł Roboczy, 2006.07/08 (014)
Copyright © 2006 by Zenon Kulpa
Diagramy kontra predykaty,
czyli je li nie mo esz go pokona , przył cz si do niego
… stary j zyk Entów …, uroczy j zyk,
ale potrzeba bardzo du o czasu, by cokolwiek w nim powiedzie ...1
(Jan Ronald Reuel Tolkien: Dwie wie e, 1955)
Dwukrotnie w poprzednich odcinkach cyklu2 u yto krótkich wyra e w logicznym j zyku
predykatów (zwanym tak e rachunkiem predykatów) do reprezentacji pewnych prostych informacji. Nie obja niano tego j zyka reprezentacji w nadziei, e prostota tych przykładów
pozwoli na ich wystarczaj ce zrozumienie bez obja nie . Wypadałoby jednak w ko cu powiedzie co wi cej o tej wa nej metodzie reprezentacji wiedzy i porówna jej wła ciwo ci,
wady i zalety z wła ciwo ciami reprezentacji diagramowych.
J zyk predykatów powstał w ko cu XIX w. jako rezultat długiego procesu, rozpocz tego
jeszcze w staro ytno ci sylogistyk Arystotelesa,3 o której wi cej opowiemy w nast pnym
odcinku. Dopiero stworzona w XIX w. algebra logiki Boole'a4 zapocz tkowała odej cie od
sylogistyki i poło yła fundament pod rachunek predykatów i współczesn logik matematyczn . Głównym twórc rachunku predykatów był Frege.5 Opracował on równocze nie swój
system notacji diagramowej dla tego rachunku.6 Diagramy Fregego nie zyskały jednak akceptacji, a co gorsza, powstanie rachunku predykatów stało si jednym z powodów rugowania
diagramów ze cisłych rozumowa matematycznych. Rachunek predykatów wydawał si
znacznie bardziej cisły ni diagramy, jako e du o łatwiej poddawał si pełnej formalizacji
pojmowanej jako mo liwo czysto mechanicznego przekształcania formuł według sztywnych reguł. Natomiast z formalizacj reprezentacji i wnioskowa diagramowych do tej pory
s kłopoty głównie dlatego, e matematycy przez wiele dziesi cioleci nie zajmowali si tym
problemem.7
Rachunek predykatów stał si tak e powszechnie stosowan reprezentacj wiedzy w komputerowych systemach tzw. „sztucznej inteligencji”, pocz wszy od lat 60. a do współczesnych
systemów ekspertowych.8 Jednak komputerowe implementacje wi kszych systemów tego
typu od pocz tku sprawiały kłopoty. Zacz to wi c poszukiwa innych reprezentacji, w tym
diagramowych;9 równocze nie rozpocz ły si polemiki mi dzy zwolennikami tych poszukiwa a zwolennikami wci niepodzielnie panuj cych reprezentacji logicznych.
Zadanie Moore’a. Zacznijmy od prostego przykładu, zaczerpni tego z jednego z takich polemicznych artykułów.10 Autor artykułu, Robert Moore, broni w nim reprezentacji logicznych
twierdz c, e pewne rodzaje wnioskowa „mog by zaimplementowane tylko w ramach uj cia logicznego”.11 Tez t ilustruje nast pnie za pomoc przykładu pewnego prostego problemu. Ciekawe, e problemu tego nie definiuje jednak w swoim ulubionym j zyku rachunku
predykatów, tylko posługuj c si diagramem:
„Trzy klocki, A, B i C, ustawione s jak nast puje:
------------|
|
|
|
|
|
| A |
| B |
| C |
|
|
|
|
|
|
-------------
61
Klocek A jest zielony, klocek C niebieski, a kolor klocka B jest nieznany. Czy przy takim
ustawieniu klocków istnieje zielony klocek, stoj cy obok klocka, który nie jest zielony?”
Moore nast pnie stwierdza, e rozwi zanie tego problemu „powinno by jasne po najwy ej
chwili namysłu”, po czym podaje to rozwi zanie w potocznym j zyku angielskim nie zdradzaj c przy tym adnej logicznej procedury jego uzyskania. Mimo to twierdzi, e osoba rozwi zuj ca ten problem musi u y takich „logicznych czynników”, jak „zdolno do zauwa enia, e egzystencjalnie kwantyfikowane zdanie jest prawdziwe”. Wydaje si jednak mocno
w tpliwe, czy przeci tny zjadacz chleba rozwi zuj cy ten problem „najwy ej po chwili namysłu” wspomaga si przy tym rozwa aniem egzystencjalnie kwantyfikowanych zda czy
innych logicznych formalizmów. Oczywi cie, zadanie mo na rozwi za formalnie, przy u yciu rachunku predykatów, ale wymaga to nieco wi cej, ni tylko chwili namysłu, jak si zaraz
przekonamy.
