Algebra liniowa z geometria analityczna Lista 1: Dzia lania

Algebra liniowa z geometria̧ analityczna̧
Lista 1: Dzialania wewnȩtrzne. Grupy. Permutacje.
1. Narysować tabelkȩ dzialania w zbiorze A = {0, 1, 2, 3, 4}, zdefiniowanego wzorem:
a · b = reszta z dzielenia liczby 2a − 3b przez 4
(dla dowolnych a, b ∈ A).
2. Sprawdzić, czy dzialanie · w zbiorze A (1) jest przemienne, (2) ma element neutralny, (3)
jest la̧czne, jeśli:
(
0 gdy a + b jest liczba̧ parzysta̧,
a) A = Z, a · b =
dla dowolnych a, b ∈ A.
1 gdy a + b jest liczba̧ nieparzysta̧
b) A = R2 , (x1 , x2 ) · (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 − y2 ) dla dowolnych (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ R2 .
3. Ile różnych dzialań wewnȩtrznych można określić w zbiorze zawieraja̧cym:
a) jeden element,
b) n elementów?
Ile jest takich dzialań wewnȩtrznych, które dodatkowo sa̧ przemienne?
4. Podać przyklad dzialania wewnȩtrznego w zbiorze A = {a, b, c}, które
a) jest przemienne ale nie jest la̧czne,
b) jest la̧czne ale nie jest przemienne,
c) jest przemienne i la̧czne,
d) nie jest przemienne i nie jest la̧czne,
e) ma element neutralny i jest przemienne,
f) ma element neutralny i nie jest przemienne,
g) ma element neutralny i każdy element posiada odwrotność.
5. Niech G bedzie
zbiorem wszystkich funkcji f : R → R postaci f (x) = ax + b, gdzie a, b ∈ R
,
i a 6= 0.
a) Udowodnić, że G ze skladaniem funkcji jako dzialaniem tworzy grupe.
,
b) W grupie G obliczyć (5x + 3)−1 ◦ (3x + 2).
6. W zbiorze G = {r ∈ R : 0 ≤ r < 1} określono dzialanie
r1 + r2
jeżeli r1 + r2 < 1
r1 · r2 =
r1 + r2 − 1 jeżeli r1 + r2 ≥ 1
a) Udowodnić, że G z dzialaniem · tworzy grupe.
,
b) W grupie G obliczyć 43 · ( 59 )−1 .
7. Maja̧c dane permutacje σ = (13 24 32 45 56 61 ) i τ = (12
a) στ ,
b) τ σ,
c) σ 4 ,
d) τ −1 ,
2 3 4 5 6 ), obliczyć:
6 5 4 3 1
e) σ −3 τ 2 σ 2 ,
f)
τ 2009 .
8. Wyznaczyć permutacjȩ σ ∈ S6 , jeżeli wiadomo, że σ(1) = 3, σ(3) = 2, σ −1 (4) = 5,
σ 2 (2) = 4 i σ −2 (6) = 6.
9. Poniższe permutacje zapisać w postaci iloczynu (1) cykli rozla̧cznych, (2) transpozycji:
a) (13
2 3 4 5 6 7 ),
5 6 7 4 1 2
10. Niech σ = (14
b) (11
2 3 4 5 6 7 8 ),
8 7 6 3 4 5 2
2 3 4 5 6 7 8 9 ).
7 6 5 1 9 2 3 8
c) (16
2 3 4 5 6 7 ),
5 7 2 1 3 4
d) (14
2 3 4 5 6 7 8 9 ).
7 2 8 9 1 6 3 5
Wyznaczyć permutacje, τ zbioru {1, 2, . . . , 8, 9} taka,
, że
σ −26 τ σ = (19
2 3 4 5 6 7 8 9
1 4 2 6 5 3 8 7 ).
11. Określić parzystość permutacji:
a) (15
2 3 4 5 6 7 ),
6 4 7 2 1 3
b) (13
2 3 4 5 6 7 8 ),
5 2 1 6 4 8 7
d) (n1
2
3 ... n−2 n−1 n
n−1 n−2 ... 3
2 1 ),
c) (12
e) (1n 21
2 3 4 5 6 7 ),
4 1 7 6 5 3
3 4 ... n−1 n
n−1 2 ... ... ... ).
12. Niech (G, ·) bȩdzie grupa̧ z elementem neutralnym e taka̧, że a2 = e dla każdego a ∈ G.
Pokazać, że G jest grupa̧ abelowa̧.
13. Niech · bȩdzie dzialaniem wewnȩtrznym w zbiorze liczb rzeczywistych R takim, że
(a · b) · c = a + b + c dla dowolnych liczb a, b, c ∈ R.
Udowodnić, że dzialanie · jest zwyklym dodawaniem, tzn. a · b = a + b dla dowolnych a, b ∈ R.