Spr1 - satelita

Konrad Słodowicz
sk30792
AR22
Zadanie domowe – satelita
1. Współrzędne kartezjańskie
Do opisu ruchu satelity potrzebujemy 4 zmiennych stanu – współrzędnych położenia i prędkości.
x1=r 1
x 2=r 2 ,
x3= r˙3
x 4= r˙4
gdzie r 1 i r 2 to współrzędne kartezjańskie położenia, a r˙1 oraz r˙2 to współrzędne
prędkości (pochodne położenia).
Aby napisać równania stanu potrzebujemy wzorów na pochodne kolejnych zmiennych.
Jak łatwo widać, x˙1=x 3 oraz x˙2= x 4 . Aby otrzymać, natomiast, wzory na x˙3 i x˙4 trzeba
przekształcić wzór na przyspieszenie w polu grawitacyjnym. W tym celu rozpisujemy wektory na
sumę iloczynów współrzędnych i wersorów oraz moduł na pierwiastek sumy kwadratów:
r ê +r ê
r¨1 ê1+ r¨2 ê2=−GM 1 1 2 32 .
2
2
( √ r 1 +r 2)
Mnożąc obustronnie przez ê1 otrzymujemy
r1
,
r¨1=−GM
3
( √ r 12+r 22)
a mnożąc to samo przez ê2 mamy
r2
.
r¨2=−GM
2
2 3
( √ r 1+r 2)
Wobec tego, podstawiając odpowiednie zmienne stanu za r, równania stanu przyjmują postać:
x˙1=x 3
x˙2= x 4
x1
x˙3=−GM
3
( √ x12+x 22 )
x2
x˙4 =−GM
2
2 3
( √ x 1+x 2 )
Spróbujemy rozwiązać ten układ równań używając środowiska Simulink.
Dla ułatwienia obliczeń, przyjmiemy G=1 oraz M=1 (G – stała grawitacji, M – masa ciała, wokół
którego orbituje satelita).
Z powodu problemów z Matlabem musiałem zamiast bloku funkcji własnej użyć układu bloków
operacji matematycznych.
Zmieniając warunki początkowe całkowań możemy zmienić wartości początkowe zmiennych stanu,
a co za tym idzie położenia początkowego oraz prędkości początkowej satelity. Rysując wykres
wartości x2 od x1 (r2 od r1) otrzymamy wówczas drogę, po której orbituje satelita.
Dla uproszczenia, zmieniać będziemy tylko wartości początkowe x3 oraz x2, zostawiając x4 oraz
x1 zerowe. W ten sposób jesteśmy pewni, że początkowy wektor prędkości jest prostopadły do
wektora położenia.
Przyjmijmy, że x1 to położenie w poziomie, x2 – w pionie, x3 to prędkość w poziomie a x4 – w
pionie.
a) wartości początkowe x3 = 1, x2 = 1
Otrzymujemy orbitę kołową.
b) wartości początkowe x3 = 1.5, x2 = 1
Satelita wylatuje z orbity.
c) wartości początkowe x3 = 1.25, x2 = 1
Otrzymujemy orbitę eliptyczną.
2. Współrzędne biegunowe
Podobnie jak powyżej, przyjmujemy zmienne stanu. Będą to tym razem długość wektora położenia,
kąt oraz ich pochodne.
x 1= p
x 2=θ
.
x 3= ṗ
x 4=θ̇
Do równań stanu potrzebujemy pochodnych powyższych zmiennych. Jak wcześniej widać, iż
x˙1= x 3
x˙2= x 4
Do obliczenia pochodnych x3 i x4 korzystam ze wzoru na przyspieszenie grawitacyjne, tym razem
zamieniając r (t) na p (t)⋅̂r (t) .
p⋅̂r
Mam więc, pomijając '(t)' r̈ =−GM 3 . Podstawiam to do równania na przyspieszenie
p
podanego w zadaniu. Jak wcześniej, ponieważ wersory r̂ i θ̂ są prostopadłe, mogę
obustronnie pomnożyć najpierw przez pierwszy a następnie przez drugi, aby pozbyć się ich z
równania.
Postępując w ten sposób i przekształcając otrzymane równania dostaję
1
x˙3=−GM⋅ 2 +x 1 x 24
x1
oraz
−2⋅x 3⋅x 4
.
x˙4 =
x1
Równania stanu przyjmują postać:
x˙1=x 3
x˙2= x 4
1
2
x˙3=−GM⋅ 2 +x 1 x 4
x1
−2⋅x 3⋅x 4
x˙4 =
x1
Jak wyżej, modeluję je w Simulinku przy użyciu bloków funkcji matematycznych:
O ile powyższe wzory są poprawne, dobranie odpowiednich warunków początkowych w tym
przypadku okazało się trudne. Postanowiłem przyjąć początkowe x1 (długość wektora położenia)
jako 5 a x2 (kąt) jako 0. Pozostałe wartości pozostawiłem zerowe.
Bz początkowej prędkości, satelita zaczyna spadać w stronę obiektu, wokół którego miała
orbitować. Ponieważ jednak a naszym teście obiekt jest jedynie punktem, satelita przelatuje przez
niego na drugą stronę, aby w pewnym momencie zatrzymać się i wracać z powrotem, znowu
przelatując na drugą stronę. Maksymalna odległość satelity od obiektu zwiększa się z każdym
cyklem.
Ciężko przedstawić to zachowanie w sprawozdaniu, gdyż jego zauważenie wymagało obserwacji
drogi satelity w różnych momentach czasu.
Oto jeden z nich:
Należy pamiętać, iż satelita zaczynała swój ruch w odległości 5 od centrum.
Dobór odpowiedniej prędkości początkowej okazał się bardzo trudny. Minimalne różnice sprawiały,
że satelita albo spadała w stronę obiektu, albo wylatywała z orbity. Już przy wartości początkowej
x4 = 0.09, wykres ruchu po 25 sekundach wygląda następująco:
Przy wartości początkowej x4 = 0.06, natomiast, satelita po ok. 14 sekundach spada do obiektu:
Jak widać, ruch obiektu można przewidzieć na podstawie równań stanu. Znając je oraz pewne
warunki początkowe – stan w danym momencie czasu – można obliczyć stan obiektu w dowolnej
chwili.