MODEL TEORETYCZNY ALGORYTMU MRÓWKOWEGO SAS XII

XII International PhD Workshop
OWD 2010, 23–26 October 2010
MODEL TEORETYCZNY
ALGORYTMU MRÓWKOWEGO SAS
Paweł Rembelski, Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych
(Opiekun naukowy: prof. Witold Kosiński, Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych)
Abstract
The paper introduces a Simple Ant System
algorithm (SAS), which is a modification of a well
known Ant System (AS) heuristic. SAS method is
designed with respect to the assumed definition of
an optimization problem. In this case the following
components of the AS method are rebuilt:
• the definition of pheromone density coefficient,
• the neighborhood choosing rule,
• the pheromone update rule.
Using these modifications the theoretical model of
evolution of SAS algorithm is derived, both in the
local scale, i.e. for a single ant, as well as in the global
scale, i.e. for the whole ant colony. The final
conclusion is that Simple Ant System evolution
process is the Markov process over the finite set of
states. This result gives a possibility to carry out the
detailed research on the convergence property of
SAS method as well as allows to investigate a
theoretical background of self-adaptive subalgorithms for the single ant behavior. Due to this
line of research a Self-Adaptive Ant System (SAAS)
with parallelization schema for the NVidia CUDA
platform is planned to be SAS method successor.
Streszczenie
W artykule prezentujemy zmodyfikowaną wersję
klasycznej heurystyki mrówkowej, nazwaną przez
autora pracy Simple Ant System (SAS), dla której
konstruujemy model teoretyczny sformułowany w
języku algebry liniowej. Finalnym rezultatem pracy
jest wniosek mówiący, że proces ewolucji algorytmu
SAS jest procesem Markowa w skończonej
przestrzeni stanów.
1. Problem optymalizacyjny
Przez problem optymalizacyjny będziemy rozumieli
czwórkę
, ℛ, , ‖∙‖,
gdzie:
• = , – jest zadanym skończonym grafem
skierowanym nad zbiorem indeksowanych
wierzchołków = , , … , i binarną
macierzą sąsiedztwa wymiaru × ,
• ℛ = , , … , – jest zbiorem wszystkich indeksowanych dróg (rozwiązań), tj. ciągów (z
powtórzeniami)
złożonych
z
indeksów
wierzchołków grafu , gdzie = , , … , oraz ≤ , dla każdego 1 ≤ " ≤ ,
• = # , # , … , # –
jest
zbiorem
indeksowanych dopuszczalnych krotności wystąpień
indeksów wierzchołków grafu w każdej drodze
∈ ℛ tak, że # ∈ ℕ& , dla 1 ≤ " ≤ oraz
∑( # = ,
• ‖∙‖: ℛ → ℝ& ∪ 0 – jest funkcją oceny jakości
drogi.
Wniosek 1.1. Ponieważ
= . /0
123
(
4,
to zbiór ℛ jest zbiorem skończonym.
Niech dalej ∗ ∈ ℛ będzie drogą optymalną, tj.
∀1 ≤ " ≤ ‖ ‖ ≥ ‖ ∗ ‖. Naszym zadaniem
jest wyszukanie takiej drogi ∈ ℛ, by różnica
‖‖ − ‖ ∗ ‖ była możliwie minimalna. Zatem
interesuje nas minimalizacja wartości funkcji oceny w
przestrzeni rozwiązań ℛ.
Przedstawione powyżej sformułowanie problemu
optymalizacyjnego jest dostatecznie uniwersalne.
Pozwala na wyrażenie wielu praktycznych zagadnień
kombinatorycznych z dziedziny teorii algorytmów,
szczególnie tych, z klasy problemów NP-zupełnych,
jak
np.
problem
komiwojażera,
problem
marszrutyzacji, problem plecakowy. Z punktu
widzenia tematyki prezentowanej pracy ustalenie
konkretnego problemu optymalizacyjnego nie jest
istotne. Stąd, w dalszej części artykułu przedstawimy
wyniki teoretyczne bez bezpośredniego odniesienia
do instancji problemu optymalizacyjnego.
