1.1 Liczby zespolone

1
IMiF, UTP
1.1
Liczby zespolone
Zbiór liczb zespolonych C = R × R = {(a, b); a, b ∈ R}. Postać algebraiczna z = a + bi, gdzie i2 = −1,
a, b ∈ R, a = Re z – część rzeczywista, b = Im z – część urojona.
Działania na liczbach zespolonych. Niech z1 = a1 + b1 i, z2 = a2 + b2 i. Wówczas
1. z1 = z2 ⇔ a1 = a2 oraz b1 = b2
2. z1 ± z2 = (a1 ± a2 ) + (b1 ± b2 )i
3. z1 · z2 = (a1 · a2 − b1 · b2 ) + (a1 · b2 + a2 · b1 )i.
Przykład 1.1. a) 2a + 5b + 3ai = 11 − 6i ⇔ 2a + 5b = 11 oraz 3a = −6. Zatem a = −2, b = 3.
b) Niech teraz z1 = 3 + 4i, z2 = 5 − 2i. Obliczymy
z1 + z2 = (3 + 4i) + (5 − 2i) = 8 + 2i,
z1 − z2 = (3 + 4i) − (5 − 2i) = −2 + 6i
z1 · z2 = (3 + 4i) · (5 − 2i) = 15 − 6i + 20i − 8i2 = 23 + 14i
3 + 4i
3 + 4i 5 + 2i
15 + 6i + 20i + 8i2
7 + 26i
7
26
z1
=
=
·
=
=
=
+ i.
2
z2
5 − 2i
5 − 2i 5 + 2i
25 − 4i
29
29 29
Definicja 1.2. Liczbą sprzężoną do liczby z = a + bi nazywamy liczbę z = a − bi.
Sprzężenie sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu to odpowiednio suma, różnica, iloczyn i iloraz sprzężeń (o
ile jest dobrze określone).
Postać trygonometryczna:
z = r (cos ϕ + i sin ϕ) ,
gdzie r – odległość punktu z = (a, b) od początku układu współrzędnych, a ϕ – kąt między promieniem
wodzącym punktu z a osią OX.
oś urojona
b
rz
r
ϕ
−ϕ
a
oś rzeczywista
rz̄
Definicja 1.3. Modułem liczby z = a + bi nazywamy liczbę rzeczywistą |z| =
√
a2 + b2 .
Moduł – uogólnienie wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej, geometrycznie – odległość (a, b) od (0, 0).
Liczba rzeczywista ϕ ∈ [0, 2π) nazywana argumentem głównym liczby z jest jednoznacznie dla niej
wyznaczona. Jeśli z = 0, to przyjmujemy ϕ = 0. Zauważmy, że z równości z = a + bi = |z| (cos ϕ + i sin ϕ)
dla z 6= 0 wynika, że kąt ϕ spełnia zależności: cos ϕ = a/|z| oraz sin ϕ = b/|z|.
Twierdzenie 1.4. (Własności modułu) |z|2 = z · z̄; |z| = |z| oraz
|z1 + z2 | ¬ |z1 | + |z2 |; ||z1 | − |z2 || ¬ |z1 − z2 |; |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |;
z 1
z2 =
|z1 |
, jeżeli z2 6= 0.
|z2 |
2
IMiF, UTP
Przykład 1.5. Niech, tak jak wcześniej z1 = 3 + 4i, z2 = 5 − 2i. Obliczymy
z1 = 3 − 4i,
z2 = 5 + 2i
z1
z2
= 7/29 − 26/29 i
z1 + z2 = 8 − 2i,
z1 − z2 = −2 − 6i,
z1 · z2 = 23 − 14i,
√
√
√
|z1 | = 9 + 16 = 5,
|z2 | = 25 + 4 = 29
√
√
√
√
√
√
√
|z1 + z2 | = 64 + 4 = 2 17, |z1 − z2 | = 4 + 36 = 2 10, |z1 · z2 | = 529 + 196 = 725 = 5 29
Przykład 1.6. Rozwiąż równania lub nierówność
a) |z − 1| = 2; b) |z + 3i| = 3; c) 1 < |z + 2| < 4; d) |z| − z = 1 + 2i; e) i(z − z) + i(z + z) = 2i − 3.
