Rachunek prawdopodobieństwa: Lista 1

Rachunek prawdopodobieństwa: Lista 1
1. Korzystając z aksjomatów I-III pokazać, że dla dowolnego układu zdarzeń A1 , A2 , . . . , An
parami rozłącznych zachodzi
P(
n
[
Ai ) =
i=1
n
X
P (Ai ).
i=1
2. Pokazać, że P (A ∩ B) ­ 1 − P (Ac ) − P (B c ). (Wsk. łatwe)
3. Obliczyć P (A ∩ B c ) znając P (A) i P (A ∩ B). (Wsk. bardzo łatwe)
4. Niech A ∪ B ∪ C = Ω, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A). Ponadto P (B ∩ C) =
P (A ∩ C) = P (A ∩ B). Pokazać, że 61 ¬ P (A) ¬ 14 , przy czy oba ograniczenia są
osiągane (zastosować wzór podany na wykładzie P (A ∪ B ∪ C) = ...).
5. Grupa studencka składa się z 30 osób. Obliczyć prawdopodobieństwo, że żadne dwie
osoby z tej grupy nie obchodzą urodzin tego samego dnia (rok ma 365 dni). (odp.
365·...·336
)
36530
6. Dwudziestoosobowa grupa studencka ma 5 biletów do teatru. W grupie jest 6 dziewczyn i 14 chłopców. Bilety rozdziela się drogą losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród posiadaczy biletów znajdą się (a) dokładnie 3 dziewczyny (b)
przynajmniej 3 dziewczyny? (odp. (a) 0.1174)
7. Liczby 1, 2, . . . , n zostały ustawione przypadkowo. Znaleźć prawdopodobieństwo, że
(a) cyfry 1 i 2 pojawiły się w sąsiedztwie (b) cyfry 1, 2, 3 pojawiły się w wymienionej
kolejności.
8. Na okręgu wybrano losowo 3 punkty A, B, C. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
∆ABC jest ostrokątny? (zadanie trudne **)
9. Odcinek o długości 10 cm złamano w dwóch miejscach. Długość każdej części jest
liczbą całkowitą. Oblicz prawdopodobieństwo, że z odcinków można zbudować ∆
(∆ można zbudować jeśli suma dwóch odcinków jest większa od długości trzeciego).
10. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwiastki równania x2 + 2ax + b = 0 są (a)
rzeczywiste, (b) rzeczywiste dodatnie, jeśli (a, b) jest losowo wybranym punktem
prostokąta {(a, b) : |a| < 2, |b| < 1}. (odp. 56 , 16 )
Wskazówki:
n
k
- ilość sposobów wybrania k elementów ze zbioru n elementowego
n! - ilość możliwych ustawień n elementów
AJ