2. Algorytmy mrówkowe
37
Algorytmy mrówkowe stanowią szeroką klasę
heurystyk optymalizacyjnych inspirowanych biologią,
a dokładniej zachowaniami rojowymi. W tym
przypadku „siła” metody obliczeniowej spoczywa na
kolektywnym gromadzeniu informacji przez
jednostki nazywane mrówkami i konstruowaniu
indywidualnych rozwiązań w oparciu o globalną
wiedzę zbioru 9 indeksowanych mrówek : =
; , ; , … , ;9 , nazywanego mrowiskiem.
Pierwsze prace nad algorytmami mrówkowymi
przedstawił w rozprawie doktorskiej M. Dorigo [1].
Następnie razem z współpracownikami podał
kompletny schemat metody Ant System (AS) [5] i
wykazał efektywność tego podejścia na przykładzie
problemu komiwojażera [4]. Kolejne lata badań
przyniosły wiele modyfikacji bazowego modelu AS,
w rezultacie czego powstała szeroka klasa heurystyk
mrówkowych, nazywanych ogólnie Ant Colony
Optimization (ACO), np. Ant Colony System (ACS)
[3], MAX-MIN Ant System (MMAS) [8]. Algorytmy
zawarte w tej klasie metod ACO znalazły szeroką
gamę zastosowań praktycznych w dziedzinach:
routingu, przydziału zasobów, planowania pracy,
wyszukiwania właściwych podzbiorów elementów i
wielu innych [2]. Wraz z rozwojem praktycznych
aspektów zastosowań algorytmów mrówkowych,
podano także częściowe wyniki teoretyczne
dotyczące ich zbieżności i oczekiwanego czasu
działania, np. [6], [7].
2.1 Algorytm AS
Model heurystyki AS bazuje na pojęciu
współczynnika nasycenia śladu feromonowego <,= ∈ ℝ&
krawędzi łączącej wierzchołek z wierzchołkiem
= . Wartość współczynnika jest modyfikowana w
trakcie wykonania algorytmu przez wszystkie mrówki
; , ; , … , ;9 ,
na
podstawie
indywidualnie
skonstruowanych dróg > , ? , … , 9 , zgodnie z
poniższą regułą aktualizacji współczynników nasycenia
śladu feromonowego (AS-PUR)
<,= ⟻ 1 − A + 0
9
D(
D
Δ<,=
,
gdzie A
jest ustalonym współczynnikiem
wyparowania feromonu oraz
, ", H HJKL MNOP"ąR"JS G V
D
Δ<,= = EFG F
0,
T M. M.
dla będącego zadaną stałą. Aktualne wartości
współczynników nasycenia śladu feromonowego
<,= , dla 1 ≤ ", H ≤ stanowią nośnik wiedzy dla
całego mrowiska na temat własności przeszukiwanej
przestrzeni rozwiązań ℛ.
Niech G = , , … , będzie aktualnie
skonstruowaną drogą, przez mrówkę ;D , gdzie
= ". Poniższa probabilistyczna reguła wyboru
sąsiedztwa (AS-NCR) jednoznacznie determinuje
prawdopodobieństwo dołączenia przez mrówkę ;D
do ciągu G wierzchołka =
X
∙ Y,=
<,=
Z
D
M,=
= W∑[∉] < X ∙ Y Z
,[
2
,[
G
0,
, H ∉ G V
T M. M.
dla ^ oraz _ będących zadanymi współczynnikami
sterującymi zachowaniem mrówki oraz Y,= , dla
1 ≤ ", H ≤ , będącym dodatkową lokalną informacją
(tzw. informacja heurystyczna) związaną z parą
wierzchołków , = , np. dla problemu
komiwojażera
1
Y,= =
,
dist", H
gdzie
dist", H
jest
odległością
między
wierzchołkami o indeksach " oraz H.
Ostatecznie algorytm mrówkowy klasy AS ma
następującą postać:
• ustal wartości parametrów sterujących A, ^, _,
• dopóki warunek stopu nie jest spełniony
powtórz:
o dla mrówki ; , ; , … , ;9 ustal indeks
wierzchołka początkowego drogi G ,
o dla mrówki ; , ; , … , ;9 zbuduj korzystając z
reguły AS-NCR drogę G ,
o przeprowadź
globalnie
aktualizację
współczynników
nasycenia
śladu
feromonowego – reguła AS-PUR.