Rozwiązanie. Niech z = x + iy.
a) |x + iy − 1| = 2 ⇔ (x − 1)2 + y 2 = 4. R-nie opisuje okrąg o środku w punkcie (1, 0) i promieniu 2.
b) |x + (y + 3)i| = 3 ⇔ x2 + (y + 3)2 = 9. Równanie opisuje okrąg o środku w (0, −3) i promieniu 3.
c) 1 < |x + 2 + yi| < 4 ⇔ 1 < (x + 2)2 + y 2 < 16. Nierówności opisują pierścień kołowy o środku
w punkcie
√
√ (−2, 0) i promieniach 1 i 4.√
d) x2 + y 2 − x − iy = 1 + 2i ⇔ x2 + y 2 − x = 1 oraz −y = 2. Zatem y = −2 i x2 + 4 = 1 + x ⇔
x2 + 4 = 1 + 2x + x2 ⇔ x = 3/2. W konsekwencji z = 3/2 − 2i.
e) 2iz = 2i − 3 ⇔ 2x = 2 oraz −2y = −3, więc z = 1 + 3i/2.
Przykład 1.7.√a) Przedstawimy z1 = −1√+ i w postaci √
trygonometrycznej. Mamy a1 = −1, b1 = 1.
Liczymy |z1 | = 2. Ponieważ cos ϕ1 = −1/ 2, sin ϕ1 = 1/ 2, więc ϕ1 = 3π/4. Zatem
√ 3π
3π
.
z1 = 2 cos
+ i sin
4
4
√
√
√b) Niech z2 = 2 − 2 3 i. Mamy a2 = 2, b2 = −2 3. Liczymy |z2 | = 4. Ponieważ cos ϕ2 = 1/2, sin ϕ2 =
− 3/2, więc ϕ2 = 5π/3. Zatem
5π
5π
.
+ i sin
z2 = 4 cos
3
3
Twierdzenie 1.8. Niech z1 = r1 cos ϕ1 + i sin ϕ1 oraz z2 = r2 cos ϕ2 + i sin ϕ2 . Wówczas
z1 · z2 = r1 · r2 cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )
!
oraz
!
z1
r1
cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 ) .
=
z2
r2
Wniosek 1.9 (wzór de Moivre’a.). Niech z = r cos ϕ + i sin ϕ . Wówczas z n = r n cos nϕ + i sin nϕ .
29π
5π
3π 5π
+
=
= 2π +
, więc
4
3
12
12
√ 5π
5π
z1 · z2 = 4 2 cos
+ i sin
12
12
Przykład 1.10. Dla z1 i z2 z poprzedniego przykładu mamy
oraz
z18
1.2
=
√ 8 2
3π
3π
+ i sin 8 ·
· cos 8 ·
4
4
= 16 (cos 2π + i sin 2π) = 16.
Funkcje zmiennej zespolonej
Definicja 1.11. Funkcję f : A 7→ B, gdzie A i B są podzbiorami C nazywamy funkcją zmiennej zespolonej,
o ile każdej liczbie z ∈ A przyporządkowana jest pewna liczba w ∈ B, tzn. f (z) = w.
Zauważmy że, jeśli z = x + iy, to f (z) = f (x + iy) ≡ f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y), gdzie u(x, y), v(x, y)
to odpowiednio część rzeczywista i urojona liczby w.
Uwaga. Przyporządkowanie to nie musi być jednoznaczne.
3
IMiF, UTP
1.2.1
Pierwiastek n-tego stopnia
Definicja 1.12. Pierwiastkiem stopnia n z liczby z nazywamy każdą liczbę w spełniającą w n = z.
Twierdzenie 1.13. Każda liczba zespolona z = |z| cos ϕ + i sin ϕ ma dokładnie n pierwiastków stopnia
n. Zbiór tych pierwiastków jest postaci
zk =
ϕ + 2kπ
|z| cos
n
q
n
!
ϕ + 2kπ
+ i sin
n
!!
, k = 0, 1, . . . , n − 1.
Pierwiastek n-tego stopnia można interpretować jako funkcję f (z) =
√
n
z przyjmującą n różnych wartości.
Przykład 1.14.
a) Rozwiąż równanie z 4 − 1 = 0 w zbiorze liczb zespolonych. Innymi słowy: wyznacz
pierwiastki czwartego stopnia z jedynki.
√
b) Znajdź pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z = 3 + i.
Rozwiązanie. a) Dla z = 1 mamy a = 1, b = 0, |z| = 1 oraz ϕ = 0 (liczba rzeczywista leży na osi OX).
Korzystając z powyższego twierdzenia mamy
z0 = 1 · (cos 0 + i sin 0) = 1, z1 = cos(π/2) + i sin(π/2) = i,
z2 = cos π + i sin π = −1, z3 = cos(3π/2) + i sin(3π/2) = −i.
A zatem pierwiastkami
czwartego stopnia z jedynki są: 1, i, −1, −i.
