cała lekcja do pobrania

Elementy mechaniki kwantowej
Falowe własności cząstek
Świat, który oglądamy na co dzień, potrafimy dokładnie opisać, i za pomocą znanych wzorów wyliczyć
wszystkie zachodzące w nim zależności. Istnieje jednak świat (tuż obok nas i w nas), który rządzi się zupełnie innymi
prawami. Na przykład elektron, który jest cząstką niosącą ładunek ujemny (prąd elektryczny) potrafi zachować się jak
fala! Gdy uderzamy o ścianę odbijamy się od niej, zgodnie z zasadą zachowania energii i pędu. Gdy elektron uderza o
ścianę, może się od niej odbić, ale znacznie częściej przenika przez nią!
Planck i Einstein wymyślili, a Millikan udowodnił, że fala może zachowywać się jak cząstka. Światło (fala)
składające się z fotonów (cząstek) potrafi wybijać elektrony z metalowej płytki. W 1924 roku francuski fizyk Louis
de Broglie wysunął hipotezę, że być może cząstki też mogą zachowywać się jak fale! Będzie to możliwe tylko
wtedy, gdy się poruszają. Uogólniając swoje wnioski de Broglie stwierdził, że z każdą poruszającą się materią
związana jest jakaś fala i nie jest to fala elektromagnetyczna. Przekształcając wzór Plancka-Einsteina można
wyliczyć, jaka jest długość fali związana z poruszającą się materią. Fale te nazwano falami de Broglie’a lub falami
materii.
p
h

lub

h
, gdzie p – pęd materii, h=6,63·10-34 J·s – stała Plancka, λ – długość fali
p
Zadanie 1. Jaka jest długość fali materii związana z piłką tenisową o masie 58 g, poruszającą się z prędkością 50 m/s?
λ=h/p oraz p=mv stąd λ=h/(mv)
Po podstawieniu i wyliczeniu otrzymamy λ=2,29·10-34 m.
Odpowiedź: Z poruszającą się piłką tenisową można utożsamiać falę materii o długości λ=2,29·10-34 m.
Jest to długość fali ponad 1027 razy mniejsza od długości światła fioletowego i nie można (na razie)
eksperymentalnie wykryć jej istnienia. Żeby wykryć taką falę, na przykład poprzez dyfrakcję potrzebna byłaby siatka
dyfrakcyjna o szczelinach porównywalnych z długością takiej fali.
Mikroskopia elektronowa
Czy jednak nie można zaobserwować fal materii? W 1927 roku fizycy Davisson i Germer skierowali wiązkę
elektronów na kryształ glinu. Odległości między atomami glinu w sieci krystalicznej są porównywalne z długością fali
związanej z elektronem (ok. 10-10 m). Fizycy zaobserwowali dyfrakcję elektronów (fal materii związanej z
poruszającymi się elektronami) na takiej atomowej siatce dyfrakcyjnej. Jeżeli przyspieszymy elektrony do wyższych
prędkości, otrzymamy fale o mniejszej długości – 10-12 m, co daje ponad 1000 razy większą rozdzielczość niż w
mikroskopach optycznych. Takie własności pozwalają budować specjalne mikroskopy elektronowe.
Zasada nieoznaczoności
Wyobraźmy sobie, że wrzucamy piłki tenisowe do ciemnego pomieszczenia, w którym znajduje się wiele innych
piłek (tenis, siatkówka, ping-pong, koszykówka, itp.). Nie wiemy, jak rozmieszczone są te piłki i możemy jedynie
obserwować, to co wyleci z tego ciemnego pomieszczenia po drugiej stronie. Tak właśnie wygląda badanie materii, za
pomocą wstrzeliwania do jej wnętrza, różnych innych cząstek. W większości przypadków wstrzeliwane cząstki
wylatują po drugiej stronie – przelatują przez materię. Czasem zdarzy się, że taka cząstka odbije się od większej i
wyleci pod innym kątem. Bardzo rzadko odbije się całkowicie i wróci do właściciela. Fizycy na podstawie prędkości i
toru ruchu tych cząstek potrafią wyliczyć, jak rozmieszczone były pierwotnie. To taka pośrednia metoda obserwacji
materii, ale nie mamy mikroskopu, który (tak jak optyczny) potrafiłby zrobić fotografię tego, co znajduje się w środku
atomu.
