4 - MRiT 2005

Ćwiczenie 6
WYZNACZANIE OBROTÓW
KRYTYCZNYCH WAŁÓW
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest analityczne wyznaczenie obrotów krytycznych wału, a następnie
weryfikacja eksperymentalna uzyskanych wyników.
2. Wprowadzenie
O prawidłowości funkcjonowania maszyn często decydują drgania ich elementów,
zwłaszcza wałów. Duże amplitudy i duże siły, charakterystyczne dla drgań wałów
zachodzących w pobliżu lub w obszarze rezonansowym mogą powodować ich pękanie
wskutek zmęczenia. Mogą też prowadzić do uszkodzenia ich elementów związanych z
wałem, np. łożysk, kół zębatych, itp. Praca wałów w pobliżu rezonansu źle wpływa na
dokładność funkcjonowania maszyny, jest też uciążliwa dla personelu obsługującego.
Rozróżnia się trzy formy drgań wałów: giętne-skrętne i wzdłużne. Ponadto drgania te mogą
być swobodne (własne) lub wymuszone.
Częstość drgań własnych wału zależy od jego parametrów konstrukcyjnych, właściwości
sprężystych, sposobu podparcia (ułożyskowania) oraz wielkości i rozmieszczenia na nim mas
(wirników, kół zębatych itp.).
Drgania wymuszone powstają w wyniku działania na element sprężysty (w naszym
przypadku na wał) okresowo zmiennej siły zewnętrznej.
Jeżeli częstość drgań wymuszonych jest równa częstości drgań własnych, wówczas występuje
rezonans i związany z nim bardzo duży wzrost amplitudy.
2.1. Krytyczna prędkość wirowania wału
W celu ustalenia związku między prędkością wirowania a drganiami własnymi giętnymi
rozpatrzmy przypadek obracania się wału prostego z osadzonym krążkiem (wirnikiem) o
masie m - rys. l, którego środek nie pokrywa się z osią obrotu wału lecz jest oddalony od niej
o odległość e.
Rys. l. Schemat wału z wirnikiem do wyznaczania zależności między prędkością wirowania a
drganiami własnymi.
Na razie pomijamy wpływ siły ciężkości wirnika na ruch wału, dlatego przyjmujemy, że oś
wału ma kierunek pionowy. Podczas ruchu obrotowego wału z prędkością kątową ω powstaje
normalna siła bezwładności (siła odśrodkowa), która powoduje ugięcie wału wynoszące r.
Silą bezwładności działająca na wal wynosi:
PB = mω 2 (r + e)
(1)
Siła ta jest zrównoważona przez siłę sprężystości F wału wyrażającą się wzorem:
F=kr
(2)
gdzie:
k - stała sprężysta wału równa sile potrzebnej do statycznego ugięcia wału o jednostkę
długości.
Porównując wyrażenia (1) i (2) i dokonując odpowiednich przekształceń otrzymujemy:
r =e
ω2
k
−ω 2
m
(3)
k
we wzorze (3) przedstawia kwadrat częstości poprzecznych (giętnych) drgań
m
własnych wału z masą wirnika.
Wyrażenie
k
=ω2
m
(4)
Podstawiając do równania (3) oraz dokonując prostych przekształceń otrzymujemy:
2
ω 
 
ω
r
=  n
e
ω 
1 −  
 ωn 
Na rysunku 2 przedstawiono zależność
ω 
r
= f  
e
 ωn 
(5)
ω/ωn
Rys. 2. Wykres zależności
ω 
r
= f   dla wału prostego z wirnikiem
e
 ωn 
Jak widać z zależności (5) oraz z rys. 2 stosunek ugięcia wału do mimośrodu e rośnie
nieograniczenie gdy prędkość kątowa ω wału zbliża się do częstości kołowej ωn drgań
własnych wału.