Rachunek predykatów. Czas ju obja ni ten rachunek predykatów. By nie przeci a czytelnika, postaram si zrobi to w du ym skrócie, pomijaj c to, co nie b dzie nam potrzebne do
analizy przykładów. Predykat to zdanie logiczne z pewn liczb argumentów, które, zale nie
od warto ci tych argumentów, mo e by albo prawdziwe, albo fałszywe. Zapisuje si je w
postaci elementarnej formuły o postaci PRED(a1, a2, ..., an), gdzie PRED jest nazw predykatu, a a1, a2, ..., an jego argumentami. Predykat z jednym argumentem, o postaci PRED(a),
okre la zwykle, e pewien obiekt a ma własno PRED (lub jest typu PRED, czy te nale y
do klasy PRED). Predykaty wieloargumentowe okre laj zwykle relacje, jakie zachodz mi dzy ich argumentami. Np. elementarna formuła KOT(Mruczek) okre la przynale no obiektu nazwanego „Mruczek” do klasy kotów, formuła BURY(Mruczek) okre la kolor (umaszczenie) Mruczka, a formuła WI KSZE(10, 5) okre la pewn relacj mi dzy liczbami 10 i 5.
W matematyce do zapisu niektórych relacji dwuargumentowych u ywa si zwyczajowo innej
notacji (tzw. infiksowej) – ostatni formuł zapisuje si wtedy pro ciej, jako 10 > 5.
Formuły elementarne mo na ł czy w bardziej zło one formuły, u ywaj c spójników logicznych (operatorów algebry logiki, zwanej te algebr Boole'a). Niebanalnych operatorów tego
typu jest 10, ale zwykle w logice wystarcza ich znacznie mniej, zazwyczaj tylko cztery lub
pi , które oznacza b dziemy słowami nie (negacja), lub (alternatywa), i (koniunkcja) oraz
je eli…to… (implikacja). Pi ty z cz ciej u ywanych (równowa no ) mo na w wi kszo ci
przypadków zast pi równo ci warto ci logicznych. Matematycy, zamiast u ytych wy ej
słów, stosuj zwykle specjalne symbole tych operatorów, których trzeba si nauczy , co jest
kłopotliwe, zwłaszcza, e istnieje kilka zestawów takich symboli, u ywanych przez ró ne
„szkoły” matematyczne. Dlatego te poprzestaniemy tutaj na tych słowach. Operator negacji
jest jednoargumentowy: nie BURY(Bonifacy) oznacza oczywi cie, e Bonifacy nie jest bury.
Pozostałe operatory s dwuargumentowe: CZARNY(Mruczek) lub CZARNY(Bonifacy)
mówi, e na pewno które z tych stworze jest czarne, ale równie dopuszcza, e czarne mog
by oba (alternatywa lub nie jest wykluczaj ca). Koniunkcja wymaga prawdziwo ci obu argumentów: KOT(Mruczek) i BURY(Mruczek) stwierdza, e Mruczek jest kotem, i to burym.
Implikacja je eli A to B opisuje wynikanie logiczne (tzw. „materialne”, nie przyczynowoskutkowe). Jest ona fałszywa tylko wtedy, gdy A jest prawdziwe, za B fałszywe, a jest prawdziwa we wszystkich pozostałych przypadkach. Jest zatem prawdziwa zawsze, gdy A jest
fałszywe, niezale nie od prawdziwo ci czy nieprawdziwo ci B (co si czasem okre la reguł
„z fałszu wynika wszystko”). Natomiast z prawdy (A prawdziwe) mo e wynikn tylko
prawda: jak podano wy ej, kombinacja, w której A jest prawdziwe, a B fałszywe to implikacja fałszywa. Argumentami predykatów mog by nazwy konkretnych obiektów (tzw. stałe,
jak imi „Mruczek” lub liczba „10”), zmienne (jak „x”, „y”) oznaczaj ce jakie bli ej nieokre-
62
lone obiekty, oraz funkcje, których argumentami mog by stałe lub zmienne. Oznaczaj one
obiekty b d ce rezultatami pewnych operacji na swoich argumentach. Np. je li kolor(x) oznacza funkcj okre laj c umaszczenie obiektu x, to predykat BURY(Mruczek) mo emy zapisa
równowa nie jako kolor(Mruczek) = Bury. Predykatem jest tutaj „RÓWNE”, zapisane infiksowo symbolem „=”.
Własno ci spójników logicznych okre laj prawa algebry Boole'a, zwane te tautologiami
logicznymi. Niech A, B oznaczaj zmienne zdaniowe, czyli zmienne mog ce przyjmowa tylko warto ci logiczne „fałsz” i „prawda”. Tautologie to formuły logiczne zawsze prawdziwe,
niezale nie od warto ci wyst puj cych w nich zmiennych zdaniowych. Mamy wi c np. prawo
podwójnej negacji: „nie nie A = A” i prawo wył czonego rodka: „prawd jest, e A lub nie
A, a nieprawd jest, e A i nie A”, itd. To ostatnie prawo stwierdza wa n własno zda ,
mianowicie, e zdanie i jego zaprzeczenie nie mog by ani jednocze nie prawdziwe, ani fałszywe – albo pierwsze musi by prawdziwe, a drugie fałszywe, albo na odwrót (nie ma trzeciej mo liwo ci, sk d nazwa prawa).