Skoro „oświetlamy” materię cząstkami (np. fotonami), to bombardowana w ten sposób materia ulega drobnym
zmianom (jak wrzucone piłki tenisowe do pokoju z piłkami) i mówimy raczej o tym jak były rozmieszczone cząstki
przed chwilą. Jak możemy zobaczyć elektron w materii, skoro oświetlamy go fotonem, którego uderzenie powoduje
jego przesunięcie! Możemy zwiększać prędkość fotonów, którymi oświetlamy materię, zmniejszając tym sposobem
długość fali, ale w zamian otrzymamy spotęgowanie zjawisk dyfrakcyjnych i większą niepewność, co do konkretnego
położenia elektronu. W fizyce klasycznej można zwiększać dokładność pomiaru, jeśli dobierzemy odpowiednie
narzędzia i metody (np. coraz większe szkła powiększające). Jeżeli mamy do czynienia z fizyką na poziomie atomów
(w mikroświecie) niedokładności pomiarowe zaburzają sam wynik.
Prawidłowość tę dostrzegł, jako pierwszy Werner Heisenberg i sformułował tzw. zasadę nieoznaczoności: nie
można w jednym eksperymencie wyznaczyć z dowolną dokładnością położenia i pędu (prędkości) cząstki.
Podobną myśl można wypowiedzieć w stosunku do czasu i energii cząstki.
Prędkości elektronów w atomach są rzędu 106 m/s i zgodnie z zasadą nieoznaczoności nie można dokładnie
określić ich położenia w każdej chwili, tzn. nie można narysować toru ich ruchu, można jedynie w przybliżeniu
określić prawdopodobieństwo, gdzie one się znajdują (powinny znajdować), tzw. orbitale.
W świecie makroskopowym (odbieranym za pomocą naszych zmysłów) zasada nieoznaczoności nie ma
większego znaczenia – błędy, które wynikają z zasady nieoznaczoności są wiele razy mniejsze niż wielkość samych
pomiarów.
Zasadę nieoznaczoności można opisać następującymi wzorami:
p  x 
h
4
lub
E  t 
h
4
nieoznaczoność (niedokładność pomiarowa) pędu i położenia cząstki jest zawsze większa lub równa od h
4
nieoznaczoność energii układu i czasu obserwacji jest zawsze większa lub równa od h
4
Zadanie 2. Kulka o masie 0,01 kg i promieniu 0,01 m toczy się po stole z szybkością 1 m/s. Załóżmy, że potrafimy
zmierzyć położenie kulki oraz jej pęd z dokładnością 1 %. Jakie będą niepewności położenia i pędu kulki w
fizyce klasycznej i relatywistycznej?
Kulka ma wielkość 10-2 m, a dokładność pomiaru wynosi 1% (0,01), więc niepewność pomiarowa Δx = 10-4 m
Pęd kulki p=m·v=10-2 kg·m/s i podobnie dokładność pomiaru 1%, co daje niepewność dla pędu Δp = 10-4 kg·m/s
Niepewność położenia zgodnie z zasadą nieoznaczoności x  h  5,28 10 31 m
4p
Odpowiedź: Niepewność wynikająca z zasady nieoznaczoności jest 1026 razy mniejsza niż niepewność wyliczona
klasycznie.