√
b) Mamy a = 3, b = 1, |z| = 2 oraz ϕ = π/6. Korzystając z powyższego twierdzenia mamy
√
√
√
π
13
25
π
13
25
3
3
3
, z1 = 2 · cos π + i sin π , z2 = 2 · cos π + i sin π . + i sin
z0 = 2 · cos
18
18
18
18
18
18
1.2.2
Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej
Definicja 1.15. Funkcję zmiennej zespolonej f (z) = ez , gdzie dla z = x + yi, ez = ex (cos y + i sin y),
nazywamy funkcją wykładniczą zmiennej zespolonej.
ez1
Dla liczb zespolonych zachodzi: ez1 · ez2 = ez1 +z2 , z2 = ez1 −z2 , ez 6= 0, ez+2πi = ez . Ostatni warunek
e
oznacza, że funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej jest funkcją okresową o okresie zespolonym 2πi .
Przykład 1.16. Policzymy wartość wyrażenia e1−πi . Mamy
e1−πi = e1 (cos(−π) + i sin(−π)) = e (cos π − i sin π) = −e.
Definicja 1.17. Postacią wykładniczą (biegunową) liczby zespolonej z = |z| cos ϕ+i sin ϕ jest z = |z|eiϕ .
√
Przykład 1.18. Znajdziemy postaci wykładnicze dla z1 = 1 + i i z2 = −1 − i. Mamy |z1 | = |z2 | = 2,
ϕ1 = π/4, ϕ2 = 5π/4. A zatem
√
√
z1 = 2eiπ/4 ,
z2 = 2e5πi/4 .
Zauważmy, że postać wykładnicza jest wygodna dla mnożenia i dzielenia liczb. Dla powyższego przykładu:
√ iπ/4
√ iπ/4 √ 5πi/4
2e
z1
3πi/2
= √ 5πi/4 = e−iπ = −1.
z1 · z2 = 2e
· 2e
= 2e
= −2i,
z2
2e
Twierdzenie 1.19 (Wzory Eulera). eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ, w szczególności, dla ϕ = π eiπ + 1 = 0. Ponadto,
eiϕ + e−iϕ
eiϕ − e−iϕ
cos ϕ =
sin ϕ =
.
2
2i
Z powyższych wzorów wynika, że sinus i cosinus są okresowe o okresie 2π i przyjmują wartości w C.
Przykład 1.20. Wyznaczymy wartość cos(2i). Mamy
1 −2
1 2i2
2
e + e−2i =
e + e2 .
cos(2i) =
2
2
Zauważmy, że liczba cos(2i) jest rzeczywista i jest większa od jeden.
4
IMiF, UTP
1.2.3
Logarytm zespolony
Definicja 1.21. Funkcją logarytmiczną zmiennej zespolonej nazywamy funkcję
f (z) = ln z = ln |z| + i(ϕ + 2kπ),
k ∈ Z.
Zauważmy, że funkcja logarytm przyjmuje nieskończenie wiele wartości (jest funkcją wieloznaczną),
gdyż daje różne wartości dla różnych wartości k. Dla k = 0 otrzymujemy wartość (gałąź) główną logarytmu
oznaczoną czasami przez Ln.
√
Przykład 1.22. Wyznaczymy ln(−1) oraz ln(1 + i). Ponieważ −1 = 1 · eiπ oraz 1 + i = 2eiπ/4 więc
ln(−1) = ln 1 + i(π + 2kπ) = iπ + 2kπi,
ln(1 + i) = ln
1.2.4
√
k ∈ Z,
Ln(−1) = iπ
1
π
π
+ 2kπ = ln 2 + i
+ 2kπ ,
2+i
4
2
4
k ∈ Z.
Wielomiany o współczynnikach zespolonych
Definicja 1.23. Wielomianem stopnia n ∈ N o współczynnikach zespolonych nazywamy funkcję zmiennej
zespolonej z postaci
W (z) = an zn + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 ,
gdzie a0 , a1 , . . . , an ∈ C, przy czym an 6= 0. Wielomianem zerowym nazywamy funkcję W (z) = 0 dla z ∈ C.
Twierdzenie 1.24 (Podstawowe twierdzenie algebry). Każdy wielomian W stopnia n w dziedzinie zespolonej ma dokładnie n pierwiastków zespolonych (uwzględniając krotności) i daje się zapisać w postaci
W (z) = an (z − z1 ) · · · (z − zn ), gdzie z1 , . . . , zn są wszystkimi pierwiastkami wielomianu W .
Z twierdzenia wynika w szczególności, że każdy trójmian kwadratowy W (z) = az 2 + bz + c, gdzie
a, b, c ∈ C i a 6= 0, daje się zapisać w postaci W (z) = a(z − z1 )(z − z2 ), gdzie pierwiastki z1 , z2 wyrażają
się wzorami
−b + δ1
−b + δ2
z1 =
,
z2 =
,
2a
2a
a δ1 , δ2 są pierwiastkami stopnia drugiego równania b2 − 4ac = 0.