To, co opisali my do tej pory, to tylko cz
rachunku predykatów zwana rachunkiem zda .
Jak ju ustalił Arystoteles we wspomnianej wy ej sylogistyce, w rozumowaniach logicznych
trzeba jeszcze mie mo liwo okre lania, czy jaka własno dotyczy wszystkich elementów
jakiego zbioru, czy tylko niektórych z nich. W formalnym rachunku predykatów do tego celu
słu kwantyfikatory. U ywa si zazwyczaj dwu kwantyfikatorów: ogólnego, zapisywanego
(∀x), gdzie x jest dowoln zmienn i oznaczaj cego „Dla ka dego x zachodzi...”, oraz egzystencjalnego (lub szczegółowego), zapisywanego (∃x) i oznaczaj cego „Istnieje takie x, e...”.
Jak wskazuj trzy kropki w sformułowaniach znaczenia tych kwantyfikatorów, po kwantyfikatorze co musi jeszcze nast powa – mianowicie, formuła logiczna zawieraj ca zmienn
wyst puj c w kwantyfikatorze, np. x. Zmienna x staje si w ten sposób tzw. zmienn zwi zan (przez dany kwantyfikator).
Teraz mo emy ju zapisywa zdania tego typu, jak wyst puj ce w sylogistyce, np. „Ka dy
kot jest czworonogiem”, jak nast puje: (∀x) je eli KOT(x) to CZWORONÓG(x). Z kolei
inne zdanie tego typu „Niektóry kot jest bury”12 zapiszemy jako (∃x) KOT(x) i BURY(x).
Formuł t mo na równowa nie odczyta jako „Istnieje kot, który jest bury”. Kwantyfikatorami te rz dz cisłe prawa, zapisywane w postaci odpowiednich tautologii.
Zadanie Moore’a (2). Uzbrojeni w notacj rachunku predykatów mo emy próbowa zapisa
problem Moore'a w formalnym j zyku logiki. Mamy tam trzy klocki A, B i C, wi c zapiszmy
ten fakt: KLOCEK(A) i KLOCEK(B) i KLOCEK(C). Mamy te kolory klocków: ZIELONY(A) i NIEBIESKI(C). O kolorze klocka B nic nie wiemy. W sformułowaniu pytania mowa
jest o tym, e klocki, których szukamy, maj sta obok siebie, musimy wi c równie wprowadzi relacj „stania obok”. Na rysunku wida , e OBOK(A,B) i OBOK(B,C). Jak zapisa
pytanie? Otó szukamy konfiguracji dwóch klocków, które s obok siebie, przy czym jeden
jest zielony, a drugi nie, czyli pytamy o prawdziwo formuły (∃x)(∃y) KLOCEK(x) i KLOCEK(y) i OBOK(x,y) i ZIELONY(x) i nie ZIELONY(y). To byłby zapis problemu czytelny
dla człowieka.
Rachunek predykatów (2). Rozwi zuj c zadanie ci le logicznie musimy jednak całkowicie
zapomnie o klockach, ich ustawieniu, kolorach, itp. W formalnej logice predykatów nie maj
znaczenia nazwy obiektów czy predykatów – logika „nie wie”, co to znaczy „zielony”, czy
te „obok” i znaczenie (pozalogiczne) tych terminów w aden sposób nie wpływa bezpo rednio na prawdziwo czy fałszywo formuły. Cała informacja, której wolno nam u ywa ,
63
musi znajdowa si w formułach logicznych opisuj cych problem, a wi c okre lenie znacze
wyst puj cych w nich predykatów mo e mie tylko posta wyliczenia ich własno ci za pomoc zbioru odpowiednich tautologii. Przy formułowaniu dowolnej, formalnej teorii w j zyku predykatów, własno ci potrzebnych predykatów okre la si zwykle za pomoc tautologii
zwanych aksjomatami teorii. Automatycznie wlicza si do nich wszystkie tautologie logiczne,
opisuj ce własno ci spójników logicznych i kwantyfikatorów.
Zadanie Moore’a (3). Post pimy podobnie z naszym zadaniem, przy okazji upraszczaj c
troch jego zapis. Poniewa wszystkie obiekty w zadaniu spełniaj predykat KLOCEK(x), nie
niesie on adnej istotnej informacji, zatem mo emy go opu ci . Pozostałe predykaty nazwiemy pojedynczymi literami, by unikn niedozwolonych skojarze ze znaczeniami pozalogicznymi u ytych uprzednio słów. Otrzymamy zapis:
1) Q(A) i R(C)
2) P(A,B) i P(B,C)
3)
4) (∃x)(∃y) P(x,y) i Q(x) i nie Q(y)?
