mpwc_03.
Transkrypt
mpwc_03.
3. Przewodzenie ciepła. Dyskretna aproksymacja zagadnienia przewodzenia ciepła ilustruje sposób postępowania właściwy dla wszystkich procesów fizycznych, w których transport odbywa się na drodze dyfuzji np.: • Przepływy potencjalne • Dyfuzja pędu poprzez naprężenia lepkie • Przepływy filtracyjne 3.1. Jednowymiarowe ustalone przewodzenie ciepła równanie różniczkowe: d dT k + S = 0 dx dx (3.1) równanie dyskretne: a P TP = a E TE + aW TW + b (3.2) gdzie: ke (δx ) e k aW = w (δx ) w a P = a E + aW b = S ∆x aE = (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) 21 Rozkład punktów węzłowych Nierównomierny rozkład punktów węzłowych w obszarze obliczeniowym odzwierciedlający intensywność zmian wielkości zależnej może bardzo poprawić dokładność rozwiązania Rozkład punktów podstawie: węzłowych zaprojektować można na • Znajomości analitycznego rozwiązania zagadnienia uproszczonego lub wyników eksperymentu pozwalających określić jakościowo intensywność zmienności poszukiwanej niewiadomej • Wstępnych obliczeń przy użyciu rzadkiej, jednorodnej siatki punktów węzłowych Nie istnieją ścisłe reguły pozwalające określić rozkład punktów węzłowych. Właściwy rozkład punktów węzłowych dobierany musi być indywidualnie do każdego zagadnienia 22 Przewodność ciepła na powierzchni łączącej objętości kontrolne Współczynnik przewodzenia ciepła może się zmieniać w przestrzeni na skutek niejednorodności materiału ( kompozyty ) lub na skutek zależności przewodności materiału od temperatury Rys.3.1. Nierównomierny rozkład punktów węzłowych Liniowa interpolacja: k e = f e k P + (1 − f e ) k E (3.7) gdzie współczynnik interpolacji określony jest następująco: fe ≡ ( δx ) e + ( δx ) e (3.8) 23 Dyfuzyjny strumień ciepła transportowany poprzez powierzchnie e: qe = ke ( TP − TE ) ( δx ) e (3.9) Zakładając, że objętość kontrolna P jest wypełniona materiałem o współczynniku przewodzenia k P , a objętość kontrolna E materiałem o współczynniku przewodzenia k E strumień ciepła wynosi: qe = TP − TE ( δx ) e − ( δx ) e + + kP kE (3.10) Wprowadzając (3.8) do (3.10) uzyskuje się : 1 − fe fe + ke = kE kP −1 (3.11) Jeżeli powierzchnia e jest usytuowana w połowie dystansu pomiędzy punktami węzłowymi P i E, to : ke−1 k P−1 + k E−1 = 2 (3.12) 24 lub ke = 2k P k E k P + kE (3.13) współczynnik przewodzenia ciepła na powierzchni rozdzielającej objętości kontrolne wyrazić można jako średnią harmoniczną wartości w punktach węzłowych Wprowadzenie (3.13) do (3.3) prowadzi do zależności: ( δx ) e − ( δx ) e + aE = + k E kP −1 (3.14) Przypadki graniczne: 1. k E → 0 - materiał otaczający objętość kontrolną E jest doskonałym izolatorem wprowadzając do (3.13) ke → 0 więc strumień ciepła przekazywanego przez powierzchnie e spada do zera, co nie wynika z zależności (3.11) 25 2. k