Przykład 1.25. Rozwiąż równania w zbiorze liczb zespolonych.
a) z 2 + 16 = 0 b) z 2 + 2z + 2 = 0 c) iz 2 + (2 − 2i)z − i − 2 = 0 d) z 2 − 3z + 3 + i = 0.
Rozwiązanie.
a) Mamy z 2 = −16 = 16 · (−1) = 42 · i2 = (4i)2 , więc z1 = 4i, z2 = −4i.
b) Mamy ∆ = −4 = 22 · i2 = (2i)2 , więc z1 =
−2 − 2i
−2 + 2i
= −1 − i oraz z2 =
= −1 + i.
2
2
c) Policzmy ∆ = (2 − 2i)2 − 4i(−i − 2) = −8i − 4 + 8i = −4 = (2i)2 czyli δ1 = 2i, δ2 = −2i. A stąd
−2 + 2i − 2i
−2 + 2i + 2i
= 2 + i oraz z2 =
= i.
z1 =
2i
2i
d) Mamy ∆ = −3 − 4i. Ponieważ cos ϕ = −3/5, sin ϕ = −4/5, więc bez tablic nie potrafimy znaleźć
wartości kąta ϕ. Innym sposobem znajdziemy pierwiastki z ∆. Poszukamy x, y ∈ R takich, że
(x + iy)2 = −3 − 4i,
2
tzn. x2 − y 2 = −3 oraz 2xy = −4 ⇔ y = − , x4 + 3x2 − 4 = 0.
x
A stąd x = 1 i y = −2 lub x = −1 i y = 2. W konsekwencji, z1 = 2 − i, z2 == 1 + i.
5
IMiF, UTP
Zadania
1. Na płaszczyźnie zespolonej narysuj zbiory liczb z spełniających podane warunki:
a) Im (1 + 2i)z − 3i < 0
d) 1 ¬ |z + i| < 3
b) Rez ­ 3
c) Re(z + i) ­ 2
e) |z| = Rez + 1.
2. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby:
a) (2 + i)(4 − i) + (1 + 2i)(3 + 4i);
d)
b) (1 + 2i)i +
4i(1 − 16i) − (1 + i)2
;
(i + 2)(2i + 1)
2 + 3i
;
1 − 4i
(1 + 3i)(8 − i)
;
(2 + i)2
(1 − i)2
f)
.
(−2 + 2i)2 i63
c)
e) i135 ;
3. Znajdź liczby rzeczywiste x i y spełniające podane równania:
a) x(2 + 3i) + y(5 − 2i) = −8 + 7i;
1 + yi
c)
= 3i − 1;
x − 2i
b) (2 − yi) · (x + 3i) = 7 + 11i;
x + iy
9 − 2i
d)
=
.
x − iy
9 + 2i
4. Rozwiąż równania w zbiorze liczb zespolonych:
a) z 2 = 4z;
b) 2z + z = 6 − 5i;
d) |z| − z = 1 + 2i;
e) zz + (z − z) = 3 + 2i;
2 − 3i
7+i
=
;
z+3
z
f ) i(z + z) + i(z − z) = 2i − 3.
c)
5. Zapisz podane liczby w postaci trygonometrycznej:
a) z = 5;
√
e) z = 3 − i;
b) z = i;
√
d) z = 1 + i 3;
√
h) z = −1 + i 3.
c) z = 7 + 7i;
√
g) z = − 3 − i;
f ) z = −1 + i;
6. Oblicz
√
10
a) (1 + i) ;
e)
60
b) ( 3 − i) ;
√
(−2 3 + 2i)12
√
.
f)
(− 3 − i)99
√ !15
−1 + i 3
;
1−i
√
c) (2 3 − 2i)8 ;
d)
√ !30
1+i 3
1−i
7. Oblicz pierwiastki podanego stopnia
a) z = i, n = 2;
d) z = 1 − i, n = 4;
b) z = 1, n = 4;
e) z = −27i, n = 3;
8. Zapisz podane liczby w postaci wykładniczej:
a) z = −1;
b) z = 1 + i;
9. Oblicz
a) cos(1 + i);
b) ln(−i);
c) ln(1 − i);
√
c) z = 1 − i 3;
√
d) ln( 3 + i);
c) z = −1, n = 3;
f ) z = 2 + 2i, n = 3.
√
d) z = − 3 + i.
e) e2−i ;
f ) sin(1 + 2i).
10. Rozwiąż równania
a) z 2 + 25 = 0;
b) z 2 − 4z + 13 = 0;
c) z 2 + 25 = 6z;
d) z 4 − 5z 2 − 36 = 0;
√
e) z 2 + 3z + 3 − i = 0; f ) z 2 + (1 − i)z − i = 0; g) z 4 − 4i 3z 2 − 16 = 0.