gadkowej postaci stałej separacji w równaniu Laplace J

Nadszedł wreszcie moment, w którym potrafimy ujawnić pochodzenie zagadkowej postaci stałej separacji w równaniu Laplace’a (por. podrozdzial 2.2).
Jak stwierdziliśmy wtedy, przyjęcie takiej właśnie stałej separacji — iloczynu
kolejnych nieujemnych liczb całkowitych, prowadzi m.in do równania (stowarzyszonego albo zwykego) Legendre’a. Z kolei w tabeli 2.1 równanie Legendre’a
figuruje jako równanie klasy Fuchsa, o trzech kolejnych punktach osobliwych:
−1, 1, ∞ co sugeruje jego bliskie powinowactwo z równaniem Gaussa. Aby wyjaśnić sprawę do końca, dokonujemy następujcego rachunku. Przypuśćmy, że
chcemy rozwiązać równanie Legendre’a — dla uproszczenia zwykłe — przy dowolnej postaci stałej separacji, np. λ:
1 d
dT
sin θ
+ λT = 0
(1)
sin θ dθ
dθ
Podstawienie ζ = cos θ, dζ = − sin θdθ prowadzi do [T (θ) → Θ (cos θ)]:
d
2 dΘ
1−ζ
+ λΘ (ζ) = 0
dζ
dζ
albo
00
Θ (ζ) −
0
λ
2ζ
Θ (ζ) +
Θ = 0.
1 − ζ2
1 − ζ2
(2)
(3)
Aby przeprowadzić powyższe równanie w równanie Gaussa, wystarczy dokonać
jeszcze jednej zamiany zmiennej: x = (ζ + 1)/2
[Θ(ζ) → y(x)]. Po elementarnych rachunkach otrzymujemy
00
y (x) +
2x − 1 0
λ
y (x) −
y(x) = 0.
x(x − 1)
x(x − 1)
(4)
Jest to niewątpliwie równanie Gaussa. Trzy parametry równania α, β, γ wyznaczamy porównując ( 3 ) z postacią kanoniczną (2.88). I tak γ = 1, natomiast

√
 α1,2 = 21 (1 ± 1 + 4λ)
α+β =
1
(5)
=⇒
√
α · β = −λ

β1,2 = 21 (1 ∓ 1 + 4λ)
Uzyskana symetria w parach (α1 , β1 ) i (α2 , β2 ), a także fakt, że γ = 1 (por.
wzór (2.94) ( i jego dyskusję) świadczą, że równanie (3) będzie miało tylko
jedno rozwiązanie w postaci szeregu hipergeometrycznego. Wydawałoby się, że
nic nie stoi na przeszkodzie, aby zapisać
√
√
1
1
?
y(x) = F
(1 ± 1 + 4λ), (1 ∓ 1 + 4λ), 1; x .
(6)
2
2
Otóż powyższe rozwiązanie okazuje się nieprzydatne. Szereg hipergeometryczny
nie jest jednostajnie zbieżny dla całego interesującego nas zakresu zmiennej x.
1