P >> k E ⇒ ke → kE fe wnioski: • współczynnik przewodzenia na powierzchni nie zależy od wartości współczynnika wokół punktu węzłowego P k ( T − TE ) - ponieważ materiał wokół punktu • qe = E P x δ ( )e+ węzłowego P jest materiałem dobrze przewodzącym, stąd spadek temperatury odbywa się nie na dystansie ( δx ) e ale na dystansie ( δx ) e+ Zastosowanie zależności (3.13) do oszacowania współczynnika przewodzenia ciepła na powierzchniach rozdzielających objętości kontrolne pozwala uwzględnić w obliczeniach gwałtowne zmiany przewodności cieplnej ( np.. w materiałach kompozytowych ) unikając stosowania bardzo gęstych siatek 26 Problem nieliniowości równania różniczkowego – zależność współczynników układu równań od niewiadomej zmiennej zależnej Źródła nieliniowości w zagadnieniu przewodzenia ciepła: • zależność współczynnika przewodzenia ciepła od temperatury • obecność członu źródłowego zależnego od temperatury Rozwiązanie – zastosowanie metod iteracyjnych 1. Proces iteracyjny rozpoczyna się przyjmując pewną dowolną wartość początkową zmiennej zależnej we wszystkich punktach węzłowych. 2. Na podstawie tych wartości wylicza się wstępne wartości współczynników w równaniach różnicowych. 3. Traktując układ równań różnicowych jako układ równań liniowych wyznacza się nowe oszacowanie niewiadomej. 4. Powrót do punktu 2 wykorzystując nową wartość niewiadomej. Proces ten należy powtarzać aż do momentu, gdy zmienna zależna przestanie się zmieniać: Uzyskane zostanie zbieżne rozwiązanie 27 Linearyzacja członu źródłowego S = SC + S P TP (3.15) Przykłady różnych sposobów linearyzacji członu źródłowego, który zależy niewidomej: Przykład 1: S = 5 − 4T (3.16) możliwe sposoby linearyzacji: 1. SC = 5, S P = −4 - metoda bezpośrednia, najbardziej oczywista 2. SC = 5 − 4TP* , S P = 0 - „rozwiązanie dla leniwych” stosowane , gdy formuła S = S (T ) jest bardzo złożona – 3. SC = 5 + 7TP* , S P = −11 - gradient funkcji S = S (T ) jest większy niż w funkcji oryginalnej; zabieg taki na ogół zwalnia zbieżność, ale jeżeli w równaniu występują inne silne nieliniowości, to takie „zwolnienie zbieżności”, może być jedynym środkiem jej uzyskania 28 Przykład 2: S = 3 + 7T (3.17) dopuszczalne tylko wówczas, gdy 1. SC = 3, S P = 7 rozwiązanie nie wymaga iteracji, w przeciwnym razie wystąpi rozbieżność 2. SC = 3 + 7TP* , S P = 0 - rozwiązanie zalecane 3. SC = 3 + 9TP* , S P = −2 - sztuczny sposób tworzenia funkcji malejącej, najczęściej zwalnia zbieżność Przykład 3 S = 4 − 5T 3 (3.18) 1. SC = 4 − 5TP*3 , S P = 0 - rozwiązanie dla leniwych, nie wykorzystuje istniejącej informacji 2. SC = 4, S P = −5TP*2 - rzeczywista zależność jest „bardziej stroma” 3. Rozwiązanie zalecane: * ( ( ) ) dS S = S + TP − TP* = 4 − 5TP*3 − 15TP*2 TP − TP* (3.19) dT * stąd: SC = 4 + 10TP*3 , S P = −15TP*2 29 