Prędkość kątową ω równą częstości drgań własnych wału nazywamy krytyczną
prędkością kątową ωkr obracającego się wału. Odpowiednio prędkość obrotową określa
się również krytyczną prędkością obrotową nkr.
Przy ω<ωkr prawa strona wyrażenia (5) jest liczbą dodatnią, co oznacza, że r i e są
ω
ωn
rośnie nieograniczenie to r dąży do wartości -e. Z tego wynika, że przy wzrastających
obrotach w zakresie ponad krytycznym (ω>ωkr ) środek masy zbliża się do osi obrotu układu.
Zjawisko to nazywa się samo centrowaniem wału. Umożliwia ono stosowanie w pewnych
sytuacjach giętkich wałów, które po przejściu przez obroty krytyczne „spokojnie" pracują
przy prędkościach ponadkrytycznych.
jednakowego znaku. Natomiast przy ω>ωkr wartości r i e mają znaki przeciwne i gdy
Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla sytuacji, gdy środek ciężkości krążka
pokrywa się z osią obrotu wału, ale oś wału ma kierunek poziomy - rys. 3.
ω=ω
ω>ω
Rys. 3. Schemat wału prostego z wirnikiem o osi poziomej.
W tym przypadku ugięcie statyczne wału spowodowane ciężarem wirnika przejawia taki sam
skutek jak mimośrodowość e.
Konstruktor musi uchronić maszynę od pracy w pobliżu rezonansu przez
zaprojektowanie częstości podstawowej węzłów w bezpiecznej odległości od częstości sił
wymuszających. Ponieważ charakterystyki drgań w pobliżu rezonansu są bardzo strome
(rys.2) dlatego odstęp między częstością siły wymuszającej ω częstością drgań własnych ωn
powinien być jak największy.
Przyjmuje się:
0,5 >
ω
>2
ωn
(6)
2.2 Obliczanie obrotów krytycznych wału
Dla konstruktora ważna jest znajomość prostych metod obliczania krytycznej
prędkości obrotowej wałów. Jedną z nich jest metoda ugięcia statycznego. Siła ciężkości G
krążka zamocowanego na wale powoduje jego ugięcie statyczne yst, które wyraża wzór:
y st =
(7)
G mg
=
k
k
gdzie:
m - masa krążka,
g = 9,8 1 [m/s2],
k - jak we wzorze (2).
Mając na względzie, że wał osiąga krytyczną prędkość wirowania, gdy częstość siły
wymuszającej jest taka sama jak częstość drgań własnych wału:
ωkr=ω oraz
to ω kr =
ωn =
g
y st
k
m
(4)
(8)
Uwzględniając zależność między częstotliwością drgań wyrażoną w [Hz] a częstością kołową
wyrażoną w [rad/s] można zapisać:
f kr =
ϖ kr
2π
(9)
Podstawiając g=9,81 m/s2 oraz yst [m] otrzymujemy:
f kr =
1
2π
9,81 0,5
=
y st
y st
(10)
[Hz]
Zatem krytyczna prędkość obrotowa wału wyrażana w [obr/min.] wynosi:
nkr = 60 f kr
(11)
Jeżeli mamy wyznaczyć częstość drgań własnych (częstość krytyczną) układu złożonego z
wału mającego więcej niż jeden wirnik to nie można do tego celu zastosować metody ugięcia
statystycznego w sposób bezpośredni. Posługujemy się wówczas wzorem Dunkerleya:
1
1
1
1
1
= 2 + 2 + 2 + ... + 2
2
f
f0
f1
f2
fn
(12)
gdzie:
f - przybliżona częstotliwość drgań własnych układu,
f0 - częstotliwość drgań własnych wału bez wirnika,
f1 - częstotliwość drgań własnych z pierwszą masą, bez uwzględnienia masy wału i
pozostałych mas,
f2 - częstotliwość drgań własnych z drugą masą bez uwzględniania masy wału i pozostałych
mas.
fn - częstość drgań wału z n-tą masą bez uwzględnienia masy wału i pozostałych mas.
