Zadania i problemy do wykładu Wstęp do biomatematyki (Zestaw nr 4)

Zadania i problemy do wykładu Wstęp do biomatematyki (Zestaw nr 4)
Zadania
Zadanie 1. Rozwiąż równanie różnicowe xn+1 = 0.5 xn + 1, x0 = 2.
Zadanie 2. Rozwiąż równanie różnicowe rzędu dwa xn+2 = 0.5 xn + 1, x0 = 1, x1 = −1.
Zadanie 3. Rozpatrzy równanie różnicowe
xn+2 − 3xn+1 + 2xn = 0.
• Wykaż, że rozwiązanie ogólne tego równania ma postać
x n = A1 + 2 n A2 ,
gdzie A1 i A2 są stałymi.
• Znajdź postać rozwiązania gdy dwa pierwsze wyrazy są równe odpowiednio x0 = 5 i x1 = −5.
Zadanie 4. Rozpatrzymy równanie różnicowe
xn xn+1 = rxn 1 −
, r > 0.
K
• Wykaż, że xn+1 < 0 wtedy i tylko wtedy gdy xn > K.
• Wykaż, że xn+1 > K jest możliwe dla 0 < xn < K wtedy i tylko wtedy gdy r > 4.
• Jakie warunki są warunkami koniecznymi i dostatecznymi na to by xn > 0 dla n = 1, 2, 3 ...?
Zadanie 5. Korzystając z metody graficznej przeanalizuj rozwiązania równania różnicowego
xn+1 =
rx2n
.
x2n + A
Zadanie 6. Liczebność much na mokradłach można modelować przy użyciu równanie różnicowego
xn+1 = Rxn −
Rx2n
.
2000
Rozpatrz trzy równania po jednym dla R z przedziałów:
• 1 ¬ R < 3,
• 3 ¬ R < 3, 449,
• 3, 57 ¬ R < 4,
i narysuj xn+1 jako funkcję xn . Korzystając z metody graficznej przeanalizuj zachowanie się równania dla R = 2.
Krzysztof Topolski