Zasadniczo, predykatowa reprezentacja problemu to jedna, długa formuła logiczna; tutaj została ona podzielona na kilka cz ci dla wygody opisu. Dwa pierwsze wiersze grupuj tzw.
fakty, czyli opis obiektów i relacji mi dzy nimi. Trzeci wiersz jest chwilowo pusty – jakie jest
jego znaczenie, oka e si poni ej. W czwartym wierszu mamy pytanie postawione w zadaniu,
czyli formuł (zwan cz sto celem), której prawdziwo ci nale y dowie , by odpowiedzie
pozytywnie na postawione pytanie. Zazwyczaj zreszt interesuje nas nie tyle sam fakt prawdziwo ci tej formuły, co znalezienie tzw. warto ciowania zmiennych (tu: x i y), dla którego
formuła staje si prawdziwa.
Spróbujmy teraz rozwi za nasz problem „na piechot ”, u ywaj c uzyskanego opisu predykatowego. Formuła w wierszu (4) pyta o dwa obiekty o okre lonych własno ciach. Spróbujmy
dopasowa do niej jakie obiekty z tych opisanych w wierszach (1) i (2). Najpierw wypróbujmy par (x = A, y = B). Warunki P(A,B) i Q(A) s dla tej pary spełnione, gorzej z warunkiem nie Q(B) – o własno ci Q dla obiektu B nic nie wiemy.
Wiemy natomiast, e albo Q(B), albo nie Q(B) (prawo wył czonego rodka). Czyli, gdyby
było nie Q(B), odpowied byłaby „tak”: istniej takie dwa klocki (x, y), e... A co byłoby w
drugim mo liwym przypadku, mianowicie, gdyby zachodziło Q(B)? Wtedy para (A, B) nie
spełnia warunków zadania, ale co z par (x = B, y = C)? Warunek P(B,C) jest spełniony, Warunek Q(B) równie byłby spełniony, pozostało nam wi c sprawdzi warunek nie Q(C). I tu
napotykamy na problem – wiadomo, e C ma własno R, ale nie wiemy, czy ma czy te nie
ma własno ci Q. Alternatywa podobna do tej, której u yli my dla obiektu B, nie da si tu zastosowa , bo nie mamy ju wi cej kombinacji obiektów, w których mo na by wykorzysta
wariant Q(C). Zatem odpowied brzmi „nie”... Czy aby na pewno? Je li wrócimy do pierwotnego sformułowania zadania, to zauwa ymy, e w realnym wiecie własno NIEBIESKI(C)
wyklucza własno ZIELONY(C). Jednak ta wiedza pochodzi spoza zadania – wynika ona z
ogólnych własno ci kolorów (zakładaj c, e nie uwzgl dniamy mo liwo ci wyst powania
klocków zielononiebieskich lub klocków pomalowanych w cz ci na zielono, a w cz ci na
niebiesko). Tłumacz c zadanie na j zyk logiki musimy wi c uzupełni sformułowanie zadania o t informacj nie podan w zadaniu, a dotycz c ogólnych własno ci kolorów. Jednym z
wymaga przy u ywaniu formalnego j zyka predykatów jest wła nie jawne uzupełnianie
sformułowania problemu o potrzebne własno ci wyst puj cych w nim obiektów (tautologie z
64
odpowiedniej teorii tych obiektów, w tym przypadku przyj tej teorii kolorów). Tworz one
trzeci , oprócz faktów i celów, cz
opisu problemu, nazywan regułami (gdy zazwyczaj
formuły te podaj , jak ze znanych faktów wnioskowa o innych własno ciach obiektów w
zadaniu). W naszym zadaniu musimy zatem doda trzeci wiersz, zawieraj cy tak reguł :
3) (∀x) je eli R(x) to nie Q(x),
czyli „ adna zielona rzecz nie jest niebieska” (albo bardziej „dosłownie”: „Ka da rzecz, je li
jest zielona, to nie jest niebieska”). Stosuj c tautologie rachunku predykatów mo emy z tej
reguły wywnioskowa je eli R(C) to nie Q(C), a z niej oraz z podanej własno ci R(C) wnioskujemy, e nie Q(C). A zatem w przypadku, gdy Q(B), warunek zadania spełnia para (B, C).
Czyli niezale nie od tego, czy B ma własno Q, czy jej nie ma, warunek zadania jest zawsze
spełniony – gdy nie Q(B), spełnia go para (A, B), gdy za Q(B), spełnia go para (B, C). Zauwa my, e w rozwi zaniu posłu yli my si metod dywergencji u yt w poprzednim odcinku,13 rozwa aj c dwa przypadki – jeden dla Q(B), drugi dla nie Q(B). Poniewa odpowied
„tak” jest taka sama w obu przypadkach, stanowi ona tak e odpowied dla całego zadania.
