Zadania z Wektora 2014

1.
1 2
Macierz transponowana do
, to
3 4
1 4
1 3
(a)
,
(b)
,
4 2
3 2
1 3
(c)
,
2 4
4 3
(d)
.
2 1
zgodnie z denicj¡
2. Zaªó»my, »e A oraz B s¡ macierzami kwadratowymi stopnia n > 1. Który z poni»szych
wzorów jest (ogólnie) faªszywy?
C
(a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 ,
(c) AB 6= BA,
A
(b) (A − B)2 = A2 − AB − BA + B 2 ,
(d) (A + B)(A − B) = A2 − AB + AB + B 2 .
Korzystamy tu z przemienno±ci mno»enia.
Zgodnie z intencj¡ autora zada« tak miaªo by¢, ale wkradª si¦ chcochlik, nad czym mocno
ubolewamy.
Równanie z punktu
D
równie» jest faªszywe, gdy» powinno ono wygl¡da¢ tak:
(A + B)(A − B) = A2 − AB + BA + B 2 .
zarówno
A
jak i
D
W zwi¡zku z tym uznali±my za prawidªow¡ odpowied¹
.
Macierz A ma trzy wiersze i dwie kolumny. W ka»dym wierszu mamy dwie kolejne
liczby caªkowite. Macierz B ma dwa wiersze i cztery kolumny. W ka»dym wierszu mamy
(−1)n , gdzie n jest numerem wiersza, w którym znajduje si¦ wyraz. W macierzy AB , w
drugim wierszu i trzeciej kolumnie znajduje si¦
3.
(a) 0.
(b) 1.
(c) 2.
(d) nie mo»na tego okre±li¢.
Wszystkie wyrazy macierzy AB to 1 lub −1 w zale»no±ci od kolejno±ci liczb w macierzy A.
4. W macierzy kwadratowej stopnia 3 mamy kolejne liczby naturalne, zaczynaj¡c od 7 i
pisz¡c wierszami od strony lewej. Wyznacznik tej macierzy jest równy
B
(a) 0,
(b) 3,
(c) 5,
(d) 7.
A Po odj¦ciu pierwszego wiersza od drugiego i trzeciego dostajemy dwa liniowo zale»ne
wiersze.
5. Wyznacznik macierzy A jest równy w . Wiersz drugi, trzeci i siódmy tej macierzy
mno»ymy przez 4, a kolumn¦ pierwsz¡ przez 3. Wyznacznik otrzymanej macierzy jest równy
D
6.
(a) 4!w,
(b)
192 = 43 · 3.
4
3
w,
(c) 4 · 3w,
1 2
Macierz¡ odwrotn¡ do
jest
3 4
1 −4
4 −2
2
,
(a)
,
(b)
−3
1
3 −1
2
(d) 192w.
1 −4
2
(c)
,
3 −1
−2
1 −2
(d)
.
−3
4
Zgodnie ze wzorem.
W pierwszym koszyku jest o 9 jabªek wi¦cej ni» w drugim. Gdy z pierwszego koszyka
przeªo»ymy do drugiego 12 jabªek, to w drugim koszyku b¦dzie dwa razy wi¦cej jabªek ni» w
pierwszym. Policz, ile jest jabªek w ka»dym z koszyków. Aby to policzy¢, nale»y rozwi¡za¢
ukªad równa«
B
7.
(
x−y
(a)
2x − y
D
=9
(b)
= 24
(
x−y
2x − y
=9
(c)
= 12
(
x−y
2x + y
W pierwszym koszyku jest 27 jabªek, a w drugim 18.
=9
(d)
= 72
(
x−y
2x − y
=9
= 36
8.
D
1 −3 4
Dana jest macierz A =
. Ró»nica AAT − AT A jest równa
2
7 1
26 −15
(a) macierzy zerowej
(b)
−15
54


5 11
6

(c) 11 58 −5
(d) Nie da si¦ tego obliczy¢.
6 −5 17
Macierze AAT oraz AT A maj¡ ró»ne rozmiary.
9. Dana jest macierz kwadratowa A stopnia 3. Aby wyznacznik tej macierzy dzieliª si¦
przez 10, wystarczy aby
(a) ka»dy wyraz w pierwszej kolumnie dzieliª si¦ przez 10.
(b) ka»dy wyraz pierwszego wiersza dzieliª si¦ przez 2, a ka»dy wyraz trzeciej kolumny dzieliª
si¦ przez 5.
(c) ka»dy wyraz tej macierzy byª parzysty lub podzielny przez 5,
(d) ka»dy wyraz tej macierzy byª parzysty i podzielny przez 5,
Dokªadnie, je±li pomno»ymy wiersz lub kolumn¦ macierzy przez liczb¡ a, to
wyznacznik macierzy te» zmienia si¦ o wielokrotno±¢ a.
A, B, D
10.
0 1
1 0
Rozwi¡zaniem równania macierzowego
X=
jest macierz X równa
3 2
2 3
T
T
1 0
0 1
1 0
0 1
(d)
(a)
(b)
(c)
0 1
1 0
0 1
1 0
A, C
11.
Wystarczy podstawi¢ i pomno»y¢


