System Trachtenberga

System Trachtenberga
[Na podstawie: http://pl.wikipedia.org/wiki/System
Trachtenberga]
Metoda szybkiego mnożenia w pamięci w zakresie 2, 3, . . . , 12 wymyślona przez ukraińskiego matematyka Jakowa Trachtenberga, podczas gdy przebywał on w niemieckim obozie
koncentracyjnym.
W zaprezentowanym materiale przyjmujemy następujące ustalenia:
1. Słowem ”sąsiad” opisujemy cyfrę znajdującą się po prawej stronie danej cyfry. Gdy po
prawej stronie nie ma cyfry, to jako sąsiada przyjmujemy cyfrę 0.
2. Każdej liczbie, na której wykonujemy mnożenie, dodajemy z przodu 0 (np. liczbę 3461,
zapisujemy jako 03461).
3. Jako połowę danej cyfry rozumiemy jej połowę zaokrągloną do całości w dół, np. połowa
9 to 4, połowa 1 to 0, połowa 0 to 0.
Wszystkie metody będą zaprezentowane na konkretnych przykładach. Zapisanie ich w pełnej ogólności, pozostawiamy czytelnikowi.
Mnożenie przez 12
1.
2.
3.
4.
Rozważamy liczbę 7117. Zgodnie z początkowymi ustaleniami zapisujemy ją jako 07117.
Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
Mnożymy każdą cyfrę przez 2 i dodajemy do niej sąsiada.
Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę
przesuwamy niżej.
Rozwiązanie:
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
7
1
1
7
0
=
=
=
=
=
7
1
1
7
0
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
0
7
1
1
7
(brak sąsiada) = 1/4 (czwórka zostaje, jedynka idzie w dół)
(sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/0
(sąsiad) + 1 (ta z góry) = 4
(sąsiad) = 1/5
(sąsiad) + 1 (ta z góry) = 8
Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu: 85404.
Mnożenie przez 11
1.
2.
3.
4.
Rozważamy liczbę 2345. Zgodnie z początkowymi ustaleniami zapisujemy ją jako 02345.
Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
Do każdej cyfry dodajemy jej sąsiada.
Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę
przesuwamy niżej.
Rozwiązanie:
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
5
4
3
2
0
=
=
=
=
=
5
4
3
2
0
+
+
+
+
+
0
5
4
3
2
(brak sąsiada) = 5
(sąsiad) = 9
(sąsiad) = 7
(sąsiad) = 5
(sąsiad) = 2
Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu: 25795.
Konwersja do systemu TEX: Adam Kolany, http://kolany.pl, mailto:[email protected], gg. 1797933
1
Mnożenie przez 9
1.
2.
3.
4.
5.
Rozważamy liczbę 34567. Zgodnie z początkowymi ustaleniami zapisujemy ją jako 034567.
Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
Bierzemy pierwszą cyfrę ze słupka i odejmujemy ją od 10.
Każdą kolejną cyfrę odejmujemy od 9. Do wyniku dodajemy sąsiada.
Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę
przesuwamy niżej.
Rozwiązanie:
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
7
6
5
4
3
0
=
=
=
=
=
=
10 - 7 =3
(9 - 6) + 7
(9 - 5) + 6
(9 - 4) + 5
(9 - 3) + 4
(9 - 0) + 3
(sąsiad)
(sąsiad)
(sąsiad)
(sąsiad)
(sąsiad)
=
+
+
+
+
1/0
1 (ta
1 (ta
1 (ta
1 (ta
z
z
z
z
góry)
góry)
góry)
góry)
=
=
=
=
1/1
1/1
1/1
1/3
(jedynka idzie w dół;
nie bierzemy jej pod uwagę)
Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu: 311103.
Mnożenie przez 8
1.
2.
3.
4.
5.
Rozważamy liczbę 45678. Zgodnie z początkowymi ustaleniami zapisujemy ją jako 045678.
Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
Bierzemy pierwszą cyfrę ze słupka i odejmujemy ją od 10. Wynik mnożymy przez 2.
Każdą kolejną cyfrę odejmujemy od 9. Wynik mnożymy przez 2. Dodajemy sąsiada.
Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę
przesuwamy niżej.
Rozwiązanie:
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
8
7
6
5
4
0
=
=
=
=
=
=
(10 - 8) x 2 = 4
(9 - 7) x 2 + 8 (sąsiad)
(9 - 6) x 2 + 7 (sąsiad)
(9 - 5) x 2 + 6 (sąsiad)
(9 - 4) x 2 + 5 (sąsiad)
(9 - 0) x 2 + 4 (sąsiad)
=
+
+
+
+
1/2
1 (ta
1 (ta
1 (ta
1 (ta
z
z
z
z
góry)
góry)
góry)
góry)
=
=
=
=
1/4
1/5
1/6
2/3
(dwójka idzie w dół;
nie bierzemy jej pod uwagę)
Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu: 365424.
Mnożenie przez 7
1. Rozważamy liczbę 56789. Zgodnie z początkowymi ustaleniami zapisujemy ją jako 056789.
2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
3. Podwajamy każdą cyfrę i dodajemy do niej połowę sąsiada. Jeśli cyfra wyjściowa jest
nieparzysta, dodajemy 5.
4. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę
przesuwamy niżej.
Rozwiązanie:
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
9
8
7
6
5
0
=
=
=
=
=
=
9
8
7
6
5
0
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
0
4
4
3
3
2
(brak sąsiada) + 5 (9 jest nieparzyste) = 2/3
(sąsiad) + 2 (ta z góry) = 2/2
(sąsiad) + 5 (7 jest nieparzyste) + 2 (ta z góry) = 2/5
(sąsiad) + 2 (ta z góry) = 1/7
(sąsiad) + 5 (5 jest nieparzyste) + 1 (ta z góry) = 1/9
(sąsiad) + 1 (ta z góry) = 3
Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu: 397523.
2
Mnożenie przez 6
1. Rozważamy liczbę 67890. Zgodnie z początkowymi ustaleniami zapisujemy ją jako 067890.
2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
3. Dodajemy do każdej cyfry połowę sąsiada. Jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta, dodajemy 5.
4. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę
przesuwamy niżej.
Rozwiązanie:
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
0
9
8
7
6
0
=
=
=
=
=
=
0
9
8
7
6
0
+
+
+
+
+
+
0
0
4
4
3
3
(brak sąsiada) = 0
(połowa sąsiada) +
(połowa sąsiada) +
(połowa sąsiada) +
(połowa sąsiada) +
(połowa sąsiada) +
5
1
5
1
1
(9 jest nieparzyste) = 1/4
(ta z góry) = 1/3
(7 jest nieparzyste) + 1 (ta z góry) = 1/7
(ta z góry) = 1/0
(ta z góry) = 4
Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu: 407340.
Mnożenie przez 5
1. Rozważamy liczbę 91372. Zgodnie z początkowymi ustaleniami zapisujemy ją jako 091372.
2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
3. Każdej cyfrze przypisujemy połowę sąsiada. Jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta, dodajemy 5.
4. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę
przesuwamy niżej.
Rozwiązanie:
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
2
7
3
1
9
0
=
=
=
=
=
=
0
1
3
1
0
4
(brak sąsiada) = 0
(połowa sąsiada) +
(połowa sąsiada) +
(połowa sąsiada) +
(połowa sąsiada) +
(połowa sąsiada) +
5
5
5
5
1
(7
(3
(1
(9
=
jest
jest
jest
jest
4
nieparzyste)
nieparzyste)
nieparzyste)
nieparzyste)
=
=
=
=
6
8
6
5
Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu: 456860.
Mnożenie przez 4
1. Rozważamy liczbę 8621. Zgodnie z początkowymi ustaleniami zapisujemy ją jako 08621.
2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
3. Pierwszą cyfrę w słupku odejmujemy od 10. Do wyniku dodajemy 5, jeśli cyfra wyjściowa
jest nieparzysta.
4. Każdą kolejną cyfrę odejmujemy od 9. Do wyniku dodajemy połowę sąsiada. Do wyniku
dodajemy 5, jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta.
5. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę
przesuwamy niżej.
Rozwiązanie:
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
1
2
6
8
0
=
=
=
=
=
(10 - 1) + 0 (brak sąsiada) + 5 (1 jest nieparzyste) = 1/4
7 + 0 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 8
3 + 1 (połowa sąsiada) = 4
1 + 3 (połowa sąsiada) = 4
9 + 4 (połowa sąsiada) = 1/3 (jedynka idzie w dół; nie bierzemy jej pod uwagę)
Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu: 34484.
3
Mnożenie przez 3
1. Rozważamy liczbę 5083. Zgodnie z początkowymi ustaleniami zapisujemy ją jako 05083.
2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
3. Pierwszą cyfrę w słupku odejmujemy od 10. Wynik mnożymy przez 2. Do wyniku dodajemy 5, jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta.
4. Każdą kolejną cyfrę odejmujemy od 9. Wynik mnożymy przez 2. Do wyniku dodajemy
połowę sąsiada. Do wyniku dodajemy 5, jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta.
5. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę
przesuwamy niżej.
Rozwiązanie:
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
3
8
0
5
0
=
=
=
=
=
(10 - 3) x 2 + 0 (brak sąsiada) + 5 (3 jest nieparzyste) = 1/9
(9 - 8) x 2 + 1 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 4
(9 - 0) x 2 + 4 (połowa sąsiada) = 2/2
(9 - 5) x 2 + 0 (połowa sąsiada) + 5 (5 jest nieparzyste) + 2 (ta z góry) = 1/5
(9 - 0) x 2 + 2 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 2/1 (dwójka idzie w dół;
nie bierzemy jej pod uwagę)
Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu: 15249.
Mnożenie przez 2
1.
2.
3.
4.
Rozważamy liczbę 9870. Zgodnie z początkowymi ustaleniami zapisujemy ją jako 09870.
Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
Podwajamy każdą cyfrę.
Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę
przesuwamy niżej.
Rozwiązanie:
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
0
7
8
9
0
=
=
=
=
=
0
7
8
9
0
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
=
=
+
+
+
0
1/4
1 (ta z góry) = 1/7
1 (ta z góry) = 1/9
1 (ta z góry) = 1
Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu: 19740.
4