Z zależności między częstotliwością a ugięciem statycznym (wzór 10) wynika, że zastępcze
(równoważne) ugięcie statyczne yz równa się sumie poszczególnych ugięć statycznych.
Możemy zatem zapisać:
y z = y0 + y1 + y 2 + ... + y n
(13)
gdzie y0, y1, y2, ..., yn oznaczają ugięcia statyczne odpowiadające warunkom wymienionym w
związku z wyrażeniem (12).
2.2. Przykłady
Przykład 1.
Obliczyć obroty krytyczne wału wentylatora o przepływie osiowym przedstawionego
schematycznie na rysunku
Wentylator jest napędzany pasem. Dwa łożyska znajdujące się po obu stronach
napędzającego koła pasowego ustalają wał w ten sposób, że układ ten można traktować jako
belkę wspornikową z obciążeniem umieszczonym na jej końcu
P ⋅l3
y st =
3E ⋅ I
Aby wyznaczyć nkr skorzystamy z wzorów (10) i (11). Obliczenie fkr wymaga wcześniejszego
wyznaczenia ugięcia statycznego wału pod wpływem ciężaru wirnika:
P ⋅l3
y st =
3⋅ E ⋅ I
gdzie: P- ciężar wirnika P=m g,
E - moduł Younga,
I - moment bezwładności przekroju.
y st =
85 ⋅ 9,81 ⋅ (0,38) 3
≅ 18 ⋅10 −6 [m]
−3 4
⋅
π
(
95
10
)
3 ⋅ 2,1 ⋅10 5 ⋅10 6
64
nkr = 60 ⋅ f kr = 60 ⋅
0,5
30
30
=
=
≅ 7070[obr / min]
y st
y st
18 ⋅10 −6
Zadanie można sformułować nieco inaczej, a mianowicie: dla podanej masy wirnika m=85 kg
długości wału l=380 mm i prędkości obrotowej wału np. n=3600 obr/min. należy wyznaczyć
średnicę wału d tak, aby jego częstotliwość drgań własnych była dwa razy większa od
częstotliwości wymuszającej (do rozwiązania we własnym zakresie).
Przykład 2.
Wyznaczyć obroty krytyczne wału z dwoma wirnikami pokazanego na rysunku.
Aby to zadanie rozwiązać skorzystamy z wzoru Dunkerleya. Należy więc kolejno obliczyć:
y0 - ugięcie wału pod wpływem masy własnej m0
y1 - ugięcie wału pod wpływem masy m1 z pominięciem m0 i m2
y2 - ugięcie wału pod wpływem masy m2 z pominięciem m0 i m1
Obliczamy ugięcie statyczne wału pod wpływem ciężaru własnego (belka równomiernie
obciążona)
y0 =
5ql 4
384 EI
gdzie q- ciężar l m wału
q=
πd 2
N
⋅1 ⋅ 7800 ⋅ 9,81 ≈ 150
4
m
y0 =
5 ⋅150 ⋅ (0,75) 4 ⋅ 64
≈ 9,6 ⋅10 −6 [m]
−3 4
11
384 ⋅ 2,1 ⋅10 ⋅ π (50 ⋅10 )
Ugięcia statyczne, pochodzące od ciężarów wirników obliczymy według wzoru na ugięcie
belki wywołane siłą skupioną działającą w dowolnym punkcie:
2
2
Pl 3 b x  2 ⋅ (l − x)  b   l − x  
⋅ ⋅ 
−  −
y=
 
6 EI l l 
l
 l   l  
Wobec tego ugięcie statyczne spowodowane ciężarem wirnika l wynosi:
y=
13,5 ⋅ 9,81⋅ 0,753
3,14 ⋅ (50 ⋅10 −3 )
64
4
6 ⋅ 2,1⋅1011 ⋅
2
2
0,5 0,25  2 ⋅ (0,75 − 0,25)  0,5   0,75 − 0,25  
⋅
⋅
⋅
−
 +
  = 14,5 ⋅10 −6 [m]
0,75 0,75 
0,75
 0,75   0,75  
W ten sam sposób obliczone y2 wynosi:
y 2 = 9,75 ⋅10 −6 [m]
y z = y0 + y1 + y 2 = (9,6 + 14,5 + 9,8) ⋅10 −6 = 33,9 ⋅10 −6 [m]
a przybliżona częstotliwość drgań giętnych własnych:
f kr =
0,5
0,5
=
≅ 85,9[ Hz ]
yz
33,9 ⋅10 −6
nkr=60fkr=5152 [obr/min]
3. Przebieg ćwiczenia
3.1. Opis układu pomiarowego
Rys. 4 Schemat układu pomiarowego:
l- silnik elektryczny, 2 - autotransformator, 3 - wał, 4 - wirnik, 5 - podpora stała, 6 – podpora
przesuwna, 7 - elektromagnetyczny przetwornik prędkości obrotowej, 8 - wskaźnik cyfrowy
Wał 3 wraz z silnikiem 4 napędza silnik elektryczny, którego prędkość obrotową można
zmieniać za pomocą autotransformatora 2.
Na końcu wału znajduje się elektromagnetyczny przetwornik prędkości obrotowej 7 z którego
sygnał jest przekazywany na wskaźnik cyfrowy 8.
Zasadę tego przetwornika wyjaśnia rys. 5
Rys. 5. Zasada elektromagnetycznego przetwarzania prędkości obrotowej w częstotliwość
Stalowa tarcza z odpowiednią liczbą zębów obraca się w pobliżu obwodu magnetycznego
czujnika z magnesem trwałym i z cewką na nabiegunniku. Przesunięcie jednego zęba w
pobliżu nabiegunników czujnika powoduje wzrost i następnie zmniejszenie strumienia
magnetycznego, a tym samym zaindukowanie w cewce jednego okresu napięcia
przemiennego. Jeśli tarcza ma m zębów na obwodzie, to podczas jednego obrotu tarczy w
cewce indukuje się m okresów napięcia. Jeśli tarcza wiruje z prędkością n obrotów na minutę.
to częstotliwość indukowanego napięcia
f =
nm
60
stąd
n=
60 f
m
3.2. Zadania do wykonania podczas ćwiczenia
l) zmierzyć średnicę wału i rozstaw łożysk (podpór), określić położenie wirnika i jego
wymiary; na podstawie wymiarów wirnika obliczyć jego masę.
2) korzystając z metody ugięcia statycznego obliczyć obroty krytyczne wału,
3) uruchomić silnik (w obecności prowadzącego ćwiczenia) i zmieniając jego prędkość
obrotową zmierzyć obroty krytyczne wału.
4 Wskazówki dotyczące sprawozdania.
Sprawozdanie powinno zawierać:
- temat i cel ćwiczenia,
- schemat stanowiska pomiarowego wraz z wymiarami istotnych elementów,
- opis przebiegu ćwiczenia,
- wyniki obliczeń i pomiarów,
- wnioski sformułowane na podstawie uzyskanych wyników,
- zadanie obliczeniowe: dla wyznaczonej masy wirnika usytuowanego w środku wału oraz
zmierzonego rozstawu łożysk należy obliczyć średnicę wału, którego częstotliwość drgań
własnych giętnych będzie dwukrotnie większa niż częstotliwość wymuszająca.
5. Informacje dodatkowe:
gęstość stali: ρ= 7800kg/m3
πd 4
64
moduł Younga dla stali E ≈ 2,l*105MPa=2,1*1011N/m2
ugięcie belki obciążonej w środku siłą P:
Pl 3
y=
48 EI
moment bezwładności przekroju kołowego I =