Zadanie 3. Wyobraźmy sobie, że za pomocą mikroskopu możemy wyznaczyć położenie komórki wirusa o masie 10-16
kg z dokładnością Δx=10-6 m. Oszacujmy wartość niepewności wyznaczenia szybkości poruszania się tego
wirusa, wynikającą z zasady nieoznaczoności.
h
m
h
p  x 
i p  m  v po podstawieniu i przekształceniu otrzymamy v 
 5,28 10 13
4
4mx
s
Odpowiedź: Niepewność szybkości wynosi 5,28·10-13 m/s. Jest ona wielokrotnie mniejsza niż możliwości
pomiarowe, więc nie musimy stosować zasad fizyki kwantowej podczas badania takich drobin.
Zadanie 4. Wyobraźmy sobie, że potrafimy oszacować dokładność położenia elektrony w atomie na Δx=10 -10 m.
Wyliczmy niepewność wyznaczenia szybkości tego elektronu.
Podstawiając do wzoru z poprzedniego zadania (m=9,11·10-31 kg) otrzymamy Δv=0,6·106 m/s
Odpowiedź: Niepewność szybkości elektrony w atomie wynosi 0,6·106 m/s.
Rzeczywista szybkość elektronu w atomie jest porównywalna z otrzymanym wynikiem, więc podczas
wyznaczania szybkości elektronu należy uwzględniać zasadę nieoznaczoności.
Założenia mechaniki kwantowej
Jeżeli znamy początkowe położenie ciała i prędkość ruchu, potrafimy wyliczyć jego położenie w każdej kolejnej
sekundzie (fizyka klasyczna). Jeżeli nie znamy jego początkowego położenia, nie będziemy potrafili powiedzieć,
gdzie znajdzie się np. za 10 sekund. W fizyce relatywistycznej, gdzie podstawowym ograniczeniem jest zasada
nieoznaczoności, mamy do czynienia z taką właśnie sytuacją. Nie potrafimy dokładnie powiedzieć, jakie jest
położenie i prędkość cząstki, a sam proces pomiaru narusza stan badanych obiektów. Należało wymyślić i opisać
wzorami zjawiska zachodzące w tym nowym świecie.
Mechanika kwantowa nie mówi dokładnie, gdzie znajduje się dana cząstka, ale określa jedynie
prawdopodobieństwo znalezienia się w danym obszarze. Mechanika kwantowa stwierdza, że z każdą poruszającą
się cząstką związana jest fala materii, która nie ma charakteru elektromagnetycznego. Opisując obiekt nie
podajemy dokładnie jego położenia i prędkości, ale określamy je matematyczną funkcję – tzw. funkcją falową,
która określa prawdopodobieństwo położenia i prędkości. Wzory mechaniki kwantowej pokrywając się oczywiście z
zaobserwowanymi już i zbadanymi efektami, np. z dyfrakcją elektronów na siatce.
Oprócz znanym nam zjawisk z makroświata (grawitacja, bezwładność, itp.), mechanika kwantowa opisuje
zupełnie nowe efekty.
Tunelowanie. Wyobraźmy sobie, że kopiemy piłkę, aby przeleciała ponad murem. Jeżeli kopniemy za słabo
(mała energia kinetyczna), to piłka nie przeleci i odbije się od muru. W mikroświecie „kopanie elektronami w mur”
może czasami – z określonym prawdopodobieństwem – doprowadzić do „przeniknięcia” cząstki przez taką zaporę.
Gdy cząstka ma dużą energię, to prawdopodobieństwo rośnie, gdy bariera jest za wysoka lub za gruba (ma za dużą
energię), to szanse na „przeniknięcie” maleją.
Studnia potencjału. Wyobraźmy sobie piłkę leżącą na dnie głębokiej studni - leży… Z cząstkami w
mikroświecie jest inaczej. Z cząstką związana jest fala materii, która tworzy w studni falę stojącą, o różnej ilości
węzłów. Z jednej strony różna ilość węzłów takiej fali stojącej określa różne prawdopodobieństwo położenia cząstki
w studni, a z drugiej określa dokładnie, energie, jakie może przyjmować cząstka – poziomy energetyczne (stany
energetyczne, stany kwantowe, liczby kwantowe).