x − 2y + z
Rozwi¡zaniem ukªadu równa« 3x + 6y − 3z


4x + 4y − 2z
(a) (0, 1, 1)
A
= −1
= 3 jest trójka liczb
=2
(b) (0, 13, 13) (c) (0, −1, −1) (d) Ukªad ten nie ma rozwi¡zania.
Podstawiamy i sprawdzamy.
12.
(
x + 2y
Ukªad równa«
4x + 5y
=3
=6
(a) Nie ma rozwi¡za«.
(b) Ma niesko«czenie wiele rozwi¡za«.
(c) Jest oznaczony.
(d) Ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie x = −1, y = 2.
C, D Ukªad ten ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie (jego wyznacznik gªówny, to −3), czyli
jest oznaczony. Wystarczy jeszcze sprawdzi¢, czy podana para liczb jest rozwi¡zaniem.
13. W pewnym mie±cie sa trzy piekarnie, które wypiekaj¡ dwa rodzaje chleba. Gªówne skªadniki, których
MP M› ZA DS
piekarnie potrzebuj¡ do wypieku, to m¡ka pszenna
chleb 1 20 10
2
3
(MP), m¡ka »ytnia (M›), zakwas (ZA) oraz dodatki
chleb 2 5
30
1
1
smakowe (DS). Ilo±ci tych skªadników (w zale»no±ci od
rodzaju pieczywa podane s¡ w tabeli po prawej.
chleb 1 chleb 2
Okoliczne sklepy zªo»yªy zamówienia do piekar«. Przedpiekarnia 1
0
80
stawione one s¡ w tabeli po lewej. Uªó» tabel¦ zamówie«
piekarnia 2
35
45
skªadników do piekar«.
piekarnia 2
50
30
Rozwi¡zanie.
Nale»y pomno»y¢ macierze




0 80 400 2400 80 80
35 45 20 10 2 3 =  925 1700 115 150
5 30 1 1
50 30
1150 1400 130 180
Zatem tabela zamówie«, to:
MP M› ZA DS
piekarnia 1 400 2400 80 80
piekarnia 2 925 1700 115 150
piekarnia 3 1150 1400 130 180
14.
Znajd¹ wielomian f (x) stopnia 2, w którym f (−2) = −2, f (−1) = −1 oraz f (0) = 2.
Zapiszmy f (x) = ax2 + bx + c. Zatem 4a − 2b + c = −2, a − b + c = −1
oraz c = 2. Mamy ukªad trzech równa« z trzema niewiadomymi,
który ªatwo sprowadzimy
(
Rozwi¡zanie.
do ukªadu dwóch równa« z dwiema niewiadomymi:
4a − 2b = −4
Ukªad ten rozwi¡»emy
a−b
= −3.
metod¡ wyznaczników:
4 −2
= −2
W =
1 −1
−4 −2
= −2
Wa = −3 −1
St¡d a = 1, b = 4 oraz f (x) = x2 + 4x + 2.
4 −4
= −8.
Wb = 1 −3


1 3
4
1 4
2
0 1 −1
Znajd¹ macierz odwrotn¡ do macierzy
z lewej strony.
16. Oblicz wyznacznik macierzy z prawej
strony.
15.
Rozwi¡zanie zadania 15.

1
1
0

1

→ 0
0

0
1
2
−1 0
1

−2 −1 0
−3 −2 −1
Post¦pujemy zgodnie z eliminacj¡ Gaussa.

3
4 | 1 0 0
4
2 | 0 1 0
1 −1 | 0 0 1

0 10 |
4 −3 0
1 −2 | −1
1 0
0
1 |
1 −1 1

1
→ 0
0

1

→ 0
0

3
4 |
1 0 0
1 −2 | −1 1 0
1 −1 |
0 0 1

0 0 | −6
7 −10
1 0 |
1 −1
2
0 1 |
1 −1
1

−1 

1 3
4
−6
7 −10
2.
Zatem 1 4 2 =  1 −1
0 1 −1
1 −1
1
Rozwi¡zanie zadania 16.
0
1
2
−1
0
1
−2 −1
0
−3 −2 −1
Mamy
3 0
1
2
2 −1
0
1
=
1 −2
0
2
0
−3 −2 −1
3 0
1
2
2 −1
0
1
=
4 0
0
0
0
−3 −2 −1
3
2
= 0.
0
0

3
2

1
0