inearyzacja odpowiada stycznej do krzywej S = S (T ) dla T = TP* 4. SC = 4 + 20TP*3 , S P = −25TP*2 - linearyzacja bardziej stroma niż zależność dokładna na ogół zwalnia zbieżność Rys. 3.1. Linearyzacja zależności z przykładu 3 30 Warunki brzegowe Rys.3.2. Objętości kontrolne dla wewnętrznych I brzegowych punktów węzłowych Rodzaje warunków brzegowych • dana temperatura na brzegu • dany strumień ciepła • strumień ciepła określony poprzez współczynnik wnikania ciepła oraz temperaturę czynnika otaczającego brzeg 31 Rys.3.3.Połówkowa objętość kontrolna Całkując równanie (3.1) w połówkowej objętości wokół punktu brzegowego uzyskuje się: q B − qi + ( SC + S P TB ) ∆x = 0 (3.20) lub qB − ki ( TB − TI ) + ( SC + S P TB ) ∆x = 0 ( δx ) i (3.21) 32 Przypadek 1: dany strumień ciepła q B : a B TB = a I TI + b (3.22) gdzie: aI = ki ( δx ) i (3.23) b = S C ∆x + q B (3.24) a B = a I − S P ∆x (3.25) Przypadek 2: Dany współczynnik wnikania ciepła oraz temperatura płyny sąsiadującego z brzegiem płyty: ( q B = α Tf − TB ) (3.26) Stąd równanie określające temperaturę w brzegowym punkcie węzłowym przybiera postać: a B TB = a I TI + b (3.27) 33 gdzie: aI = ki ( δx ) i (2.28) b = SC ∆x + αTf (3.29) a B = a I − S P ∆x + α (3.30) 34 3.2. Jednowymiarowe nieustalone przewodzenie ciepła ρc ∂T ∂ ∂T = k ∂t ∂x ∂x (3.31) gdzie: ρ = const - gęstość c = const = – ciepło właściwe równanie (3.31) zostaje scałkowane w objętości kontrolnej oraz w przedziale czasu od t do t + ∆t : e t + ∆t ρc ∫∫ w t ∂T dtdx = ∂t t + ∆t e ∂ ∂T k dxdt ∂x ∂x w ∫∫ t (3.32) dla składnika niestacjonarnego zakłada się stałą wartość temperatury w objętości kontrolnej: e t + ∆t ρc ∫∫ w t ∂T dtdx = ρc∆x TP1 − TP0 ∂t ( ) (3.32) gdzie: TP0 - temperatura w węźle w chwili t TP1 - temperatura w węźle w chwili t + ∆t 35 wprowadzając (3.32) oraz poprzednią całkę składnika dyfuzyjnego (2.7) do (3.31) uzyskuje się: ρc∆x ( t + ∆t TP1 − TP0 ) ∫ = t k e ( TE − TP ) k w ( TP − TW ) − dt (3.33) x x δ δ ( )w ( )e w tym miejscu trzeba przyjąć założenie o zmienności temperatury w punktach węzłowych w funkcji czasu, co można zapisać ogólnie: t + ∆t ∫ T dt = [ fT 1 P P ] + (1 − f ) TP0 ∆t (3.34) t gdzie: waga f = 0,1 wprowadzenie podobnych zależności na temperaturę w pozostałych punktach węzłowych pozwala zapisać zależność (3.33) w postaci: ( ( ) k e TE1 − TP1 k w TP1 − TW1 ∆x 1 TP − TP0 = f ρc − ∆t ( δx ) w ( δx ) e ( ) ( k e TE0 + (1 + f ) − TP0 ( δx ) e )− ( k w TP0 − TW0 ( δx ) w ) ) (3.35) 36 pomijając dla uproszczenia indeks 1 i pamiętając, że TP , TW , TE oznaczają wartość w nowej chwili czasu zapisać można następujące równanie różnicowe: [ + [a ] [ a P TP = a E fTE + (1 − f ) TE0 + aW fTW + (1 − f ) TW0 0 P − (1 − f ) a E − (1 − f ) ] aW TP0 ] (3.36) gdzie: aE = ke ( δx ) e (3.37) aW = kw ( δx ) w (3.38) a P0 = ρc∆x ∆t (3.39) a