Istnieje wiele formalnych i mo liwych do zaimplementowania na komputerze metod rozwi zywania takich problemów w rachunku predykatów. We wszystkich tych metodach problem
stanowi wielka liczba wariantów warto ciowa zmiennych, które trzeba sprawdza , gdy nieuporz dkowany zbiór formuł predykatowych, na których operuj te metody, nie pozwala na
efektywn selekcj w przestrzeni mo liwo ci. W prostym przykładzie powy ej, przy rozwaaniu formuły z wiersza (4) nale ałoby sprawdzi wszystkie 9 ró nych warto ciowa zmiennych x i y. Rozwi zuj c zadanie, sprawdzili my tylko dwa z nich, gdy odrzucili my od razu
szereg kombinacji nie rokuj cych nadziei, jak np. (x = A, y = A) lub (x = A, y = C). Nie daje
si tego łatwo zrobi dla bardziej zło onych zada i ogólnych formalnych metod ich rozwi zywania.
Zadanie Moore’a (wersja diagramowa). Powró my do artykułu Moore'a. Twierdzi on dalej, e zadania nie da si rozwi za metodami diagramowymi, a to dlatego, e diagramy nie
potrafi reprezentowa wiedzy niepełnej – w zadaniu mamy tak wła nie sytuacj , gdy nie
wiemy, jaki kolor ma klocek B. Jest to cz sto przytaczany argument przeciwników stosowania reprezentacji diagramowych, niestety (czy raczej na szcz cie) fałszywy. Np. zadanie
Moore'a mo na rozwi za diagramowo przynajmniej na dwa sposoby, ró ni ce si sposobem
przedstawienia niepewno ci co do koloru klocka B.
Zanim przejdziemy do diagramowego rozwi zania zadania, musimy nieco przeformułowa
jego tre , gdy nie dysponujemy drukiem kolorowym w tym tek cie. Zapiszmy wi c to zadanie jak nast puje:
„Trzy klocki, A, B i C, ustawione s w podanej kolejno ci. Klocek A jest szary, klocek C jest
biały, a kolor klocka B nie jest znany. Czy przy takim ustawieniu klocków istnieje szary klocek stoj cy obok klocka, który nie jest szary?”
Pierwszym sposobem reprezentacji nieznanego koloru klocka B, jaki u yjemy, b dzie zastosowanie j zyka wizualnego, w którym połówki klocków o nieznanym kolorze pomalowane s
na dwa ró ne mo liwe kolory. Zapis faktów b dzie wi c wygl dał jak nast puje:
65
Zauwa my, e reguła (3) z reprezentacji predykatowej jest tu zb dna, bo diagram automatycznie pokazuje, e szare obszary nie s białe (jest to konsekwencja na ladowczo ci reprezentacji diagramowych).14 Etykiety A, B i C s tu równie zb dne. Cel (pytanie) zadania te
mo na zapisa diagramowo:
Teraz ju łatwo rozwi za zadanie, pokazuj c, e w ka dym wariancie zakolorowania rodkowego klocka poszukiwana para s siednich ró nokolorowych klocków wyst pi:
Drugi sposób rozwi zania, podobnie jak nasze rozwi zanie logiczne powy ej, wykorzystuje
znowu metod dywergencji u yt w poprzednim odcinku.15 Zastosujemy dwa warianty przedstawienia konfiguracji dla dwóch mo liwych kolorów rodkowego klocka:
W ka dym z nich wyst puje poszukiwana konfiguracja:
Zadanie mechaniczne (posta predykatowa). Przyjrzyjmy si teraz bardziej zło onemu
przykładowi.16 W tabelce poni ej mamy opis (w rachunku predykatów) pewnego prostego
zadania mechanicznego. Zawiera on tzw. baz faktów opisuj cych elementy pewnego układu
mechanicznego (argumentami predykatów s stałe – nazwy elementów układu), cztery reguły
pozwalaj ce uzyskiwa nowe fakty na podstawie ju znanych oraz formuł celu zadania. Formuł t nale y udowodni , przy okazji znajduj c odpowiedni warto zmiennej y, dla której
jest ona prawdziwa, i która to warto jest szukan odpowiedzi w zadaniu.