2.2 Algorytm SAS
Prosty algorytm mrówkowy Simple Ant System
(SAS) stanowi przedmiotem pracy badawczej autora
artykułu. Heurystyka SAS bazuje na schemacie
metody AS, wprowadza jednak szereg modyfikacji
względem poszczególnych składowych wersji
pierwotnej. Podstawowe zmiany dotyczą trzech
kluczowych aspektów:
• definicji
współczynnika
nasycenia
śladu
feromonowego,
• reguły aktualizacji współczynników nasycenia
śladu feromonowego – reguła SAS-PUR,
• reguły wyboru sąsiedztwa – reguła SAS-NCR.
Dokładny opis powyższych zmian jest zawarty w
treści kolejnego rozdziału. Istotny jest fakt, że w
algorytmie SAS zawężamy zbiór parametrów
sterujących A, ^, _ jedynie do współczynnika ^,
dodatkowo rezygnujemy z informacji heurystycznej
Y,= . Ostatecznie heurystyka SAS ma następującą
postać:
• ustal wartość parametru sterującego ^,,
• dopóki warunek stopu nie jest spełniony
powtórz:
38
o dla mrówki ; , ; , … , ;9 ustal indeks
wierzchołka początkowego drogi G ,
o dla mrówki ; , ; , … , ;9 zbuduj korzystając z
reguły SAS-PUR drogę G ,
o dla mrówki ; , ; , … , ;9 , przeprowadź
lokalnie
aktualizację
współczynników
nasycenia śladu feromonowego – reguła SASNCR.
3. Model teoretyczny algorytmu SAS
Na potrzeby tego rozdziału przyjmiemy
następujące oznaczenia:
• de",∙f – wektor kolumnowy tożsamy z "-tą
kolumną macierzy d,
• d" – "-ty element ciągu d,
• #", d – liczba wystąpień elementów " w
wektorze/ciągu d.
Niech < ∈ ℕ& będzie maksymalną wartością
współczynnika nasycenia śladu feromonowego
związanego z dowolną krawędzią grafu . Dalej
zbiór ℍ = 1,2, … , < będziemy nazywali zbiorem
współczynników nasycenia śladu feromonowego. W
algorytmie SAS. Na tej podstawie wprowadzamy
kolejno:
• ℱ = kl , l , … , lm n – zbiór wszystkich m
indeksowanych wektorów kolumnowych stopni
nasycenia śladu feromonowego wymiaru takich, że
l ∈ ℍ , dla 1 ≤ " ≤ m, gdzie leHf oznacza ilość
feromonu związanego z wierzchołkiem = ∈ o,
• ℋ = kq , q , … , qr n – zbiór wszystkich r
indeskowanych macierzy stopni nasycenia śladu
feromonowego wymiaru × takich, że q ∈
ℍ×, dla 1 ≤ " ≤ r, gdzie qeH, sf oznacza ilość
feromonu związanego z krawędzią łączącą
wierzchołek = z wierzchołkiem D .
3.1 Probabilistyka śladu feromonowego
m = < ,
Wniosek 3.1. Ponieważ
to zbiór ℱ jest zbiorem skończonym.
Wniosek 3.2. Ponieważ
r = < ,
?
to zbiór ℋ jest zbiorem skończonym.
Korzystając z przedstawionych powyżej zbiorów
ℍ, ℱ oraz ℋ wprowadzimy teraz niezbędny aparat
probabilistyczny pozwalający na stworzenie modelu
teoretycznego
dla
rozważanego
algorytmu
mrówkowego SAS.
