model Klaina - Monika Łokaj

Monika Łokaj
Matematyka III
(Studia I stopnia)
Model Klaina
Rzeszów 2006.
Geometria hiperboliczna.
Płaską geometrię hiperboliczną określa się zwykle w sposób aksjomatyczny, przyjmując
wszystkie aksjomaty płaskiej geometrii euklidesowej z wyjątku aksjomatu o równoległości
Euklidesa. I tak w miejsce aksjomatu, który brzmi: „przez punkt nie naleŜący do prostej
przechodzi, co najwyŜej jedna prosta nie przecinająca danej” przyjmuje się jego zaprzeczenie:
„przez punkt nie naleŜący do danej prostej przechodzi co najmniej dwie róŜne proste nie
przecinające danej”. Pojęcia pierwotne geometrii hiperbolicznej są te same, co i w geometrii
euklidesowej, natomiast mają róŜne własności.
W geometrii hiperbolicznej funkcjonują następujące pojęcia:
1. Płaszczyzną Łobaczewskiego nazywać będziemy zbiór wszystkich punktów płaskiej
geometrii hiperbolicznej;
2. Proste Łobaczewskiego to proste spełniające aksjomatykę geometrii hiperbolicznej;
3. Odległość punktów – określona dla poszczególnych modeli;
4. Wzajemne połoŜenie prostych: proste równoległe, nadrównoległe, prostopadłe.
Oprócz pojęć występują równieŜ określenia, sprecyzowanie których pozwoli na swobodne
poruszanie się w terminologii geometrii hiperbolicznej.
„Końcem” nazywamy klasę wszystkich prostych równoległych do
trzech
danych
prostych.
Koniec
na
płaszczyźnie
hiperbolicznejpełni podobną funkcję, co punkt niewłaściwy na
płaszczyźnie afonicznej (Rys. 1). Tak, więc proste równoległe to te proste, które mają
wspólny koniec. KaŜda prosta ma dwa końce i dla kaŜdych dwóch końców istnieje
wspólna prosta. Oznacza to równieŜ, Ŝe dla dowolnego kąta
istnieje prosta równoległa do jego obu ramion. Nosi nazwę
prostej zagradzającej dany kąt. Ramiona kąta wraz z tą prostą to
obszar zwany trójkątem 2-asymptotycznym (Rys. 2).
Proste równoległe mają jeden koniec wspólny; istnieje prosta
wspólna dla pozostałych końców. Trzy proste ograniczają obszar
zwany trójkątem 3-asymptotycznym. Wszystkie takie trójkąty są
przystające (Rys. 3).
Istnieje równieŜ trójkąt l-asymptotyczny. Jest to obszar ograniczony przez dwie
proste równoległe i prostą ją przecinającą (Rys. 4).
Proste nazywamy nadrównoległymi, gdy się nie przecinają i me
są równoległe. Takimi prostymi są proste, które maja wspólną
prostopadłą. Proste w większej liczbie tworzą tak zwane "pęki"
prostych.
Pęk I rodzaju - "pęk= właściwy=" tworzą proste przechodzące
przez jeden, ustalony punkt (Rys. 5).
By poznać i dokładnie zrozumieć przestrzeń hiperboliczną dobrze jest mieć narzędzie
ułatwiające to zadanie. Narzędziem takim jest obiekt izomorficzny z dwuwymiarową
przestrzenią Boyai-Łobaczewskiego, zwany modelem. Model to inaczej przedstawienie
przestrzeni geometrii hiperbolicznej za pomocą aksjomatów i twierdzeń funkcjonujących w
geometrii euklidesowej. Do kaŜdego modelu dołączony jest słownik pojęć, tzw. Słownik
interpretacyjny pozwalający na lepsze zrozumienie własności modelu.
Układ aksjomatów w kaŜdym modelu jest:
-
niesprzeczny, tzn. na jego podstawie nie moŜna wyprowadzić twierdzeń wzajemnie
sobie sprzecznych;
-
wzajemnie niezaleŜny (mówimy, Ŝe zdanie S jest niezaleŜne od aksjomatów A1, A2,
..., An, jeśli nie da się z nich wyprowadzić).
Dowody niesprzeczności i niezaleŜności układu aksjomatów geometrii przeprowadza się
metodą interpretacji. Aby dowieść niesprzeczności układu aksjomatów, interpretuje się w
pewien sposób jego pojęcia pierwotne i wskazuje się, Ŝe przy tej interpretacji spełnione są
wszystkie aksjomaty. Wskazuje się takie zbiory i relacje, które spełniają wszystkie aksjomaty.
Dowodząc niezaleŜności pewnego zdania S od aksjomatów A1, A2, ..., An .wskazuje się takie
zbiory i relacje, które spełniają aksjomaty A1, A2, ..., An ale nie spełniają zdania S.
Model Klaina.
Na płaszczyźnie euklidesowej bierzemy wnętrze koła K bez brzegu, zwanego absolutem.
Punktami modelu są wszystkie punkty leŜące wewnątrz koła, prostymi są cięciwy koła.
Rys. 1
PołoŜenie prostych w modelu Kleina:
-
proste równoległe; proste, które mają punkt wspólny w absolucie – proste a i b
-
proste nadrównoległe (rozłączne) np. proste a i c, c i d;
-
proste prostopadłe do danej prostej to te, których przedłuŜenia przechodzą przez punkt
przecięcia stycznych do koła w „końcach” s i g danej prostej, np. b i c.
Jak widać w modelu Klaina dwie proste mogą mieć wspólny „koniec” i to są proste
równoległe lub mogą mieć wspólną prostopadła tak jak proste nadrównoległe. Przez punkt
poza prostą moŜna poprowadzić do niej dwie proste równoległe i nieskończenie wiele
prostych nadrównoległych.
Odległość w modelu Klaina.
Dla określenia odległości między punktami A i B w modelu Klaina potrzebujemy określenia
dwustosunku (euklidesowego) czwórki punktów A, B, P, Q.
Definicja.
Dwustosunkiem czwórki punktów A, B, P, Q na prostej nazywamy liczbę :
→ →
(A,B;P,Q)=
AP ⋅ BQ
,
→ →
AQ ⋅ BP
gdzie strzałki naleŜy rozumieć tak, Ŝe odpowiednie odległości bierzemy z odpowiednim
znakiem: plus, gdy punkty następują po sobie zgodnie z ustalonym zwrotem prostej, minus w
przeciwnym wypadku. RozwaŜamy wartość bezwzględną dwustosunku więc
(A,B;P,Q)=
AP ⋅ BQ
.
AQ ⋅ BP
Chcąc, by dwustosunek był większy od 1, wykorzystujemy zaleŜność
1
(A B;P,Q)=a ⇒ (A,B;P,Q)= .
a
Funkcja określona wzorem d(AB)=lg(A,B;P,Q), która po uwzględnieniu wcześniejszych
wzorów przyjmuje postać
d(AB)=lg
jest metryką w modelu Klaina.
AP ⋅ BQ
AQ ⋅ BP
Literatura.
[1] K. Borsuk, W. Szmielew, Podstawy geometrii, Wyd. PWN, Warszawa 1955.
[2] M. Kordos, O róŜnych geometriach, Wyd. Alfa, Warszawa 1987.
[3] M. Kordos, L. Włodarski, O geometrii dla postronnych, Wyd. PWN, Warszawa1981.
[4] L. Dubikajtis, H. Guściora, Interpretacja pojęć geometrii hiperbolicznej w geometrii
euklidesowej, Matematyka nr 6 (1974), WSiP, Warszawa.