Jak to si zwykle czyni w takich przykładach, spójniki „i” zast piono w opisie przecinkami
oraz opuszczono kwantyfikatory – zakłada si , e wszystkie zmienne w formułach s zwi zane kwantyfikatorem ogólnym („Dla ka dego...”), oprócz formuły celu, gdzie wyst puje kwantyfikator szczegółowy („Istnieje takie y…”). Konia z rz dem temu, kto na podstawie tej reprezentacji zadania rozpozna, o jaki układ mechaniczny w nim chodzi i w jaki sposób on
działa (co ci le i formalnie opisuj podane reguły). Semantyka tak opisanego problemu jest
całkowicie nieczytelna dla człowieka. Co za tym idzie, rozwi zanie zadania w takiej reprezentacji musi w zasadzie post powa całkowicie „na lepo”, poprzez mechaniczne wypróbowywanie ró nych warto ciowa zmiennych w regułach, a która z nich „zadziała” (to znaczy, oka e si , e warunek reguły, czyli formuła mi dzy słowami Je eli i to oka e si prawdziwa). Wtedy b dzie mo na wygenerowa formuł podan po słowie to w regule (wniosek
reguły) i doda j do bazy faktów. To post powanie trzeba powtarza dot d, a kolejna utwo-
66
"!#%$'&)(* + (,-&.(-#,/0-&."1)2*3456798 2*345;:9798
2=<>4?5A@B798 2=<>4?5AC'7D8E2=<>45;F7D82=<45=G'798 2=<H45;I9798 2=<H45=J798 2=<H45=K798
2;L4?5M6ON'798 2;L45M6?6798 2;L456P:798
2=QR456S@798
2=T45 @ 85 6ON 85 C 798E2=T45 I 85 6?6 85 J 798 2=T45 J 85 6U: 85 K 798
2=V;45685A@B798 2=V;456SN'85;I798 2=V;4566985=G7D82=V;4?5M6U:85WFB798
2;XR45 : 85 C 85 F 798 2;XR4?5 6O@ 85 G 85 K 7
2=YR45698'Z[7
\] ^`_ba cd
"e9[&gf'hei1.[MjH
#[;$HkP&.(/lh
)1(9'm$e?-;`
nf f'./#9o
pbqSr"s"ut v
w[x
ydz | { z.} ~ 23R4P€6798 2=<H4P€h:97D8 2AV;4U€*6989€:798 2=Y`4U€*689€#@B7
D‚ 2AYƒ4P€ : 89€ @ 7
pbqSr"s"ut vR„"x
ydz | { z.} ~ 2;L4P€ C 798 2=<>4U€ F 798 2=<H4P€ G 798=4P2=T4P€ F 89€ C 89€ G 7 }†…h‡ 2=T4P€ G 89€ C 89€ F i7 798 2=Y`4U€ F 98 € I 7
D‚ 2AYƒ4P€G[89€hI97
pbqSr"s"ut vRˆ"x
ydz | { z.} ~ 2;L4P€ J 798 2=<>4U€ K 798 2=<H4P€ 6SN 798E2=<H4P€ 6?6 798 2=T4P€ K 89€ J 89€ 6SN 798 2=V;4P€ J 89€ 6?6 798
2=YR4U€#K'89€*6U:9798 2=Y4P€*6SN89€*6S@7
D‚ 2AYƒ4P€ 66 89€ 6P: ‰ € 6S@ 7
pbqSr"s"ut v>Š.x
ydz | { z.} ~ 23R4P€ 6SC 798 2=<4P€ 6PF 798 2=<H4P€ 6SG 798 2;X4P€ 6SC 8i€ 6PF 89€ 6SG 7D82=Y4P€ 6UF 89€ 6UI 97 8 2=YR4U€ 6SG 98 € 6SJ 7
D‚ 2AYƒ4P€6SC'89€6PI ‰ €6SJ7
‹ ]bc*hf'hei1M`
f [,(. 
ŒhŽ#1.
&)(* ,$?e'%m
2=YR45 : 8 Œ 7
rzona formuła b dzie pasowała do formuły celu. Wtedy warto
zmiennej y da nam poszukiwan odpowied .
przypisana w tej formule
Na pocz tku takiego post powania tylko Reguł 1 mo na zmusi do zadziałania, poprzez nast puj ce podstawienia na zmienne: (x1 = C1, x2 = C3, x3 = 1), co pozwoli doda do bazy faktów elementarn formuł PH(C3,1). Wykorzystuj c t now formuł mo na z kolei uruchomi
Reguł 2, itd. Na ka dym etapie, mimo wzgl dnej prostoty tego zadania, trzeba sprawdzi
mnóstwo wariantów podstawie obiektów na zmienne. Np. przy nieuporz dkowanej bazie
faktów nale ałoby porówna 279841 mo liwych kombinacji faktów z bazy z warunkiem Reguły 1, by móc sprawdzi jej stosowalno . Sortuj c baz faktów według nazw predykatów
(jak to ju zrobiono w tabelce) i przegl daj c, dla ka dego predykatu w warunku reguły, tylko
fakty z odpowiedniej grupy bazy faktów, dostaniemy do sprawdzenia ju tylko 56 kombinacji
podstawie na zmienne. Znacznie gorzej jest z bardziej zło on Reguł 3: dla niej mamy ponad 78 miliardów mo liwych kombinacji faktów, albo 12348 podstawie (po posortowaniu
faktów). Stosuj c kolejne ulepszenia struktury bazy faktów i reguł mo na cz sto uzyska dalsze zmniejszenie liczby wariantów, za cen skomplikowania struktury systemu.
67
W systemach ekspertowych wykorzystuj cych j zyk predykatów, do rozwi zywania takich
zada stosuje si ró ne metody (oprócz tej zaprezentowanej, nazywanej po angielsku „forward chaining”, czyli dosłownie „sznurowanie w przód”), np. takie jak popularna metoda
rezolucji17 lub „sznurowanie w tył” („backward chaining”). Ta ostatnia metoda zaczyna od
formuły b d cej celem, nast pnie szuka reguł, z których mo na j wyprowadzi , a potem
stara si znale fakty i reguły, potrzebne z kolei do wyprowadzenia warunków wyst puj cych w tych regułach, itd. W zale no ci od zadania, inne metody pozwalaj uzyska
wi ksz efektywno rozwi zywania, cz sto te stosuje si kombinacje ró nych metod.
