A. Oblicz nast˛epuj˛ace całki postaci / x a lnb xdx, gdzie a, b s˛a

R a b
R1
2
A. Oblicz nastepuj
¾ ace
¾ ca÷
ki postaci
x ln xdx;
1. e ax dx; a > 0:
gdzie a; b sa¾ pewnymi liczbami ca÷kowitymi.
0
Zwróć uwage¾ na róz·nice w sposobach ca÷kowania
R1 e x
w zalez·ności od wartości przyjmowanych przez
p dx: Wskazówka: zamiana zmiennych.
2.
x
0
prametry a oraz b:
R
R1 sin 3x
R1 sin( 4x)
R1 sin ax
1. x ln xdx = 21 x2 ln x 14 x2 + C:
3.
dx;
dx;
x
x
x dx; a > 0;
0
0
0
R
2
2
1 2
R1 sin bx
2. x ln xdx = 4 x 2 ln x 2 ln x + 1 + C:
R 2
x dx; b < 0:
0
3. x ln xdx = 13 x3 ln x 19 x3 + C:
R
R1 sin ax cos bx
1 3
x 9 ln2 x 6 ln x + 2 + C:
4. x2 ln2 xdx = 27
4.
dx; a > 0; b > 0: Wskazówka:
x
0
R ln x
2
1
rozwaz· przypadki: a > b; a = b; a < b:
5.
x dx = 2 ln x + C:
R ln3 x
R1 sin2 x
4
1
6.
kowanie przez cześci.
¾
5.
x dx = 4 ln x + C:
x2 dx: Wskazówka: ca÷
0
R ln x
1
7.
x2 dx =
x (ln x + 1) + C:
p
p
: 3. 2 ; 2 ; 2 ; 2 :
Odpowiedzi: 1. 12 a : 2.
R ln3 x
3
2
1
8.
x2 dx =
x ln x + 3 ln x + 6 ln x + 6 + C: 4. 2 gdy a > b; 4 gdy a = b; 0 gdy a < b:
R 1
9. x ln
x dx = ln (ln x) + C:
D. Wykaz· równości:
R 1
10. x ln4 x dx = 3 ln13 x + C:
R1 x2
R1 1
dx
=
1.
4
1+x
1+x4 dx: Wskazówka: dokonaj zaB. Dla jakich wartości parametru k ca÷
ki
0
0
miany zmiennych w pierwszej ca÷ce.
Z1
Z1
1
1
R1 x ln x
dx;
dx
xk ln x
2.
x lnk x
(1+x2 )2 dx = 0: Wskazówka: podziel przedzia÷
2
2
0
ca÷kowania na dwie cześci,
¾
nastepnie
¾
w jednej z
ca÷ek podstaw x = 1t :
sa¾ zbiez·ne? Co moz·na powiedzieć o zbiez·ności
szeregów
1
X
1
X
1
;
k ln n
n
n=2
1
?
k
n
ln
n
n=2
Odpowiedzi: 1. zbiez·na dla k > 1; rozbiez·na dla
k
1: 2. zbiez·na dla k > 1; rozbiez·na dla k
1:
1
:
Wartość ca÷
ki dla k > 1 wynosi (k 1)(ln
2)k 1
C. Oblicz podane niz·ej ca÷ki korzystajac
¾ z nastepu¾
jacych
¾
wzorów:
Z1
0
e
x2
dx =
p
2
;
Z1
sin x
dx = :
x
2
0
Pierwsza ca÷
ka nosi nazw¾
e ca÷
ki Poissona, druga ca÷ki
Dirichleta.
1