t oznaczać będziemy zbiór dyskretnych
Przez ℍ
t = uw,
wartości prawdopodobieństwa postaci ℍ
v
gdzie ; ∈ 1,2, … , < , x ∈ 1,2, … , ∙ < oraz 0 < ≤ 1. Konstruujemy funkcję redukcji
v
t
wektorów
Ω: ℱ × ℛ × ℝ& → ℍ
stanowiącą
zmodyfikowaną regułę wyboru sąsiedztwa (SAS-NCR) dla
algorytmu SAS, która danemu wektorowi
kolumnowemu
stopni
nasycenia
śladu
feromonowego przyporządkowuje stochastyczny
wektor kolumnowy l{ = Ωl, , ^ tak, że
0
l{ e"f = 1
(
oraz l{ e"f oznacza prawdopodobieństwo wyboru
wierzchołka ∈ , gdzie
le"fX
l{ e"f = E∑k=:#=,]|}~n leHfX
0,
, RO #", < #
RO #", ≥ #
V
dla
^
będącego
parametrem
sterującym
zachowaniem pojedynczej mrówki. Należy zwrócić
uwagę na fakt, że prawdopodobieństwo wyboru
na
podstawie
wektora
wierzchołka
{
probabilistycznego l jest równe 0 wtedy i tylko
wtedy, gdy krotność występowania indeksu " w
dotychczas ustalonej drodze ∈ ℛ jest większa
bądź równa # . W każdym innym przypadku
prawdopodobieństwo wyboru wierzchołka jest
niezerowe.
3.2 Przypadek podstawowy – pojedyncza
mrówka
Przez stan mrówki K€ w chwili L będziemy
rozumieli czwórkę
∗
l€ , q€ , € , €
,
gdzie:
• l€ – jest wektorem stopnia nasycenia śladu
feromonowego
określającym
probabilistykę
wyboru wierzchołka początkowego dla drogi
konstruowanej w chwili L,
• q€ – jest macierzą stopni nasycenia śladu
feromonowego określającą probabilistykę wyboru
kolejnych wierzchołków w drodze konstruowanej
w chwili L,
• € – droga będąca rezultatem przejścia
mrówki ze stanu w chwili L − 1 do stanu K,
∗
• €
– najlepsza, względem wartości funkcji
oceny, droga skonstruowana do chwili L − 1
włącznie,
oraz
39
K€ ∈ ℱ × ℋ × ℛ .
l€& e f ⟻ max1, l€& e f − 1,
Wniosek 3.3. Stan mrówki w chwili L zależy jedynie
od stanu mrówki w chwili L − 1.
l€& e∗ f ⟻ min< , l€& e∗ f + 1,
Dalej ‚ = K , K , … , Kƒ będzie zbiorem
wszystkich ƒ = |‚| indeksowanych stanów mrówki.
Wniosek 3.4. Ponieważ
ƒ = m ∙ r ∙ = . …< ? &†
∙ /0
to zbiór ‚ jest zbiorem skończonym.
123
(
q€& e , & f ⟻
∗
q€& =∗ , =&
Ž⟻
• niech € = , , … , będzie skonstruowaną
drogą, gdzie 1 ≤ ≤ , wtedy jeżeli F€ F ≤
∗
F€
F, to wykonaj
∗
€
⟻ €
w przeciwnym przypadku wykonaj
∗
• niech €
= ∗ , ∗ , … , ∗∗ , wykonaj aktualizację
śladu feromonowego zgodnie z poniższym
schematem:
oraz
q€& ⟻ q€
max1, q€& e , & f − 1,
4‡ ,
€ ⟻ € , & ,
l€& ⟻ l€
oraz
Asymptotyczne górne ograniczenie na liczność
elementów
zbioru
‚
jest
konsekwencją
wprowadzonego
w
pierwszym
rozdziale
asymptotycznego górnego ograniczenia na liczność
zbioru ℛ. Oczywiście nie jest to wynik dokładny, ale
zarazem wystarczający do tego by wykazać fakt
skończoności zbioru ‚, a tym samym podać
skończony wektor kolumnowy opisujący rozkład
prawdopodobieństwa dla stanów mrówki, a także
skonstruować skończoną macierz reprezentującą
algorytm działania dla pojedynczej mrówki.
Załóżmy teraz, że mrówka (z ustaloną wartością
parametru ^) w chwili L znajduje się w stanie K€ .
