Teoria gier, matematyka WPPT semestr zimowy 2008/2009 VII lista

Teoria gier, matematyka WPPT
semestr zimowy 2008/2009
VII lista zadań
1. Rozważ następującą grę kooperacyjną trzech graczy: Gracz 1. chce sprzedać dom, który wycenia na 1 mln PLN. Gracze 2. i 3. są chętni na zakup
domu, który wyceniają na 2 mln. i każdy z nich dysponuje tą kwotą. Wartość koalicji określona jest w następujący sposób – jeśli zawiązą koalicję
gracze 1. i dowolny (dowolni) z graczy 2. i 3., dom zostaje sprzedany, a
wartością koalicji jest ilość gotówki posiadanej w sumie przez obu (wszystkich trzech) graczy plus wartość domu dla tego, który go kupił. Podobnie,
jeśli zawiązała się koalicja, która nie dokona transakcji, wartością koalicji jest suma gotówki, którą posiadają plus (jeśli w koalicji jest 1. gracz)
wartość, na jaką on wycenia ten dom.
(a) Przedstaw powyższą grę w postaci funkcji charakterystycznej.
(b) Znajdź rdzeń dla tej gry.
(c) Pokaż, że rdzeń nie jest zbiorem stabilnym.
(d) Pokaż, że w grze istnieje nieskończenie wiele zbiorów stabilnych postaci
Vα = {x ∈ R3 : x jest imputacją i x2 − 2 = α(x3 − 2)},
gdzie α jest pewną stałą dodatnią.
2. Udowodnij, że w dowolnej grze kooperacyjnej, jeśli ma ona niepusty rdzeń,
to ten rdzeń jest zawarty w każdym zbiorze stabilnym.
3. Niech v będzie grą głosowania 4 graczy z wagami
(a) w1 = 1.01, w2 = 2, w3 = 2, w4 = 5,
(b) w1 = 0.99, w2 = 2, w3 = 2, w4 = 5.
Oblicz wartość Shapleya dla tej gry.
4. Decyzje w pewnej partii podejmowane są przez pięcioosobowe prezydium
w składzie: Prezes (Gracz 1.), dwaj Członkowie prezydium (Gracze 2. i
3.) oraz dwóch Zastępców członka (Gracze 4. i 5.) w następujący sposób:
przeprowadzane jest głosowanie, do którego wygrania potrzebna jest większość głosów, przy czym Prezes i Członkowie dysponują każdy po jednym
głosie, a Zastępcy członka mają głos tylko, jeśli popierają Prezesa (oczywiście nie muszą go popierać naraz – jeśli popiera Prezesa tylko jeden, to
tylko on dostaje głos). Oblicz wartość Shapleya dla takiej gry.
5. Pokaż, że w dowolnej grze głosowania z wagami zachodzi jedna z dwóch
możliwości:
• Istnieje gracz, który znajduje się w każdej koalicji wygrywającej (oznaczmy go literką a). Wtedy rdzeń tej gry jest jednoelementowy, a jego
jedyny element jest postaci: xa = 1, xi = 0 dla i 6= a.
• Taki gracz nie istnieje. Wtedy rdzeń jest pusty.
6. Niech gra v będzie określona następująco: v(∅) = 0, v({a}) = v({b}) = 1,
v({c}) = v({a, b}) = 2, v({a, c}) = v({b, c}) = 4, v({a, b, c}) = 5.
(a) Znajdź rdzeń w tej grze.
(b) Oblicz wartość Shapleya dla tej gry.
(c) Czy wartość Shapleya należy do rdzenia?
7. Pokaż, że wartość Shapleya w grze superaddytywnej musi być imputacją.
Następnie znajdź przykład na to, że w przypadku gier, które superaddytywne nie są, tak już być nie musi.