Zadanie mechaniczne (posta diagramowa). Bardziej naturaln reprezentacj dla zadania
dotycz cego układu mechanicznego jest niew tpliwie diagram tego układu. Oto i on:
Jak wida , jest to zespół kr ków obci ony dwoma ci arkami, a zadanie polega na tym,
eby okre li wag ci arka C2, dla której układ b dzie w równowadze, je li ci ar ci arka
C1 jest równy 1. Elementy diagramu oznaczono nazwami stałych u ytych w reprezentacji
predykatowej, a z boku diagramu podano legend tłumacz c elementy diagramu i relacje
mi dzy nimi na nazwy predykatów u yte w tej reprezentacji.
Rozwi zanie zadania w tej reprezentacji jest dla człowieka proste, je li reguły działania kr ków zapisa tak e w postaci diagramowej. Co zrobiono na tym rysunku:
68
Cztery reguły, podane w reprezentacji logicznej w tabelce, narysowane s tutaj w postaci diagramowych reguł przepisywania na diagramie układu. Np. pierwsza z nich powiada, e je li
jaki ci arek wisi na sznurze, a waga tego ci arka wynosi n, to napr enie sznura równie
wynosi n. Stosuj c te reguły w odpowiedniej kolejno ci, zaczynaj c od ci arka,
którego wag znamy, czyli od obiektu C1
spełniaj cego predykat PH(C1,1), mo emy
w ko cu doj do okre lenia potrzebnego
ci aru ci arka C2, jak pokazano na rysunku obok. Jak wida , przeszukiwanie
wielkiej liczby ró nych podstawie na
zmienne nie jest tu potrzebne. Gdy ju
znajdziemy punkt pocz tkowy (ci arek o
znanej wadze), kolejne kroki s dyktowane
jednoznacznie przez struktur diagramu.
Jedyne miejsca, w których teoretycznie
istnieje wi cej ni jedna mo liwo , to kroki (3) i (5). W kroku (3), oprócz Reguły 3
(kr ek na sznurze) pasowałaby Reguła 4
(ci arek na dwu sznurach). Tej ostatniej
nie mo emy jednak w tym momencie zastosowa , bo nie jest jeszcze znane napr enie drugiego sznura – znajdziemy go dopiero w kroku (7). W kroku (5) mo na by zastosowa Reguł 3 do wyliczenia napr enia w
sznurze zamocowanym do sufitu, ale ten kierunek rozumowania stanowi lep uliczk oddalaj c nas od celu, jakim jest ci arek C2, wi c łatwo jest zdecydowa o jego odrzuceniu.
Diagramy czy predykaty? Porównanie reprezentacji opartej o rachunek predykatów z reprezentacjami diagramowymi wypada, dla powy szych przykładów, wyra nie na korzy
tych ostatnich. Nie oznacza to jednak, e zawsze tak musi by . Reprezentacja predykatowa
ma równie swoje zalety, np. jest uniwersalna: mo na w niej, teoretycznie, zapisa ka dy dobrze zdefiniowany problem, podczas gdy j zyki wizualne s zwykle wyspecjalizowane do
w skich klas zada i dla problemu nowego typu trzeba cz sto konstruowa cały nowy j zyk
wizualny.18 Przekazywanie całej wiedzy wył cznie przez struktury formuł, a nie przez bezporednie odniesienia nazw obiektów i predykatów do ich rzeczywistych denotacji wymusza
jawne sformułowanie wszystkich potrzebnych własno ci opisywanych obiektów (jak np. reguła wykluczania si kolorów w przykładzie Moore'a), przez co unika si „przemycania” ró nych ukrytych zało e mog cych prowadzi do bł du, co zdarza si w reprezentacjach diagramowych. Wnioskowanie diagramowe ci gle z trudem poddaje si formalizacji, a istniej ce
formalizacje cz sto niwecz główn zalet diagramów, jak jest bezpo redni wgl d w sens
przedstawionej informacji. Niew tpliwie sytuacj istotnie zmieni dalszy rozwój wiedzy o reprezentacjach diagramowych, je li wło y si w niego przynajmniej tyle wysiłku, co w rozwój
reprezentacji predykatowych.
W wielu przypadkach dopiero wła ciwe poł czenie tych dwóch reprezentacji – logicznej i
diagramowej – daje optymalny efekt, st d wielka rola, jak odgrywaj w praktyce takie hybrydowe systemy reprezentacji.19 Innym sposobem ł czenia tych dwóch podej jest u ycie
diagramów do reprezentacji wnioskowa logicznych, jak próbował to zrobi tak e Frege. Takie diagramy logiczne b d tematem nast pnych odcinków cyklu.
Zenon Kulpa
69
1
W oryginale: “... the Old Entish ..., a lovely language, but it takes a very long time to say anything in it ...”.
Tłum. z ang. Zenon Kulpa.