Poniższy schemat determinuje regułę przejścia mrówki
w algorytmie SAS ze stanu K€ do stanu K€&. Tym
samym opisuje zmodyfikowaną regułę aktualizacji
współczynników nasycenia śladu feromonowego (SAS-PUR):
• na podstawie rozkładu prawdopodobieństwa
zadanego wektorem kolumnowym Ωl€ , ∅, ^
ustal indeks pierwszego wierzchołka w
konstruowanej drodze € ,
• dopóki warunek stopu nie jest spełniony
powtórz: niech
€ = , , … , , na
podstawie
rozkładu
prawdopodobieństwa
zadanego
wektorem
kolumnowym
Ωq€ e",∙f, € , ^ ustal indeks &-tego
wierzchołka drogi € , następnie
∗
∗
€
⟻ €
,
następnie
∗
min< , q€& =∗ , =&
Ž + 1,
kolejno dla 1 ≤ " < i 1 ≤ H < ∗.
Ostatecznie stan K€& , który mrówka osiągnie w
∗
chwili L + 1 ma postać l€& , q€& , € , €
.
Na
podstawie
powyższego
algorytmu
postępowania dla pojedynczej mrówki możemy
sformułować kompletny opis algebraiczny jego
t€ ∈ e0,1fƒ
wykonania.
Poniżej

będzie
stochastycznym wektorem kolumnowym wymiaru ƒ
reprezentującym rozkład prawdopodobieństwa stanu
mrówki w chwili L tak, że
0
ƒ
t€ e"f = 1

ƒ
{ e", Hf = 1
(
t€ e"f oznacza prawdopodobieństwo tego, że
oraz 
w chwili L mrówka znajduje się w stanie K ∈ ‚.
Następnie { ∈ e0,1fƒ×ƒ będzie macierzą kolumnowo
stochastyczną wymiaru ƒ × ƒ reprezentującą algorytm
postępowania dla pojedynczej mrówki tak, że
0
=(
dla każdego 1 ≤ " ≤ ƒ, oraz {e", Hf oznacza
prawdopodobieństwo przejścia mrówki w chwili L ze
stanu K = l , q , , ∗ do stanu K= =
l= , q= , = , =∗ w chwili L + 1.
Kryteria konstrukcji macierzy { bazują na
przedstawionych powyżej regułach przejścia dla
mrówki i są zgodne z następującym schematem:
• {e", Hf = 0, gdy różnica wektorów l= − l nie
jest wektorem o zerowej sumie elementów i
zawierającym co najwyżej jeden element −1
oraz jeden element 1,
• {e", Hf = 0, gdy różnica wektorów q= es,∙f −
q es,∙f dla pewnego 1 ≤ s ≤ ƒ, nie jest
wektorem o zerowej sumie elementów i
zawierającym co najwyżej jeden element −1
oraz jeden element 1,
• {e", Hf = 0, gdy F= F < F=∗ F, tj. nieosiągalne są
stany, w których rozwiązanie F= F jest „lepsze”
niż rozwiązanie do tej pory „najlepsze” F=∗ F,
• {e", Hf = 0, gdy F=∗ F > ‖∗ ‖, tj. nieosiągalne są
stany, w których rozwiązanie do tej pory
40
„najlepsze” F=∗ F jest „gorsze” niż rozwiązanie
do tej pory „najlepsze” ‖∗ ‖ w stanie K
poprzedzającym stan K= ,
• w pozostałych przypadkach, jeżeli = =
, , … , , gdzie 1 ≤ ≤ , to
{e", Hf = Ωl , ∅, ^e f ∙
’

Ωq es,∙f, , , … , D , ^eD& f
D(
czyli prawdopodobieństwo przejścia mrówki ze
stanu K do stanu K= jest równe iloczynowi
prawdopodobieństwa
wyboru
wierzchołka
początkowego o indeksie zgodnie z rozkładem
zadanym
wektorem
Ωl , ∅, ^,
z
prawdopodobieństwem wyboru wierzchołka o
indeksie D& w wierzchołku D zgodnie z
rozkładem
prawdopodobieństwa
zadanym
wektorem Ωq es,∙f, , , … , D , ^, kolejno
dla s = 1,2, … , − 1.
t€
Załóżmy teraz, że wektor kolumnowy 
odpowiada za rozkład prawdopodobieństwa stanów
mrówki w chwili L, wtedy
t€& = 
t€ {

jest wektorem prawdopodobieństwa stanów mrówki
t“ jest wektorem
w chwili L + 1. Ogólnie, jeżeli 
rozkładu
prawdopodobieństwa
dla
stanu
początkowego pojedynczej mrówki, to
t = 
t“ { 
jest wektorem prawdopodobieństwa dla stanów
mrówki w chwili ", gdzie " = 1,2,3, ….
