Zadania z przedmiotu Matematyka Dyskretna, I semestr
Transkrypt
Zadania z przedmiotu Matematyka Dyskretna, I semestr
Zadania z przedmiotu Matematyka Dyskretna, I semestr seria 5 1. Przypuśćmy, że 64 przedmioty zostaly umieszczone w dziewieciu pudelkach. , (1) Wykaż, że jedno z pudelek zawiera co najmniej 8 przedmiotów; (2) Wykaż, że jeśli dwa pudelka sa, puste, to jakieś pudelko zawiera przynajmniej dziesieć , przedmiotów. 2. Udowodnić, że w dowolnej grupie osób istnieja, osoby o tej samej liczbie znajomych (w tej grupie). 3. Niech A bedzie dziesiecioelementowym podzbiorem zbioru {1, 2, 3, . . . , 50}. Wykaż, że A ma dwa , , czteroelementowe podzbiory, majace równe sumy elementów. , 4. Wykazać, że wśród dowolnych n + 1 liczb calkowitych istnieja para liczb różniacych sie, o , wielokrotność n. 5. Dany jest zbiór zlożony z dziesieciu liczb naturalnych dwucyfrowych. Udowodnić, że w tym , zbiorze istnieja, dwa niepuste rozlaczne podzbiory takie, że sumy liczb obu podzbiorów sa równe. , 6. Zalóżmy, że danych jest n + 1 różnych liczb ze zbioru {1, 2, . . . , 2n}. Udowodnić, że wśród tych liczb (1) istnieje para liczb, których suma jest równa 2n + 1; (2) istnieja, dwie liczby wzglednie pierwsze; , (3) istnieje liczba, która jest wielokrotnościa, innej liczby. 7. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n pewna jej wielokrotność ma postać 99...9000...0 . 8. Wykaż, że jeśli dziesieć , nieujemnych liczb calkowitych ma sume, 101, to musza, być wśród nich trzy, których suma wynosi co najmniej 31. 9. Niech (n1 , n2 , n3 , . . . , n24 ) bedzie permutacja, liczb 1, 2, 3, . . . , 24. , (1) Wykaż, że musza, istnieć cztery kolejne wyrazy tej permutacji mniejsze od 20; (2) Wykaż, że musza, istnieć trzy kolejne wyrazy tej permutacji, których suma wynosi co najmniej 38; (3) Wykaż, że musi istnieć pieć , kolejnych wyrazów tej permutacji, których suma wynosi co najmniej 61; 10. Niech A bedzie podzbiorem zbioru {1, 2, 3, . . . , 149, 150} zlożonym z 25 liczb. Wykaż, że istnieja, , dwie rozlaczne pary elementów zbioru A, majace te same same sumy. , , 11. Na plaszczyznie danych jest 5 punktów kratowych (tzn. punktów o obu wspólrzednych calkowitych). , Udowodnić, że środek jednego z odcinków laczacych te punkty jest również punktem kratowym. 12. Udowodnić, że dla dowolnych 2n−1 + 1 podzbiorów zbioru n-elementowego zawsze znajda, sie, dwa zbiory rozlaczne (n > 1). , 13. Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych podzielnych przez 2009 i których ostatnimi cyframi sa, 2008. 14. W prostok 3 × 4 wybrano 6 punktów. Udowodnić, że pewne dwa punkty sa, odlegle o nie , √ acie wiecej niż 5. , 15. Sosnowy las, skladajacy sie, z 4500 drzew, rośnie na obszarze w ksztalcie kwadratu o boku , dlugości 1 km. Każde z drzew ma średnice, nie wieksz a, niż 0, 5 m. Wykazać, że w pewnym prostokacie , , 10 m × 20 m nie rośnie żadne drzewo.