2
Zenon Kulpa: Co to s diagramy: czy to sposób na pomieszanie j zyków? Tytuł Roboczy, 2004.12 (004); Zenon
Kulpa: Reprezentacje diagramowe, czyli jak mówi obrazkami. Tytuł Roboczy, 2005.09/10 (009).
3
Arystoteles ze Stagiry (384-322 p.n.e.), najwszechstronniejszy uczony staro ytnej Grecji, najwi kszy z uczniów Platona, nauczyciel Aleksandra Wielkiego, poło ył fundamenty pod wiele dziedzin nauki – filozofi , logik , fizyk , biologi , psychologi i in.
4
Jerzy [George] Boole (1815-1864), matematyk i filozof angielski, twórca algebry logiki (algebry Boole’a).
5
Fryderyk Ludwik Gottlob Frege (1848-1925), niemiecki matematyk, logik i filozof, uwa any za najwi kszego
logika po Arystotelesie. Był twórc filozoficzno-matematycznego kierunku zwanego logicyzmem, który poj cia
matematyki sprowadzał do poj logicznych.
6
Gottlob Frege: Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle
a. S. 1879. [Tłum. ang.: Gottlob Frege: Begriffsschrift, A Formula Language, Modeled Upon That of Arithmetic,
For Pure Thought. Reprinted in: Jean van Heijenoort, ed.: From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical
Logic, 1879–1931. Harvard University Press, Cambridge, MA 1967.]
7
Zenon Kulpa: Obraz jest wart tysi ca słów, czyli tysi c i troch słów o diagramach. Tytuł Roboczy, 2004.11
(003).
8
Klasycznym podr cznikiem predykatowego podej cia do budowy systemów ekspertowych jest: Nils J. Nillson:
Principles of Artificial Intelligence. Tioga Publ. Co., Palo Alto, CA, and Morgan Kaufmann, San Mateo, CA
1980; tak e Springer-Verlag, Berlin 1982.
9
Jedne z pierwszych pozycji z tego zakresu: Saul Amarel: On representations of problems of reasoning about
actions. In: Donald Michie, ed.: Machine Intelligence 3. Edinburgh University Press, Edinburgh 1968, 131-171;
Aaron Sloman: Interactions between philosophy and AI: The role of intuition and non-logical reasoning in intelligence. Artificial Intelligence, 2 (1971), 209-225.
10
Robert C. Moore: The role of logic in knowledge representation and commonsense reasoning. In: Proc. 2nd
National Conference on Artificial Intelligence (AAAI-82). William Kaufmann, Los Altos, CA 1982, 428-433.
Bardziej precyzyjna i formalna analiza tego przykładu znajduje si w: Zenon Kulpa: From Picture Processing to
Interval Diagrams. IFTR PAS Reports 4/2003, Warsaw 2003.
(zob. http://www.ippt.gov.pl/~zkulpa/diagrams/fpptid.html).
11
Cytaty z artykułu Moore’a w tłumaczeniu autora.
12
Niezbyt zr czna gramatycznie forma tego zdania jest zamierzona i wynika z przyj tych konwencji w sylogistyce (niezbyt pasuj cych do j zyka polskiego), patrz nast pny odcinek cyklu.
13
Zenon Kulpa: Jednostkowo
14
Zenon Kulpa: Co to s diagramy …, op. cit.
15
Zenon Kulpa: Jednostkowo
diagramów, czyli siła i słabo
konkretu. Tytuł Roboczy, 2006.01/02 (011).
diagramów …, op. cit.
16
Pierwotna wersja zadania pochodzi z: Jill H. Larkin, Herbert A. Simon: Why a diagram is (sometimes)
worth ten thousand words. Cognitive Science, 11 (1987), 65-99. Zostało ono przeformułowane przez autora i
zanalizowane w nowy sposób w: Zenon Kulpa: From Picture Processing…, op. cit., sk d zaczerpni to elementy
tej analizy na u ytek tego tekstu.
17
Metod rezolucji opisał pierwszy Alan Robinson, w: John Alan Robinson: A machine-oriented logic based on
the resolution principle. Journal of the ACM, 12(1) (1965), 23-41. Krótki opis metody rezolucji i rozwi zanie
przykładu Moore’a t metod znajduje si w: Zenon Kulpa: From Picture Processing …, op. cit.
18
Jako przykład takiego tworzenia nowego j zyka wizualnego dla pewnej dziedziny matematyki mo e słu y
opracowany przez autora system diagramowej reprezentacji dla algebry przedziałów: Zenon Kulpa: Designing
diagrammatic notation for interval analysis. Information Design Journal + Document Design, 12(1) (2004),
52-62; patrz te : Zenon Kulpa: From Picture Processing …, op. cit.
19
Michał Kleiber, Zenon Kulpa: Computer-assisted hybrid reasoning in simulation and analysis of physical
systems. Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences, 2(3) (1995), 165-186. Rola tych dwu reprezentacji w takich poł czeniach jest te omówiona w: Zenon Kulpa: Jednostkowo diagramów …, op. cit.
70