Przedstawione
powyżej
rozważania
z
uwzględnieniem wniosków 3.3 i 3.4, pozwalają nam
na wyrażenie procesu ewolucji stanów pojedynczej
mrówki w języku teorii łańcuchów Markowa nad
dyskretną przestrzenią stanów ‚. Prowadzi to do
kluczowego wniosku:
Wniosek 3.5. Proces ewolucji stanów pojedynczej
mrówki w przyjętym modelu teoretycznym
algorytmy SAS jest procesem Markowa.
3.3 Przypadek rozszerzony - mrowisko
W oparciu o zaprezentowany model teoretyczny
postępowania dla pojedynczej mrówki możemy
podać rozszerzenie rezultatów dla procesu ewolucji
mrowiska : = ; , ; , … , ;9 , składającego się z
9 > 1 mrówek.
9
Przez stan mrowiska K€
w chwili L będziemy
rozumieli 9-tkę stanów mrówek
•K€> , K€? , … , K€9 –,
gdzie
G
G
, ∗ €
–
K€G = •l€ , q€ , €
jest czwórką opisującą stan mrówki ;D w chwili L,
dla 1 ≤ s ≤ 9. Zatem
9
K€
∈ ℱ × ℋ × ℛ .
9
Wniosek 3.6. Stan mrowiska w chwili L zależy
jedynie od stanu mrowiska w chwili L − 1.
Należy podkreślić fakt, że w przyjętym modelu
teoretycznym dla stanu mrowiska, wszystkie mrówki
w chwili L „dostrzegają” tą samą postać wektora l
oraz macierzy q.
Dalej ‚ 9 = kK9 , K9 , … , Kƒ99 n będzie zbiorem
wszystkich ƒ9 indeksowanych stanów mrowiska.
ƒ9 = m ∙ r ∙ 9 ,
Wniosek 3.7. Ponieważ
to zbiór ‚ jest zbiorem skończonym.
9
Schemat reguły przejścia mrowiska stanu K€
do
9
stanu K€& jest następujący: dla każdej mrówki
;D ∈ :, gdzie 1 ≤ s ≤ 9, wykonaj przejście
G
zgodnie z
mrówki ze stanu K€G do stanu K€&
reguła
przejścia
dla
pojedynczej
mrówki
przedstawioną w podrozdziale 3.2.
Na tej podstawie możemy wyprowadzić
algebraiczny opis procesu ewolucji dla całego
9
9
t€
mrowiska.
Niech

∈ e0,1fƒ
będzie
stochastycznym wektorem kolumnowym wymiaru
ƒ9 reprezentującym rozkład prawdopodobieństwa stanu
mrowiska w chwili L tak, że
ƒ9
9
t€
e"f = 1

ƒ9
{ 9 e", Hf = 1
0
(
9
t€
e"f oznacza prawdopodobieństwo tego, że
oraz 
w chwili L mrowisko znajduje się w stanie K9 ∈ ‚.
9 9
Następnie { 9 ∈ e0,1fƒ ׃
będzie macierzą
kolumnowo stochastyczną wymiaru ƒ9 × ƒ9
reprezentującą algorytm postępowania mrowiska tak, że
0
=(
dla każdego 1 ≤ " ≤ ƒ9, oraz {e", Hf oznacza
prawdopodobieństwo przejścia mrowiska w chwili L
ze stanu K9 do stanu K=9 w chwili L + 1.