P = fa E + faW + a P0 (3.40) 37 Schemat jawny, Cranka-Nicholsona oraz w pełni niejawny Rys.3.2. Zmienność temperatury w funkcji czasu dla trzech różnych schematów Schemat jawny f = 0: ( ) a P TP = a E TE0 + a w TW0 + a P0 − a E − aW TP0 (3.41) Reguła nr 2 ! – dodatnie współczynniki a 0P > a E + aW (3.42) 38 zakładając: ∆x = ( δx) e = ( δx) w (3.43) oraz jednorodną przewodność cieplną : k = const (3.44) warunek ten można wyrazić następująco: ρc( ∆x ) ∆t < 2k 2 (3.45) Krok czasowy proporcjonalny do kwadratu rozdzielczości przestrzennej !! Schemat Cranka-Nicholsona f = 0.5 TE + TP0 TW + TW0 a P TP = a E + aW 2 2 a + aW 0 TP + a P0 − E 2 (3.46) Reguła nr 2 ! a 0P > a E + aW 2 (3.47) 39 Zakładając podobnie jak poprzednio jednorodną przewodność cieplną oraz jednorodną siatkę warunek (3.47) zapisać można następująco: ρc( ∆x ) ∆t < k 2 (3.48) W pełni niejawne równanie różnicowe f =1 a P TP = a E TE + aW TW + b (3.49) gdzie: aE = ke ( δx ) e (3.50) aW = kw ( δx ) w (3.51) a P0 = ρc ∆x ∆t (3.52) b = SC ∆x + a P0 TP0 a P = a E + aW + a P0 − S P ∆x (3.53) (3.54) Wszystkie współczynnik równania różnicowego są dodatnie – schemat niejawny jest bezwarunkowo stabilny! 40 3.3. Dwu- i trójwymiarowe przewodzenie ciepła Rys.3.3.Objętość kontrolna dal przypadku dwuwymiarowego Równanie różniczkowe opisujące nieustalone dwuwymiarowe przewodzenie ciepła ρc ∂T ∂ ∂ T ∂ ∂ T = k + k + S ∂t ∂x ∂ x ∂ y ∂ y (3.55) 41 Całkując równanie (3.55) w kontrolnej oraz w funkcji czasu: e n t + ∆t ρc ∫∫ ∫ ∂T dtdydx = ∂t w s t t + ∆t e n + ∫ ∫∫ t w s dwuwymiarowej objętości t + ∆t n e ∂ ∂T k dxdydt ∂ x ∂x s w ∫ ∫∫ t ∂ ∂T k dydxdt + ∂ y ∂y t + ∆t n e (3.56) ∫ ∫ ∫ Sdtdxdy t s w uzyskuje się następujące równanie różnicowe: a P TP = a E TE + aW TW + a N TN + a S TS + b (3.57) aE = k e ∆y ( δx ) e (3.58) aW = k w ∆y ( δy ) w (3.59) aN = k n ∆x ( δy ) n (3.60) aS = k s ∆x ( δx ) s (3.61) ρc ∆x ∆ y ∆t (3.62) gdzie: a 0P = 42 b = S C ∆x∆y + a P0 TP0 a P = a E + aW + a N + a S + a P0 − S P ∆x∆y (3.63) (3. 64) Równanie różnicowe dla przypadku trójwymiarowego: a P TP = a E TE + aW TW + a N TN + a S TS + a T TT + a B TB + b (3.65) gdzie: aE = k e ∆y∆z ( δx ) e (3.66) aW = k w ∆y∆z ( δx ) w (3.67) aN = k n ∆z∆x ( δy ) n (3.68) aS = k s ∆z∆x ( δy ) s (3.69) aT = k t ∆ x∆ y ( δz ) s (3.70) aB = kb ∆x∆y ( δz ) b (3.71) 43 a 0P = ρc ∆ x ∆ y ∆ z ∆t (3.62) b = SC ∆x∆y∆z + a 0P TP0 (3.63) a P = a E + aW + a N + a S + a T + a B + a 0P − S P ∆x∆y∆z Fizyczne znaczenie różnicowym: współczynników w (3.64) równaniu a E , aW , a N ,K , a B - reprezentują przewodzenie ciepła pomiędzy punktem P oraz odpowiednim punktem sąsiadującym a P0 TP0 - oznacza energię wewnętrzną ( podzieloną przez ∆t ) zawartą w objętości kontrolnej w chwili czasu t b - energia wewnętrzna plus szybkość generacji ciepła wyrażona poprzez SC 44