Określenie wartości elementu macierzy { 9 e", Hf
bazuje na stwierdzeniu, że indywidualne procesy
ewolucji mrówek z chwili L do chwili L + 1 są
zdarzeniami niezależnymi. Stąd jeżeli
K9 = K > , K ? , … , K 9 ,
41
K=9 = •K= > , K= ? , … , K= 9 –,
oraz
K= G = •l= , q= , = G , ∗ = G –,
dla 1 ≤ s ≤ 9 i = G = • G , G , … GG –, gdzie
1 ≤ D ≤ , to
{ 9 e", Hf = ’
’
G 
[(
9
D(
•Ωl , ∅, ^ G ŽV ∙
V•Ωq eO,∙f, G , … G , ^– e[& f–,
[
czyli prawdopodobieństwo przejścia mrowiska ze
stanu K9 do stanu K=9 jest równe iloczynowi
prawdopodobieństw przejścia każdej z mrówek ze
stanu K G do stanu K= G .
9
t€
Ostatecznie jeżeli 
jest wektorem opisującym
rozkład prawdopodobieństwa stanów mrowiska w
chwili L, to
9
9 {9
t€
t€&
=


jest wektorem prawdopodobieństwa stanów
mrowiska w chwili t+1. Zatem analogicznie jak w
przypadku pojedynczej mrówki
9
9 {9 t“
t
=

 jest wektorem rozkładu prawdopodobieństwa
9
t“
stanów mrowiska w chwili " = 1,2,3, …, dla 
będącego wektorem rozkładu prawdopodobieństwa
dla stanu początkowego mrowiska.
Teraz korzystając z wniosków 3.6, 3.7 jak i
powyższego
równania
procesu
ewolucji
9
t“
probabilistycznej stanów mrowiska z wektora 
9
t
, możemy sformułować końcowy
do wektora 
wniosek:
Wniosek 3.8. Proces ewolucji stanów mrowiska w
przyjętym modelu teoretycznym algorytmy SAS jest
procesem Markowa.
4. Podsumowanie
Głównym rezultatem przedstawionych badań jest
stwierdzenie mówiące, że ewolucja uproszczonego
schematu algorytmu mrówkowego SAS jest
procesem Markowa w przyjętym modelu
teoretycznym. Wynik ten daje szanse dalszej analizy
własności rozważanej heurystyki pod względem
zbieżności, a stąd także i oczekiwanej złożoności
czasowej.
W przyszłości autor artykułu planuje rozszerzyć
metodę SAS o schemat samoadaptacji heurystyki
względem parametru ^. W tym przypadku zostanie
także podany rozszerzony model teoretyczny
algorytmu bazujący na tym, który został
przedstawiony w rozdziale 3. Ostatecznie autor
podejmie próbę ustalenia efektywnego schematu
zrównoleglenia otrzymanej wersji samoadaptacyjnej
algorytmu mrówkowego, dla wielordzeniowej
platformy obliczeniowej NVidia CUDA. Prace
badawcze zostaną zakończone implementacją
rozwiązania oraz szeroką analizą wyników
eksperymentalnych dla różnych instancji problemów
NP-trudnych.
Literatura
1. Dorigo M., Optimization, learning and natural
algorithms, Ph. D. disseration, 1992.
2. Dorigo M., Birattari M. Stutzle T, Ant Colony
Optimization, IEEE Computional Intelligence
Magazine, XI 2006.
3. Dorgio M., Gambardella L. M., Ant Colony System:
A cooperative learing approach to the TSP problem,
IEEE
Transaction
on
Evolutionary
Computation, vol. 1, 1997.
4. Dorigo M, Gambardella L. M., Solving symmetric
and asymmetic TSPs by ant colonies, IEEE
International Conference on Evolutionary
Computation, 1996.
5. Dorigo M., Maniezzo V., Colorni A., Ant System:
optymization by colony of cooperating agents, IEEE
Transactions on Systems, Man and Cybernetics,
vol. 26, 1996.
6. Dorigo M., Stutzle T., A short convergence proof for a
class of ACO algorithms, IEEE Transactions on
Evolutionary Computation, vol 6, 2002.
7. Gutjahr W. J., ACO algorithms with guaranteed
convergence proof to the optimal solution, Information
Processing Letters, vol 82, 2002.
8. Stutzle T., Hoos H. H., MAX-MIN Ant System,
Future Generation Computer Systems, vol 16,
2000.
Adres służbowy Autora:
Mgr inż. Paweł Rembelski
PJWSTK
ul. Koszykowa 86
02-008 Warszawa
tel. (0-22)-58-44-529
email: [email protected]
42